Kapitel 06 Welt der Funktionen
Das Buch "Mathematik sehen und verstehen" wird erfreulicherweise etwa 2019 in der dritten Auflage erscheinen. Diese wird um etwa 20 Seiten umfangreicher sein. Sie befinden sich auf der Website zum Buch: Hier sind die Dateien aus GeoGebra und anderen Mathematik-Programmen, die die Bilder des Buches erzeugt haben. So können Sie alles interaktiv nachvollziehen. Die Vorlesung "Mathematik für alle" ist hier verfügbar. Weiter gibt es Ergänzungen, für die im Buch kein Platz mehr war. Insbesondere sind auch Aufgaben eingefügt. Bei Werkzeuge finden Sie ein Log-Buch und allerlei Hinweise. Falls nach dem Lesen im Buch noch Fragen übrig sind oder Sie Fehler finden, wenden Sie sich gern an mich.
Vorlesungen + Lectures in and 5 6 7 8 9
6.1 Familien 6.2 Bauhof 6.3 Ableitung 6.4 Integral 6.5 Hauptsatz. 6.6 Höhere Dim,
.1   .2   .3
Affen-kasten
.4  .5  .6
.1   .2   .3   .4   .5   .6
.1   .2
.1 .2
.1
.1   .2   .2


6.1 Funktionenfamilien

Vorlesung
Lecture

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  • Vorlesung 5: Einführung in Funktionen , Mathematik und Sprache, Potenzfunktionen  Handzettel  download
  • There will appear and alternately slide by slide in the following "English Version".
  • That is why you can compare the english und german vocabulary.
  • lecture 5: introduction in funktions, mathematical language  
    handouts  download
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  • Interaktive GeoGebra-Datei zur Stetigkeit hier...

    6.1.1 Parabeln und elementare Variationen
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.1 Parabeln und elementare Variationen
    Abb.6.4
    Abb.6.5
    Verschieben

    Abb.6.5
    geogebraParabel u.a. Funktionendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Dies ist eine universale Datei zum Verschieben von Funktionen.
    Mit Variation von a schriebt man rechts-links, mit b hoch-runter.
    Die zu verschiebende Funktion kann durch "Umdefinieren" auch eine beliebige andere sein.
    Abb.6.6 Abb.6.6geogebraParabel u.a. Funktionen Stecken und Stauchendownload
    Auch hier kann man die Funktion beliebig umdefinieren.

    Falls die Spur von P stört, kann man sie wegwischen oder abschalten (siehe Werkzeugseite).

    Abb.6.7 Abb.6.7
    geogebraParabel anpassen an die Form der Brückedownload
    Hier kann man leicht das Bild austauschen und ein eigenes digitales Foto verwenden.
    Dies im GeoGebra-Book
    Ergänzung geogebraParabel in Stankt Petersburgdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Aufgabe 6.1 geogebraAufgabe 6.1 Parabeln bestimmen download

    6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.2 Geraden
    und PotenzfunktionenAbb. 6.9
    Abb.6.9
    geogebraGeradenlernendownload
    Abb.6.10
    Aufgabe 6.2

    Lösung
    Kap. 13 und hier
    Abb.6.10
    geogebraAufgabe 6.2: Geraden bestimmen und zwei weitere eintragendownload
    geogebraAufgabenlösung: Geraden bestimmendownload
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.2 Geraden
    und
    Potenzfunktionen
    Abb.6.11
    Abb.6.11
    geogebraPotenzfunktionen mit natürlichen Exponentendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.12 Abb.6.12
    geogebraPotenzfunktionen mit beliebigen Exponentendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.13
    Aufgabe 6.3

    Lösung
    Seite 319
    Abb.6.13
    geogebraAufgabe 6.3: Verschobene und gespiegelte Potenzfunktionendownload geogebraAufgabenlösung 6.3: Verschobene und gespiegelte Potenzfunktionendownload
    Abb. neu geogebraPotenzfunktionen (u.a) strecken und verschiebendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Vorlesung
    Lecture

