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| Kapitel 06 Welt der Funktionen |
| Das Buch "Mathematik sehen und verstehen" wird erfreulicherweise etwa 2019 in der dritten Auflage erscheinen. Diese wird um etwa 20 Seiten umfangreicher sein. Sie befinden sich auf der Website zum Buch: Hier sind die Dateien aus GeoGebra und anderen Mathematik-Programmen, die die Bilder des Buches erzeugt haben. So können Sie alles interaktiv nachvollziehen. Die Vorlesung "Mathematik für alle" ist hier verfügbar. Weiter gibt es Ergänzungen, für die im Buch kein Platz mehr war. Insbesondere sind auch Aufgaben eingefügt. Bei Werkzeuge finden Sie ein Log-Buch und allerlei Hinweise. Falls nach dem Lesen im Buch noch Fragen übrig sind oder Sie Fehler finden, wenden Sie sich gern an mich. |
Vorlesungen + Lectures in  and  |
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| 6.1 Familien | 6.2 Bauhof | 6.3 Ableitung | 6.4 Integral | 6.5 Hauptsatz. | 6.6 Höhere Dim, | ||||||||||||||||||||||
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6.1 Funktionenfamilien |
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 Interaktive GeoGebra-Datei zur Stetigkeit  hier...
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6.1.1 Parabeln und elementare Variationen |
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.1 Parabeln und elementare Variationen Abb.6.4 Abb.6.5 Verschieben |
  
| Abb.6.5 Parabel u.a. Funktionen download
  Dies im GeoGebra-Book
Dies ist eine universale Datei zum Verschieben von Funktionen. Mit Variation von a schriebt man rechts-links, mit b hoch-runter. Die zu verschiebende Funktion kann durch "Umdefinieren" auch eine beliebige andere sein. | ||||
| Abb.6.6 | 
| Abb.6.6Parabel u.a. Funktionen Stecken und Stauchendownload
Auch hier kann man die Funktion beliebig umdefinieren. Falls die Spur von P stört, kann man sie wegwischen oder abschalten (siehe Werkzeugseite). | ||||
| Abb.6.7 | 
| Abb.6.7Parabel anpassen an die Form der Brückedownload
Hier kann man leicht das Bild austauschen und ein eigenes digitales Foto verwenden. Dies im GeoGebra-Book
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| Ergänzung | 
| Parabel in Stankt Petersburgdownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Aufgabe 6.1 |  | Aufgabe 6.1 Parabeln bestimmen download
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6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen |
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.2 Geraden und PotenzfunktionenAbb. 6.9 |
| Abb.6.9Geradenlernendownload
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| Abb.6.10 Aufgabe 6.2 Lösung Kap. 13 und hier |
| Abb.6.10Aufgabe 6.2: Geraden bestimmen und zwei weitere eintragendownload
Aufgabenlösung: Geraden bestimmendownload
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen Abb.6.11 |
| Abb.6.11Potenzfunktionen mit natürlichen Exponentendownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.12 | 
| Abb.6.12Potenzfunktionen mit beliebigen Exponentendownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.13 Aufgabe 6.3 Lösung Seite 319 |
| Abb.6.13Aufgabe 6.3: Verschobene und gespiegelte Potenzfunktionendownload
Aufgabenlösung 6.3: Verschobene und gespiegelte Potenzfunktionendownload
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| Abb. neu | 
| Potenzfunktionen (u.a) strecken und verschiebendownload
Dies im GeoGebra-Book
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6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt |
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.3 Polynome in ihrer Vielfalt Abb.6.14 Seite 133 Abb. 6.15 |
| Abb.6.14Polynome und ihr Verhalten an den Nullstellendownload
Dies im GeoGebra-Book
