Höhere Mathematik sehen und verstehen

Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7
ISBN 978-3-662-62577-4 e-book
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer
Kapitel 03 Analysis 3D


3.1 Funktionen
Abschnitt 3.1.1
Seite 224
Abb. 3.1 Graph einer Funktion von zwei Veränderlichen. Über jedem Punkt \(A\) in der xy-Ebene wird der Punkt \(B\) mit \(z-\)Koordinate \(f(x,y)\) gezeichnet. Die Gesamtheit dieser Punkte ergibt den Graphen der Funktion \(z=f(x,y)\).
Funktionsgraph3d.ggb

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3.2 Differentialrechnung 3D
Abschnitt 3.1.1.1
Seite 225


Dieses "Gebirge" wird im Rahmen des Lagrange-Verfahrens noch ausführlich untersucht.
Abb. 3.2 Funktion zweier Veränderlicher dargestellt mit Höhenlinien. Gezeigt ist von links nach rechts: Schnitt des Graphen von \(f\) mit einer Ebene parallel zur xy-Ebene; viele solche Schnitte in gleichen \(z-\)Abständen; das Gerüst der Schnittkurven ohne den Graphen von \(f\); Blick auf dieses Gerüst senkrecht von oben, so dass man die Schar der Höhenlinien in der xy-Ebene sehen kann. Im letzten Bild sind noch die Koordinatenachsen eingezeichnet. Gut erkennbar: der steilere Hügel erzeugt die engeren Höhenlinien.
Hoehenlinien.ggb
Abschnitt 3.2
Seite 227
Abb. 3.3 Funktionen zweier Veränderlicher mit Tangentialebenen in einem Punkt. a) zeigt die allgemeine Situation, sie wird im Folgenden mehrfach aufgegriffen. b) zeigt ein Beispiel, bei dem in \(P_0\) in allen Richtungen stetig differenzierbare Schnittkurven existieren, die alle in \(P_0\) die Steigung 0 haben. Daher ist die Tangentialebene horizontal.
Tangentenflaeche.ggb
Tangentenflaeche2.ggb
Abschnitt 3.2.1
Seite 227
Abb. 3.4 Partielle Ableitungen. Die gezeigten Schnittkurven von \(f\) mit den Ebenen \(y=y_0\) und \(x=x_0\) durch den Punkt \(A = (x_0,y_0)\) sind stetig differenzierbare Kurven (rot bzw. grün). Die blauen Vektoren zeigen ihre Tangenten im Punkt \(B=P_0\).
partielle-ableitungen.ggb
partielle-ableitungen-pur.ggb
Abschnitt 3.2.1.1
Seite 228
Abb. 3.5 Existenz von Tangentialebenen. a) In \(P_0\) existieren die partiellen Ableitungen, aber keine Tangentialebene. b) Im zentralen Punkt sind alle Richtungsableitungen sogar stetig, aber es gibt dennoch keine Tangentialebene. Weiteres steht im Text.
Tangentenflaeche-keine.ggb
Tangentenflaeche-keine-2.ggb
Abschnitt 3.2.1.1
Seite 230
Abb. 3.6 Bilder zur Polardarstellung und zu speziellen Ableitungen. a) Raumfläche in Polarkoordinaten mit den Geraden aus c) als Regelfläche, siehe auch Abschnitt 2.7.6, b) Graphen zu \({f}_y(x_0,y)\) für \(x_0\in \{-0.5,\,-0.2,\,-0.1,\,0.6\},\) die extremale Steigung \(\pm 1\) ergibt sich stets für \(y=\pm x\). c) Raumfläche mit den Schnittgeraden der Ebenen, die auf den Winkelhalbierenden von x- und y-Achse senkrecht stehen. Auf Einzelheiten geht der Text ausführlich ein.