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  • Vorlesung 6: Polynome und mehrfache Nullstellen, Affenkasten, Sinus u.a.  
    Handzettel  download
  • There will appear and alternately slide by slide in the following "English Version".
  • That is why you can compare the english und german vocabulary.
  • lecture 6: polylynoms and multipe zeros, angle functions, sine-function et al  
    handouts  download
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  • 6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt
    Abb.6.14

    Seite 133
    Abb. 6.15
    Abb.6.14
    geogebraPolynome und ihr Verhalten an den Nullstellendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Variieren Sie zunächst die Nullstellen, z.B. schieben Sie den Regler von c nach rechts.
    Beobachten Sie, wie sich stets der ganze Graph verändern muss.
    Mit dem Streckfaktor k können Sie den Graphen zurück in das sichtbar Fenster holen.
    Auf Seite 132 wird dann die Vielfachheit der Nullstellen erklärt. Sie können sie mit r, s und t verändern. Auch auf jede solche Änderung muss der gesamte Graph reagieren.

    Aufgabe 6.4
    Aufgabe 6.5
    Abb.6.17
    Abb.6.18
    Lösungen
    Kap 13
    Abb.13.9-
    Abb.13.11
    6.17
    geogebraPolynome einzeln, Spielwiesedownload
    Die Beispiele mit drei Nullstellen können Sie auch mit der obigen Datei erkunden.
    Mit der folgenden Datei stelle ich Ihnen aber auch noch extra eine Spielwiese zur Verfügung. Klicken Sie doppelt auf den Term von f und tragen Sie ein, was Sie möchten.
    Mit dem Streckfaktor t können Sie den Graphen zurück in das sichtbar Fenster holen.
    Polynome
    Abb. 6.14
    Abb. 6.16
    Abb.6.16
    geogebraPolynome aus Linearfaktoren Zeichnendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.18
    Abb.6.18
    geogebraPolynom, das man erst durch Denken erkenntdownload
    Abb.6.19
    Abb.6.19
    geogebraPolynom, das durch eine Scherung, also hier Addition einer Geraden, verwandelt wirddownload

    Mehr zur Scherung folgt im Abschnitt zu Affenkästen. Hier einer Ergänzung dazu: Eine Scherung ist eine Abbildung, bei der es eine Scherachse gibt und einen Scherwinkel. Alle Punkte P wandern parallel zur Scherachse so, dass das Lot von P auf die Scherachse um den Scherwinkel kippt.
    Im Zusammenhang mit Funktionen entsteht durch Addition einer Geraden zum Funktionsterm eine Scherung. Bei festem b ist die Scherachse die y-Achse und der Scherwinkel ist der Steigungswinkel der Geraden. So ist es in obiger Datei verwirklicht. (Mit Betrachtung von b ist die Scherachse eine Parallele zur y-Achse durch die Nullstelle der Scher-Geraden.)
    Ausblick: Scherungen sind flächentreu. In dem Bild sind die Flächen zwischen dem Funktionsgrapen und der Geraden in jeder Stellung der Geraden genau gleich groß.

    In 6.1.3 Extra: Neu in der 3. Auflage Polynome im Affenkasten
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.4 ff
    Polynome im Affenkasten