Variieren Sie zunächst die Nullstellen, z.B. schieben Sie den Regler von c nach rechts. Beobachten Sie, wie sich stets der ganze Graph verändern muss. Mit dem Streckfaktor k können Sie den Graphen zurück in das sichtbar Fenster holen. Auf Seite 132 wird dann die Vielfachheit der Nullstellen erklärt. Sie können sie mit r, s und t verändern. Auch auf jede solche Änderung muss der gesamte Graph reagieren. | ||||
| Aufgabe 6.4 Aufgabe 6.5 Abb.6.17 Abb.6.18 Lösungen Kap 13 Abb.13.9- Abb.13.11 |
| 6.17Polynome einzeln, Spielwiesedownload
Die Beispiele mit drei Nullstellen können Sie auch mit der obigen Datei erkunden. Mit der folgenden Datei stelle ich Ihnen aber auch noch extra eine Spielwiese zur Verfügung. Klicken Sie doppelt auf den Term von f und tragen Sie ein, was Sie möchten. Mit dem Streckfaktor t können Sie den Graphen zurück in das sichtbar Fenster holen. | ||||
| Polynome Abb. 6.14 Abb. 6.16 |
| Abb.6.16Polynome aus Linearfaktoren Zeichnendownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.18 |  | Abb.6.18Polynom, das man erst durch Denken erkenntdownload | ||||
| Abb.6.19 |  
| Abb.6.19Polynom, das durch eine Scherung, also hier Addition einer Geraden, verwandelt wirddownload
 Mehr zur Scherung folgt im Abschnitt zu Affenkästen. Hier einer Ergänzung dazu: Eine Scherung ist eine Abbildung, bei der es eine Scherachse gibt und einen Scherwinkel. Alle Punkte P wandern parallel zur Scherachse so, dass das Lot von P auf die Scherachse um den Scherwinkel kippt.Im Zusammenhang mit Funktionen entsteht durch Addition einer Geraden zum Funktionsterm eine Scherung. Bei festem b ist die Scherachse die y-Achse und der Scherwinkel ist der Steigungswinkel der Geraden. So ist es in obiger Datei verwirklicht. (Mit Betrachtung von b ist die Scherachse eine Parallele zur y-Achse durch die Nullstelle der Scher-Geraden.) Ausblick: Scherungen sind flächentreu. In dem Bild sind die Flächen zwischen dem Funktionsgrapen und der Geraden in jeder Stellung der Geraden genau gleich groß. | ||||
| In 6.1.3 Extra: Neu in der 3. Auflage Polynome im Affenkasten | ||||||
| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.4 ff Polynome im Affenkasten Abb.6.20  |
| Abb. 6.20 Jedes Polynom dritten Grades hat einen Wendepunkt W. Mit einem beliebigen anderen Punkt, hier grün dargestellt, definiert W einen Kasten aus acht gleichen Zellen, in dem das Polynom quasi "gefangen" ist. Sie sehen kein Koordinatensystem, weil das Gezeigte für jedes Polynom dritten Grades gilt. |
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| Abb.6.21 |  | Abb. 6.21 Zur Begründungskette für den Affenkasten. a) Start mit den drei dicken grünen
Punkten und dem zugehörigen Graphen. Die Kastenzellen haben die Abmessungen a und b. Verschiebung des Zentrums des Graphen in den Ursprung ergibt den
punktsymmetrischen rote Graphen.
b) Es folgt eine Scherung durch Addition einer Geraden y = mx mit m = 1/2, es ergibt sich der blaue Graph, die Kastenzellen sind nun Parallelogramme. Die Seite parallel zur y-Achse hat weiterhin die Länge b, dagegen ist a nun die (waagerechte) Höhe dieser Parallelogramme. Die Zellen haben daher ihren Flächeninhalt nicht geändert. c) Die Scherung wird durch Addition der Geraden y = - x bewirkt. Die schrägen Kastenkanten sind, wie bei b), nun Tangenten. Zu 6.21 a), und b)download
Dies im GeoGebra-Book
Zu 6.21 c)download
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| 6.1 Funktionenfamilien Parabeln im Bärenkasten Abb.6.22 | 
| Abb. 6.22 Es gibt nur eine Parabel in der Welt,wenn man von Maßstab absieht. Sie sehen
vier Parabeln p(x) = a x(x - b). Diese repräsentieren eine allgemeine Parabel, denn bei jeder
beliebigen Parabel kann man einen Punkt in den Ursprung schieben. Dann hat ihre Gleichung
diese Gestalt. a) a = 1; b = 1, b) a = 5; b = 1, c) a =-8; b = 2018, d) a = 0.1; b = 100
In einem "goldenen" Rechteck mit dem Seitenverhältnis f : 1, siehe 11.1, sind die Bilder
gezeichnet und enthalten für das Intervall [-b; 2b] die Ordinaten vollständig.