flaeche3.6-polar.ggb
flaeche3.6-kartesisch.ggb
Abschnitt 3.2.1.1
Seite 231
Abb. 3.7 Detailbilder mit Schnitten parallel zur x-Achse a) - e): \(y\) läuft von kleinen positiven zu kleinen negativen Werten und ist in c) genau null.
Gegenbeispiel 2d-differenzierbar ySchnitt.ggb
Abschnitt 3.2.1.1
Seite 232
Abb. 3.8 Gegenbeispiel ohne Tangentialebene trotz stetig differenzierbarer Schnittkurven. a) Graph von \(f\) mit einem Steigungsvektor, b) Schnitt des Graphen mit einer Ebene parallel zur y-Achse nahe am Ursprung.
Gegenbeispiel 2d-differenzierbar ySchnitt.ggb
Gegenbeispiel 2d-differenzierbar ySchnitt-links.ggb
Abschnitt 3.2.2
Seite 233
Abb. 3.9 Richtungsableitung zu einem Vektor \(\vec v=(v_1,v_2)^{\rm T}\): Nach Definition 3.2 gilt in \(B=P_0\): \(f_x=f_x(x_0,y_0)\), \(f_y=f_y(x_0,y_0)\); \(s=v_1\cdot f_x+ v_2\cdot f_y\) gilt geometrisch, nach Satz 3.2 ist dies die Richtungsableitung \(D_{\vec v}f=\vec{\nabla}f \cdot \vec{v}\) in \(B\).
Tangentenflaeche-Richtungsableitung-g.ggb
Richtungsableitung-pur.ggb
Abschnitt 3.2.2
Seite 235
Abb. 3.10 Raumfläche mit wanderndem Gradienten. Links ist durch das Fenster im Graphen in der xy-Ebene liegend an \(A\) angehängt der Gradient \(\vec\nabla f\) (violett) zu sehen; auf dem Graphen, senkrecht darüber, an den Punkt \(B\) angehängt dann waagerecht der Richtungsvektor \(\vec v\) (rot) zur Richtungsableitung und der Tangentialvektor (blau) der grünen Raumfläche. Zufällig hat der Gradient die Länge 1, sodass man rechts mit dem richtigen Blickwinkel erkennen kann, dass hier auch 1 die Steigung der Tangente ist. Experimentieren Sie durch beliebiges Ziehen an \(A\). Wenn Sie sich vorstellen, Sie würden in \(B\) Wasser ausgießen, so wird es genau entgegen der gezeigten Tangentenrichtung den Berg hinunterfließen.
Gradient-Gebirge.ggb
Gradient-Gebirge2.ggb
Abschnitt 3.2.2.1
Seite 235
Abb. 3.11 Gradient im Höhenlinienbild. Links ist eine Tangentialebene in einem Punkt \(B\) einer Höhenlinie gezeigt. Die Tangente an die Höhenlinie in \(B\) liegt auch in dieser Tangentialebene. Rechts ist das Höhenlinienbild mit der Tangente an die Höhenlinie in \(B\) zu sehen. Man sieht: der Gradientenvektor steht senkrecht auf der Tangente an die Höhenlinie im Punkt \(B\).
Tangentenflaeche-Hoehenlinie.ggb
Abschnitt 3.2.2.1
Seite 237
Abb. 3.12 Raumkurve mit Tangente. Der Graph von \(\vec f\) ist eine Schraubenlinie. \(\vec v\) ist ein Tangentialvektor im Aufpunkt \(B = \vec f(A),\ A=(x_0,0,0)\). Mit \(\lambda=x-x_0\) als Parameter hat \(\vec v\) die Darstellung \((1,J_{\vec f})^{\rm T}\).
RaumkurveTangente.ggb
Abschnitt 3.2.3
Seite 238