    Abb.6.20

    Abb. 6.20 Jedes Polynom dritten Grades hat einen Wendepunkt W. Mit einem beliebigen anderen Punkt, hier grün dargestellt, definiert W einen Kasten aus acht gleichen Zellen, in dem das Polynom quasi "gefangen" ist. Sie sehen kein Koordinatensystem, weil das Gezeigte für jedes Polynom dritten Grades gilt.
    Abb.6.21
    Abb. 6.21 Zur Begründungskette für den Affenkasten. a) Start mit den drei dicken grünen Punkten und dem zugehörigen Graphen. Die Kastenzellen haben die Abmessungen a und b. Verschiebung des Zentrums des Graphen in den Ursprung ergibt den punktsymmetrischen rote Graphen.
    b) Es folgt eine Scherung durch Addition einer Geraden y = mx mit m = 1/2, es ergibt sich der blaue Graph, die Kastenzellen sind nun Parallelogramme. Die Seite parallel zur y-Achse hat weiterhin die Länge b, dagegen ist a nun die (waagerechte) Höhe dieser Parallelogramme. Die Zellen haben daher ihren Flächeninhalt nicht geändert.
    c) Die Scherung wird durch Addition der Geraden y = - x bewirkt. Die schrägen Kastenkanten sind, wie bei b), nun Tangenten.
    geogebraZu 6.21 a), und b)download   Dies im GeoGebra-Book
    geogebraZu 6.21 c)download
    6.1 Funktionenfamilien
    Parabeln im Bärenkasten
    Abb.6.22
    Abb. 6.22 Es gibt nur eine Parabel in der Welt,wenn man von Maßstab absieht. Sie sehen vier Parabeln p(x) = a x(x - b). Diese repräsentieren eine allgemeine Parabel, denn bei jeder beliebigen Parabel kann man einen Punkt in den Ursprung schieben. Dann hat ihre Gleichung diese Gestalt. a) a = 1; b = 1, b) a = 5; b = 1, c) a =-8; b = 2018, d) a = 0.1; b = 100 In einem "goldenen" Rechteck mit dem Seitenverhältnis f : 1, siehe 11.1, sind die Bilder gezeichnet und enthalten für das Intervall [-b; 2b] die Ordinaten vollständig.
    Polynome im Affenkasten, Mathematica-Notebook
    Das Mathematica-Notebook zum Lesen
    Abb.6.23

    geogebraBärenkasten Abb. 6.23 a) und b) download
    Dies im GeoGebra-Book
    geogebraBärenkasten Abb. 6.23 c) und d) download
    geogebraBärenkasten Abb. 6.23 c) und Variante von d)(interaktiv, ohne Beweiselemente) download    Dies im GeoGebra-Book
    Abb. 6.23 Parabel: Sehnen, Tangenten, Bärenkasten
    Begründungen folgen im Text des Buches.
    a) Zu einer Parabeltangente gehören parallele Parabelsehnen, deren Mitten auf einer Parallelen zur Parabelachse durch den Berührpunkt liegen.
    b) Zu jeder Parabelsehne gehört ein Bärenkasten, dessen gegenüber liegender Rand in seiner Mitte eine Tangente "trägt".
    c) Konstruktion einer Parabeltangente zu gegebenem Berührpunkt B auf einer Parabel (rot).
    d) Bei einem Bärenkasten mit Viertelteilung in beiden Richtungen, werden die beiden bei B liegenden Zellen in ihren inneren Ecken von der Parabel getroffen. Ihre äußeren Ecken erlauben das schnelle Zeichen von "Randtangenten2. Diese schneiden sich so, dass die Strecke vom Schnittpunkt nach M von Punkt B halbiert wird. Gepunktet sind Beweiselemente, die dann fehlen können.
    6.1 Funktionenfamilien
    Polynome 4. Grades im Patherkäfig
    Abb.6.24

    geogebraAbb. 6.24 Pantherkäfig a)download
    geogebraAbb. 6.24 Pantherkäfig b)download     Dies im GeoGebra-Book
    geogebraAbb. 6.24 Pantherkäfig c)download
    Abb. 6.24 Polynome 4. Grades und ihr Pantherkäfig
    Begründungen folgen im Text des Buches.
    In der vorderen Spalte sind die ersten und zweiten Ableitungen der in a), b) und c) dargestellten (roten) Polynome 4. Grades zu sehen. Für diese gibt es stets ein durch den Abstand der Wendestellen definiertes Raster aus vier blau gestrichelten Stangen, den Pantherkäfig. Auf seinen äußeren Stangen schneiden die beiden Wendetangenten das Polynom.
    a) Was man für diesen symmetrischen Fall, die W-Form, beweist, gilt dann auch für die gescherten Fälle.
    b) zeigt die durch Scherung verzogene W-Form mit drei Extrema,
    c) zeigt, dass bei nur einem Extremum und einem schrägen Sattel die besonderen Eigenschaften weiter gelten. Die hier gezeigte Halbierung der Fläche zwischen einer Wendetangente und dem Polynom gilt auch für a) und b).
    Der Name "Pantherkäfig" lehnt sich an das eindrucksvolle Gedicht von Rilke an, in dem von dem Panther im Käfig gesagt wird: "ihm ist, als ob es tausend Stäbe gäbe und hinter tausend Stäben keine Welt". Nun sind nämlich keine Kastenzellen, sondern senkrechte Parallelen wichtig. Die Relexion über den didaktischen Sinn von solchen Redeweisen erfolgt im Buch.
    Ende der neuen Seiten: Polynome im Affenkasten