 Polynome im Affenkasten,
Mathematica-Notebook
Das Mathematica-Notebook zum Lesen
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| Abb.6.23 | 
Bärenkasten Abb. 6.23 a) und b) download
Dies im GeoGebra-Book
Bärenkasten Abb. 6.23 c) und d) download
Bärenkasten Abb. 6.23 c) und Variante von d)(interaktiv, ohne Beweiselemente) download Dies im GeoGebra-Book
| Abb. 6.23 Parabel: Sehnen, Tangenten, Bärenkasten Begründungen folgen im Text des Buches. a) Zu einer Parabeltangente gehören parallele Parabelsehnen, deren Mitten auf einer Parallelen zur Parabelachse durch den Berührpunkt liegen. b) Zu jeder Parabelsehne gehört ein Bärenkasten, dessen gegenüber liegender Rand in seiner Mitte eine Tangente "trägt". c) Konstruktion einer Parabeltangente zu gegebenem Berührpunkt B auf einer Parabel (rot). d) Bei einem Bärenkasten mit Viertelteilung in beiden Richtungen, werden die beiden bei B liegenden Zellen in ihren inneren Ecken von der Parabel getroffen. Ihre äußeren Ecken erlauben das schnelle Zeichen von "Randtangenten2. Diese schneiden sich so, dass die Strecke vom Schnittpunkt nach M von Punkt B halbiert wird. Gepunktet sind Beweiselemente, die dann fehlen können. |
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| 6.1 Funktionenfamilien Polynome 4. Grades im Patherkäfig Abb.6.24 | 
Abb. 6.24 Pantherkäfig a)download
Abb. 6.24 Pantherkäfig b)download
Dies im GeoGebra-Book
Abb. 6.24 Pantherkäfig c)download
| Abb. 6.24 Polynome 4. Grades und ihr Pantherkäfig Begründungen folgen im Text des Buches. In der vorderen Spalte sind die ersten und zweiten Ableitungen der in a), b) und c) dargestellten (roten) Polynome 4. Grades zu sehen. Für diese gibt es stets ein durch den Abstand der Wendestellen definiertes Raster aus vier blau gestrichelten Stangen, den Pantherkäfig. Auf seinen äußeren Stangen schneiden die beiden Wendetangenten das Polynom. a) Was man für diesen symmetrischen Fall, die W-Form, beweist, gilt dann auch für die gescherten Fälle. b) zeigt die durch Scherung verzogene W-Form mit drei Extrema, c) zeigt, dass bei nur einem Extremum und einem schrägen Sattel die besonderen Eigenschaften weiter gelten. Die hier gezeigte Halbierung der Fläche zwischen einer Wendetangente und dem Polynom gilt auch für a) und b). Der Name "Pantherkäfig" lehnt sich an das eindrucksvolle Gedicht von Rilke an, in dem von dem Panther im Käfig gesagt wird: "ihm ist, als ob es tausend Stäbe gäbe und hinter tausend Stäben keine Welt". Nun sind nämlich keine Kastenzellen, sondern senkrechte Parallelen wichtig. Die Relexion über den didaktischen Sinn von solchen Redeweisen erfolgt im Buch. |
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Ende der neuen Seiten: Polynome im Affenkasten  | ||||||
6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik |
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.5 Sinus, Kosinus und Musik Abb.6.25 |
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Abb.6.25Sinus interaktiv aus dem Einheitskreis download
Dies im GeoGebra-Book
Beachten Sie, dass man an dieser Datei auch am besten den Zusammenhang zwischen "Bogenmaß" und "Winkelmaß in Grad" verstehen kann. Im Zusammenhang mit anderen Funktionen ist das Bogenmaß unerläßlich. Mit einer Beschriftung der Rechtsachse im Gradmaß könnte mit man die Funktionen f(x)=sin(x) nicht zusammen mit anderen Funktionen verwenden. Dieses vertieft Kapitel 6.2. | ||||
| Abb.6.26 | 
| Abb.6.26Sinus waagerecht strecken und stauchendownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.26 | 
| Abb.6.26Sinus von Hand mit dem 6-Kästchentrick zeichnendownload
Dies im GeoGebra-Book -->
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| Abb.6.27 | 
| Abb. 6.27Stehende Wellen in einer Posaunedownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.28 | 
| Abb.6.28Kosinus interaktiv aus dem Einheitskreis download
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.29 | 
| Abb.6.29
Tangens interaktiv aus dem Einheitskreis download
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.29 | 
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| Abb.6.29Alle trigonometrischen Funktionendownload
Dies im GeoGebra-Book