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Abb. 3.13 Kettenregel und totale Ableitung. a) Die (grüne) Funktion \(f\) ist die Parameterdarstellung einer Parabel mit dem Scheitel im Ursprung und der Öffnung in Richtung der positiven x-Achse. Die (blaue) Raumfläche ist durch \(g\) gegeben, und die Verkettung \(h=g\circ f\) kann man als senkrechte Projektion der Parabel auf die Raumfläche auffassen. \(h\) ist, wie im Text ausgerechnet, die (rote) räumliche Parameterkurve mit \(x(t)=2t^2\), \(y(t)=t\) und \(z(t)=10 t^5\).
b) Der (orangefarbene) Tangentenvektor an die (grüne) Parabel \(f\) für \(t=2\) ist \(\vec{t}=(4\cdot 2,\;1,0)^{\rm T}\). Der (violette) Tangentenvektor an die (rote) Kurve \(h\) in \(B=(8,2,320)\) ist \(\vec{v}=(8,\,1,\,800)^{\rm T}=(8,0,448){\rm T}+(0,1,352)^{\rm T}\). Dieses Bild ist im Vergleich zu a) um ca. \(180^\circ\) nach links gedreht.
kettenregel-ex.ggb
kettenregel-ex-b3.ggb
Abschnitt 3.2.4.1
Seite 242
Abb. 3.14 Gemischte Ableitungen sind von der Reihenfolge abhängig. Im Bild ganz links ist die Funktion \(\frac{xy^3}{x^2 + y^2}\) dargestellt zusammen mit \(f_x\) als Steigungsvektor an Punkt \(D\) über Punkt \(C\) und \(f_y\) als Steigungsvektor an Punkt \(B\) über Punkt \(A\). In der Mitte zeigt die Perspektive entlang der x-Achse, dass \(f_y(x,0) \equiv 0\) ist. Das rechte Bild aus der Perspektive entlang der y-Achse macht deutlich, dass \(f_x(0,y)\) mit \(y\) anwächst. \(A\) und damit \(B\) lässt sich in der GeoGebra-Datei entlang der x-Achse, \(C\) und damit \(D\) entlang der y-Achse verschieben.
SatzvonYoung.ggb
Abschnitt 3.2.4.1
Seite 242
Abb. 3.15 Gemischte Ableitungen im Detail. Von links nach rechts ist in a) bis e) der Steigungsvektor zu \(f_x(0,y)\) für \(y=-0.8,\ -0.4,\ 0,\ 0.4,\ 0.8\) gezeigt. Er steigt mit \(y\) linear an.
SatzvonYoung.ggb
Abschnitt 3.2.5
Seite 244
Abb. 3.16 Beispiel für ein Vektorfeld. Links Vektoren an ausgewählten, gleichmäßig verteilten Stellen rund um den Ursprung des \(\mathbb R^2\), rechts daraus entstehende Stromlinien mit Färbung grün für hohe, rot für niedrige Geschwindigkeit, wenn man die Vektoren als Geschwindigkeitsfeld deutet.
Bilder Div Curl, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Dieses Notebook enthält noch viele weitere Beispiele zur Darstellung von Vektorfeldern.
Abschnitt 3.2.5.1
Seite 245
Abb. 3.17 Deutung der Divergenz eines Vektorfeldes. Betrachtet wird die Materialbilanz für ein infinitesimales (grünes) 2d-Rechteck. Sie können sich das auch als 3D-Quader vorstellen. Genaueres erklärt der Text.
Abschnitt 3.2.5.1
Seite 246
Abb. 3.18 Wirkung der Divergenz auf Flächen. a) Divergenz ist positiv, mitfließende Flächen vergrößern sich, b) Divergenz ist konstant \(= 0\), mitfließende Flächen bleiben erhalten, sie ändern nur ihre Form.
Vektorfeld-Div-2-linear.ggb
Vektorfeld-Div-0-(2).ggb
Abschnitt 3.2.5.2
Seite 247
Abb. 3.19 Deutung der Rotation eines Vektorfeldes. Die Erklärung dazu findet sich im Text.
Abschnitt 3.2.5.3
Seite 248
Abb. 3.20 Interessantes Vektorfeld, bei dem die Werte der Divergenz und der Rotation farblich hervorgehoben sind. Links: Divergenz, grün Materialsenken (\({\rm div}<0\)), pink Materialquellen (\({\rm div}>0\)). Rechts: Rotation, blau im Uhrzeigersinn (negative Winkel), rot gegen den Uhrzeigersinn (positive Winkel).