    6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.5 Sinus, Kosinus und Musik
    Abb.6.25
    Abb.6.25
    geogebraSinus interaktiv aus dem Einheitskreis download
    Dies im GeoGebra-Book

    Beachten Sie, dass man an dieser Datei auch am besten den Zusammenhang zwischen "Bogenmaß" und "Winkelmaß in Grad" verstehen kann.
    Im Zusammenhang mit anderen Funktionen ist das Bogenmaß unerläßlich. Mit einer Beschriftung der Rechtsachse im Gradmaß könnte mit man die Funktionen f(x)=sin(x) nicht zusammen mit anderen Funktionen verwenden. Dieses vertieft Kapitel 6.2.
    Abb.6.26 Abb.6.26
    geogebraSinus waagerecht strecken und stauchendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.26 Abb.6.26
    geogebraSinus von Hand mit dem 6-Kästchentrick zeichnendownload
    Dies im GeoGebra-Book -->
    Abb.6.27
    Abb. 6.27
    geogebraStehende Wellen in einer Posaunedownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.28 Abb.6.28
    geogebraKosinus interaktiv aus dem Einheitskreis download
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.29 Abb.6.29
    geogebraTangens interaktiv aus dem Einheitskreis download
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.29 --> Abb.6.29
    geogebraAlle trigonometrischen Funktionendownload
    Dies im GeoGebra-Book

    6.1.5 Exponentialfunktionen
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.5 Exponentialfunktionen
    Abb.6.30
    Abb.6.30
    geogebraExponentialfunktionendownload
    Abb.6.31 < Abb.6.31
    Das schnelle Wachsen der Exponentialfunktionen       
    Überzeugende Visualisierung in GeoGebra

    6.1.6 Umkehrfunktionen
    6.1 Funktionenfamilien
    6.1.6 Umkehrfunktionen 
    Abb.6.32
    6.32
    geogebraUmkehrfunktion mit Erklärungdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.33 Abb.6.33
    geogebraUmkehrfunktionen der Parabelästedownload
    Dies im GeoGebra-Book


    6.2 Funktionenbauhof

    6.2 Funktionenbauhof
    6.2.1 Summe von Funktionen
    Abb.6.34
    Abb.6.34
    geogebraSumme: Parabel mit Dauewelledownload
    Dies im GeoGebra-Book
    6.2 Funktionenbauhof
    6.2.2 Produkt von Funktionen
    Abb.6.35
    Abb.6.35
    geogebraProdukt: Sinus von Parabeln in die Zange genommendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    6.2 Funktionenbauhof
    6.2.3 Verkettung von Funktionen
    Abb.6.36
    Abb.6.36
    \(f(x)=\sin{x^2}\)
    geogebraVerkettung von Parabel und Sinusdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Die Funktionen können umdefiniert werden. Dann kann man mit dieser Datei alle Verkettungen visualisieren.
     
     
    Abb.6.39
    Abb.6.39
    \(f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\)
    geogebraGaußsche Glockenkurve als Verkettungdownload
    Dies im GeoGebra-Book

    6.2.4 und 6.2.5 Kehrwert-Funktionen, Quotienten von Fkt

    Neu in der 3. Auflage: Kehrwert-Funktionen, Quotienten von Fkt., Quotienten von Polynomen
    Funktionenbauhof
    6.2.4 Kehrwert-Funktionen
    Abb.6.40
    Abb.6.40
    geogebraAbb. 6.40 Kehrwertfunktion, erzeugt durch Verkettungdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Funktionenbauhof
    6.2.5 Quotienten von Funktionen
    Abb.6.41
    Abb.6.41
    geogebraAbb. 6.41 Quotienten von Funktionen durch Felderabstreichen findendownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.42 Abb.6.42
    geogebraAbb. 6.42 a) und b) Lücken in Funktionsquotienten Sinus/Geradedownload
    geogebraAbb. 6.42 c) und d) Lücken in Funktionsquotienten von zwei Parabelndownload