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6.1.5 Exponentialfunktionen |
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.5 Exponentialfunktionen Abb.6.30 |
| Abb.6.30Exponentialfunktionendownload
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| Abb.6.31 | 
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| Abb.6.31 Das schnelle Wachsen der Exponentialfunktionen
Überzeugende Visualisierung in GeoGebra
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6.1.6 Umkehrfunktionen |
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| 6.1 Funktionenfamilien 6.1.6 Umkehrfunktionen Abb.6.32 |
| 6.32Umkehrfunktion mit Erklärungdownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.33 | 
| Abb.6.33Umkehrfunktionen der Parabelästedownload
Dies im GeoGebra-Book
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6.2 Funktionenbauhof |
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| 6.2 Funktionenbauhof 6.2.1 Summe von Funktionen Abb.6.34 |
| Abb.6.34Summe: Parabel mit Dauewelledownload
Dies im GeoGebra-Book
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| 6.2 Funktionenbauhof 6.2.2 Produkt von Funktionen Abb.6.35 |
| Abb.6.35Produkt: Sinus von Parabeln in die Zange genommendownload
Dies im GeoGebra-Book
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| 6.2 Funktionenbauhof 6.2.3 Verkettung von Funktionen Abb.6.36 |
| Abb.6.36 \(f(x)=\sin{x^2}\) Verkettung von Parabel und Sinusdownload
Dies im GeoGebra-Book
Die Funktionen können umdefiniert werden. Dann kann man mit dieser Datei alle Verkettungen visualisieren. | ||||
| Abb.6.39 |
| Abb.6.39 \(f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\) Gaußsche Glockenkurve als Verkettungdownload
Dies im GeoGebra-Book
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6.2.4 und 6.2.5 Kehrwert-Funktionen, Quotienten von Fkt |
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Neu in der 3. Auflage: Kehrwert-Funktionen, Quotienten von Fkt., Quotienten von Polynomen | ||||||
| Funktionenbauhof 6.2.4 Kehrwert-Funktionen Abb.6.40 | 
| Abb.6.40Abb. 6.40 Kehrwertfunktion, erzeugt durch Verkettungdownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Funktionenbauhof 6.2.5 Quotienten von Funktionen Abb.6.41 |
| Abb.6.41Abb. 6.41 Quotienten von Funktionen durch Felderabstreichen findendownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.42 | 
| Abb.6.42Abb. 6.42 a) und b) Lücken in Funktionsquotienten Sinus/Geradedownload
Abb. 6.42 c) und d) Lücken in Funktionsquotienten von zwei Parabelndownload
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Neu in der 3. Auflage: 6.2.6 Quotienten von Polynomen |
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| Funktionenbauhof 6.2.6 Quotienten von Polynomen Abb. 6.43 | 
| Abb.6.43Abb. 6.43 a) und b) Polynom-Quotienten, Zählergrad < Nennergraddownload
Abb. 6.43 c) Formeln Polynom-Quotientendownload
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| Abb.6.44 | 
| Abb.6.44Abb. 6.44 Direkte Quotientenbildung und Formeln, Parabel-Asymptote, Zählergrad=Nennergrad+2download
Abb. 6.44 aus Bausteinen und Felderabstreichen, Parabel-Asymptote, Zählergrad=Nennergrad+2download
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| Abb.6.45 | 
| Abb.6.45Abb. 6.45 Parabel/Parabel mit Felderabstreichendownload
Abb. 6.45 c) (x^2+1)/x Gerade-Asymptote+ Hyperbel
Abb. 6.45 d) Parabel-Asymptote + Hyperbeldownload
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| Ende der neuen Seiten zu Quotienten
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6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung | ||||||
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| 6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung Abb.6.46/47 |
| Abb.6.46/47Steigungen und Ableitungsfunktiondownload
Dies im GeoGebra-Book
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| 6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung
6.3.1 Ableitungsfunktion vs. Sekantensteigungsfunktion Abb.6.48 |
| Abb.6.48Veränderung der Sekantensteigungdownload
Dies im GeoGebra-Book