Bilder Div Curl, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Dieses Notebook enthält noch viele weitere Beispiele zur Darstellung von Vektorfeldern.
Abschnitt 3.2.5.3
Seite 249
Abb. 3.21 Vektorfelder mit linearen Funktionen. Sie zeigen alle Standardsituationen, bei denen die Divergenz die Werte 0 oder 2 annimmt und auch die Rotation die Werte 0 oder 2 aufweist. Man beachte, dass im 2D-Fall die Rotation ein Skalar, also eine Zahl ist. Die Farben sind hier nur der Ästhetik wegen hinzugefügt, sie geben die Länge der Vektoren wieder: blau für kurze, orange für lange Vektoren.
Bilder Div Curl, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Dieses Notebook enthält noch viele weitere Beispiele zur Darstellung von Vektorfeldern.
Abschnitt 3.2.5.4
Seite 250
Abb. 3.22 Gradientenfeld einer Zentralkraft. Das Potential ist so gewählt, dass nicht nur (automatisch) die Rotation, sondern auch die Divergenz des Vektorfeldes verschwindet. Die farbigen Flächen sind deshalb alle gleich groß.
In der GeoGebra-Datei können Sie die Eckpunkte des grünen Rechtecks beliebig verschieben und sich den Effekt ansehen.
Vektorfeld-Div-zentral.ggb
Vektorfeld-Divergenz-anschaulich-zentral, Mathematica Quelltext
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3.3 Optimierung einer Funktion zweier Veränderlicher
Abschnitt 3.3
Seite 251
Abb. 3.23 Sattelpunkt für \(f(x,y) = x^2+y^2-3xy\).
Die oberen Bilder zeigen den dreidimensionalen Verlauf der Funktion und die Höhenlinien, im Grundriss sind sie gedrehte Hypelbeln (blau). In der Datei entstehen Sie als Spuren bei Variation von \(c\). (Spuren löschen mit Strg f)
Die darunter gezeigten Schnitte mit den Ebenen \(x=0\) und \(y=0\) können Sie in der Datei hinzuschalten.
fxySattel.ggb
Abschnitt 3.3.3
Seite 255
Abb. 3.24 Sattelpunkt und die Eigenvektoren der Hesseschen Matrix \(H_f\).
Dieses Bild setzt die Abb. 3.23 fort und wiederholt deren obere zwei Bilder, in die jetzt auch die Eigenvektoren von \(H_f\) eingetragen sind.
Rechts sind auch die Schnittkurven durch die Fläche mit senkrechten Ebenen durch die Eigenvektoren gezeigt. Diese können hinzugeschaltet werden, sind in der Datei gelb und verlaufen durch die Punkte mit den stärksten Krümmungen der Höhenlinien, wie im Buch erläutert.
fxySattel.ggb
Abschnitt 3.3.4
Seite 256
Abb. 3.25 Lineare Funktion auf Kreis optimieren. Gezeigt sind die Höhenlinien der Funktion \(f(x,y) = 4x + 3y\), die auf dem Kreis \(g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0\) optimiert werden soll. Eingezeichnet sind die Punkte auf dem Kreis, in denen \(f\) ein Minimum bzw. ein Maximum annimmt, sowie weitere Punkte, die im Text erklärt werden.
optlinaufkreis.ggb
Abschnitt 3.3.4.1
Seite 257
Abb. 3.26 Lagrange-Verfahren demonstriert mit Höhenlinien. Das rechte Bild zeigt den Graphen einer Funktion \(f(x,y)\) mit Höhenlinien, links die Höhenlinien allein in der Ebene. Die Nebenbedingung \(g(x,y) = 0\) ist links als blaue Kurve, rechts als "Wanderpfad" im Gebirge dargestellt. Die Objekte mit dem Index w beziehen sich auf das Gebirge und den Wanderpfad.
Punkt \(A\) mit dem Gradienten \(\vec{\nabla f}\) können Sie links frei ziehen. Damit wandern Sie mit \(A_w\) im Gebirge umher und es wird nochmals der Gradient (gelb) \(\vec{\nabla f}\) und die Richtungsableitung (rot) angezeigt.
\(M_w\) ist das Maximum von \(f\) unter der der Nebenbedingung \(g(x,y)=0\).
\(S_w\)ist ein Sattelpunkt.
optlagrange.ggb