    Neu in der 3. Auflage: 6.2.6 Quotienten von Polynomen

    Funktionenbauhof
    6.2.6 Quotienten von Polynomen
    Abb. 6.43
    Abb.6.43
    geogebraAbb. 6.43 a) und b) Polynom-Quotienten, Zählergrad < Nennergraddownload
    geogebraAbb. 6.43 c) Formeln Polynom-Quotientendownload
    Abb.6.44 Abb.6.44
    geogebraAbb. 6.44 Direkte Quotientenbildung und Formeln, Parabel-Asymptote, Zählergrad=Nennergrad+2download
    geogebraAbb. 6.44 aus Bausteinen und Felderabstreichen, Parabel-Asymptote, Zählergrad=Nennergrad+2download
    Abb.6.45 Abb.6.45
    geogebraAbb. 6.45 Parabel/Parabel mit Felderabstreichendownload
    geogebraAbb. 6.45 c) (x^2+1)/x Gerade-Asymptote+ Hyperbel
    geogebraAbb. 6.45 d) Parabel-Asymptote + Hyperbeldownload
    Ende der neuen Seiten zu Quotienten   


    6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung

    Vorlesung
    Lecture

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  • Vorlesung 7: Euler'sche e-Funktion, Differentiale mit zeichnerischen Methoden  
    Handzettel  download
  • There will appear and alternately slide by slide in the following "English Version".
  • That is why you can compare the english und german vocabulary.
  • lecture 7: Euler's e-Function, Differenials in a grafical approach  
    handouts  download
  • #########################################################################
  • 6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung
    Abb.6.46/47
    steig-a-100-b250p.jpg 250x172 Abb.6.46/47
    geogebraSteigungen und Ableitungsfunktiondownload
    Dies im GeoGebra-Book
    6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung
    6.3.1 Ableitungsfunktion

    vs.
    Sekantensteigungsfunktion
    Abb.6.48
    sek-0-100-b250p.jpg 250x143 Abb.6.48
    geogebraVeränderung der Sekantensteigungdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Wichtiger Tipp:
    Bewegen Sie zunächst H mit den Pfeiltasten, dann verschwindet die Sekante, wenn H auf P fällt.
    Wenn Sie nämlich H mit der Maus ziehen, dann können Sie P nicht mehr exakt treffen, und es gibt scheinbar überall eine Sekante.
    Auch P dürfen Sie nur mit den Pfeiltasten bewegen, wenn Sie diesen didaktisch sinnvollen Effekt bewahren wollen.
    Falls Sie dennoch P oder H mit der Maus angefasst haben, können Sie rechts oben im Applet mit dem Doppelpfeil-Icon die ursprüngliche Version wieder herstellen.

    Die Tangente können Sie mit dem Schaltkästchen unter dem Bild anzeigen lassen.
    Die Ableitung können Sie mit der rechten Maustaste auf f3 links und "Objekt anzeigen" dazuschalten.
    6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung
    6.3.1 Ableitungsfunktion
    Eigenschaften
    Abb.6.49

    Abb.6.49
    geogebraUniverselle Datei zur Ableitungserkundungdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Wenn Sie sich Kopien dieser Datei machen, können Sie sie für beliebige Beispiele nutzen.
    Die gesammte "Kurvendiskussion" ist dann auch gleich dabei.
    Abb.6.50 Abb.6.50
    geogebraPolynome und ihre Ableitungendownload
    Stellen Sie Sätze auf wie:
    Ein Sattel der Ordnung m bei der Funktion f erzwingt eine Berührnullstelle der Ordnung m-1 bei der Ableitung f'.

    Ein Extremum der Ordnung m........