Wichtiger Tipp: Bewegen Sie zunächst H mit den Pfeiltasten, dann verschwindet die Sekante, wenn H auf P fällt. Wenn Sie nämlich H mit der Maus ziehen, dann können Sie P nicht mehr exakt treffen, und es gibt scheinbar überall eine Sekante. Auch P dürfen Sie nur mit den Pfeiltasten bewegen, wenn Sie diesen didaktisch sinnvollen Effekt bewahren wollen. Falls Sie dennoch P oder H mit der Maus angefasst haben, können Sie rechts oben im Applet mit dem Doppelpfeil-Icon die ursprüngliche Version wieder herstellen. Die Tangente können Sie mit dem Schaltkästchen unter dem Bild anzeigen lassen. Die Ableitung können Sie mit der rechten Maustaste auf f3 links und "Objekt anzeigen" dazuschalten. | ||||
| 6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung
6.3.1 Ableitungsfunktion Eigenschaften Abb.6.49 |
 
 
| Abb.6.49Universelle Datei zur Ableitungserkundungdownload
Dies im GeoGebra-Book
Wenn Sie sich Kopien dieser Datei machen, können Sie sie für beliebige Beispiele nutzen. Die gesammte "Kurvendiskussion" ist dann auch gleich dabei. | ||||
| Abb.6.50 | 
| Abb.6.50Polynome und ihre Ableitungendownload
Stellen Sie Sätze auf wie: Ein Sattel der Ordnung m bei der Funktion f erzwingt eine Berührnullstelle der Ordnung m-1 bei der Ableitung f'. Ein Extremum der Ordnung m........ Wie auch im Buch ist für f eine (variierbare) Höhenlage gewählt, damit sich die Phänomene optisch trennen. | ||||
| Abb.651 |  Qualitativer Ableitungsgraph, ereugt durch Felderabstreichen. Die Vorgehensweise ist im Buch als Ablauf ausführlich beschrieben. | |||||
Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet | ||||||
| 6.3.2 Hinführung zur e-Funktion Abb.6.52 Abb.6.53 |
| 6.52Hinführung zur e-Funktion, wie sie nun nach Kenntnis des Ableitungsbegriffs möglich ist.download
Dies im GeoGebra-Book
Die Erläuterung steht ausführlich im Buch Abschnitt 6.3.2. und auch in der Vorlesung 7. | ||||
6.4 Blick auf das Ganze: das Integral | ||||||
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| Modellierung beim Wetter, Weg zum Integral | ||||||
| 6.4 Integral
Abb.6.54 |
| Abb.6.54Allgemeine Erkenntnisse zur visuellen Deutung des Mittelwertesdownload
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| Abb.6.56 |  
| Abb.6.56Mittlere Temperaturdownload
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6.4.1 Definition des Integrals | ||||||
| 6.4 Integral 6.4.1 Definition des Integrals Abb.6.58 Abb.6.59 Abb.6.60 Ergänzung |
| Abb.6.58Hinführung zum Integral am Wetterbeispieldownload
Hinführung zum Integral am universellen Beispieldownload
In der universellen Datei können anstelle von f auch beliebige andere Funktionen eingetragen werden. | ||||
| Ergänzung Integral-Übung | 
| Integral-Übungdownload
Dies im GeoGebra-Book
Es ist hier sinnvoll, sich die Wirkung der Vertauschung der Grenzen klarzumachen. Flächen unter der x-Achse werden im Integral negativ gezählt. Das kann man hier auch beobachten. | ||||
6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals | ||||||
| Ergänzung Fläche zwischen Funktionsgraphen |
| Fläche zwischen zwei Funktionsgraphendownload | ||||
| Mittelwert suchen |
| Suche Mittelwert der Funktionswerte im Intervall von A bis B, gefunden falls Integral=0 ist.download
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6.5 Großartiger Zusammenhang: der Hauptsatz | ||||||
| 6.5 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Abb.6.63 Abb.6.64 Abb.6.65 |
Beobachtungen an der Teppichabrollfunktiondownload
Dies im GeoGebra-Book
| Abb.6.63Beobachtungen an der Teppichabrollfunktiondownload
Dies im GeoGebra-Book
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| Abb.6.66 | 
| Abb.6.66Beobachtungen des stets gleichen Zuwachses an der Teppichabrollfunktiondownload
Dies im GeoGebra-Book | ||||
Weiteres zur Analysis ist im Buch und auf der Website
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6.6 Funktionen in höheren Räumen | ||||||
| 6.6 Höhere Dimensionen |
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 Prof. Dr. Dörte Haftendorn |
Erstellt 2010, Update |
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de URL: https://masuv.web.leuphana.de |
Vorlesung
Lecture
Vorlesung 5: Einführung in Funktionen , Mathematik und Sprache, Potenzfunktionen
"Höhere Mathematik sehen und verstehen"