    Wie auch im Buch ist für f eine (variierbare) Höhenlage gewählt, damit sich die Phänomene optisch trennen.
    Abb.651
    Qualitativer Ableitungsgraph, ereugt durch Felderabstreichen. Die Vorgehensweise ist im Buch als Ablauf ausführlich beschrieben.

    Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet
    6.3.2 Hinführung zur
    e-Funktion

    Abb.6.52
    Abb.6.53
    6.52
    geogebraHinführung zur e-Funktion, wie sie nun nach Kenntnis des Ableitungsbegriffs möglich ist.download
    Dies im GeoGebra-Book
    Die Erläuterung steht ausführlich im Buch Abschnitt 6.3.2. und auch in der Vorlesung 7.


    6.4 Blick auf das Ganze: das Integral

    Vorlesung
    Lecture

  • #########################################################################
  • Vorlesung 8: Modellierungskreislauf, Integral, Anwendung Wetter, Eigenschaften  
    Handzettel  download
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  • That is why you can compare the english und german vocabulary.
  • lecture 5: modeling circuit, integral, mean and weather, properties  
    handouts  download
  • #########################################################################
  • Modellierung beim Wetter, Weg zum Integral
    6.4 Integral
    Abb.6.54
    Abb.6.54
    geogebraAllgemeine Erkenntnisse zur visuellen Deutung des Mittelwertesdownload
    Abb.6.56
    Abb.6.56
    geogebraMittlere Temperaturdownload

    6.4.1 Definition des Integrals
    6.4 Integral
    6.4.1 Definition des Integrals
    Abb.6.58
    Abb.6.59
    Abb.6.60

    Ergänzung

    Abb.6.58
    geogebraHinführung zum Integral am Wetterbeispieldownload
    geogebraHinführung zum Integral am universellen Beispieldownload
    In der universellen Datei können anstelle von f auch beliebige andere Funktionen eingetragen werden.
    Ergänzung
    Integral-Übung
    geogebraIntegral-Übungdownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Es ist hier sinnvoll, sich die Wirkung der Vertauschung der Grenzen klarzumachen.
    Flächen unter der x-Achse werden im Integral negativ gezählt. Das kann man hier auch beobachten.

    6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals
    Ergänzung
    Fläche zwischen Funktionsgraphen
    geogebraFläche zwischen zwei Funktionsgraphendownload
    Mittelwert
    suchen
    geogebraSuche Mittelwert der Funktionswerte im Intervall von A bis B, gefunden falls Integral=0 ist.download


    6.5 Großartiger Zusammenhang: der Hauptsatz

    6.5 Hauptsatz der Differenzial- und
    Integralrechnung

    Abb.6.63
    Abb.6.64
    Abb.6.65

    geogebraBeobachtungen an der Teppichabrollfunktiondownload
    Dies im GeoGebra-Book
    Abb.6.63
    geogebraBeobachtungen an der Teppichabrollfunktiondownload
    Dies im GeoGebra-Book
     
    Abb.6.66 Abb.6.66
    geogebraBeobachtungen des stets gleichen Zuwachses an der Teppichabrollfunktiondownload
    Dies im GeoGebra-Book


    6.6 Funktionen in höheren Räumen

    6.5 Höhere Dimensionen  
    Vorlesung
    Lecture

  • #########################################################################
  • Vorlesung 9: 3D- Funktionen, Regelflächen, Kegelschnitte, GPS, Kurven und Reflexion, u.a.  Handzettel  download
  • There will appear and alternately slide by slide in the following "English Version".
  • That is why you can compare the english und german vocabulary.
  • lecture 9: even more functions, ruled surfaces, conic sections, GPS, curves and reflection, et al.  
    handouts  download
  • #########################################################################
  • test dw testwebstart dw

    Hier ist noch viel zu erwarten.
    email.gif 12x9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn Erstellt März 2010, Update 17.02.2021 www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
    http://www.math.tu-clausthal.de/Arbeitsgruppen/Stochastische-Optimierung/index.php?id1=lehre&id2=applets&page=konfidenz
    cindy