3.4 Integrale 3D
Abschnitt 3.4.1
Seite 260
Abb. 3.27 Gebietsintegral. a) Volumen, nach oben begrenzt durch den Graphen von \(f\). b) und c) zeigen dazu Riemann'sche Unter- und Obersummen aus Quadern.

int3d-fl-unter-ober, Mathematica Quelltext
Abschnitt 3.4.1
Seite 261
Abb. 3.28 Ausschöpfung eines krummlinig begrenzten Integrationsgebietes. a) große Rechtecke in der xy-Ebene, b) bessere Ausschöpfung durch zusätzliche kleinere Rechtecke, c) Verfeinerung der schon bestehenden Rechtecke.
Abschnitt 3.4.1.1
Seite 262
Abb. 3.29 Mehrfachintegrale als iterierte Integrale, von der Quaderreihe über die Scheibe zum Blatt: a) Eine Reihe von Quadern ist eine Näherung für das Volumen einer Scheibe, die b) zeigt. c) Wird nun die y-Achse immer feiner unterteilt, so erhält man im Grenzfall ein Blatt an der festen Stelle \(y\).

int3d-fl-unter-ober, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt 3.4.1.1
Seite 264
Abb. 3.30 Variable Integrationsgrenzen. In a) ist das Integrationsgebiet mit den Funktionen, deren Graphen das Gebiet begrenzen, zu sehen. in b) ist das prismenartige Volumen gezeigt, dass das Integral auf der vorigen Seite berechnet. Die Funktion ist \(f(x,y) = x\), eine Ebene, die die y-Achse enthält.
Fubini-Grenzen-variabel.ggb
Abschnitt 3.4.1.2
Seite 265
Abb. 3.31 Gegenbeispiel zum Satz von Fubini. a) und c) Der Graph von \(f(x,y)\) ist als blaue Raumfläche mit je einem Balken aus den Untersummen gezeigt. b) und d) werden im Text erklärt. Es zeigt sich, dass \(f\) über dem Gebiet \(0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\) nicht integrierbar ist.
Fubini-ab.ggb
Fubini-cd.ggb
Abschnitt 3.4.1.2
Seite 266
Abb. 3.32 Die Integration nach \(x\) bei festem \(y\). a) Nahe bei \(y=0\): Die Graphen im xz-System zeigen von oben nach unten \(x\mapsto f(x,y_0)\) für \(y_0=0,\ 0.005,\ 0.01,\ 0.02,\ 0.03\) und \(0.04\). b) Dasselbe, aber die z-Achse ist so gestaucht worden, dass die "Werte" \(\infty\) und \(-\infty\) mit im Bild sind.


fubini-blaetter, Mathematica Quelltext
Abschnitt 3.4.2
Seite 267
Abb. 3.33 Koordinatentransformation. Nebeneinander sind die Gebiete \(G^*\) und \(G\) gezeigt, links dazu ein gleichmäßiges Gitter parallel zu den uv-Achsen, rechts das gebogene Bildgitter unter der Transformation \(T\). Zwei kleine Rechtecke, geformt von blauen und roten Vektoren, und deren Bilder als Rauten, sind auch eingezeichnet
Koordinatentransformation.ggb
Abschnitt 3.4.2
Seite 268
Abb. 3.34 Detail zu Abb. 3.33. Ein von zwei kleinen Vektoren \(\Delta u\) bzw. \(\Delta v\) parallel zu den xy-Achsen aufgespanntes Rechteck und dessen Bild unter der Transformation \(T\) als krummlinige Raute in den \(x,y\)-Koordinaten.
Abschnitt 3.4.2
Seite 269
Abb. 3.35 Hohlkegel, Volumenberechnung mit Koordinatentransformation auf Polarkoordinaten. Die Bilder zeigen von links nach rechts: die Gebiete \(G^*\) und \(G\) und den Graphen der Funktion \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\) für den kopfstehenden Kegel.
Polarkoordinaten.ggb
Polarkoordinaten-kegel.ggb
Abschnitt 3.4.3
Seite 270
Abb. 3.36 Gebiet mit parametrisiertem Rand in einem Richtungsfeld \(\vec v\). Der Rand ist gegeben durch \(\gamma(t)=(x(t),y(t))^{\rm T}\). Ein Tangentialvektor des Randes ist \(\vec w=\gamma'(t)\). Ein Normalenvektor auf dem Rand ist \(\vec{w}_\bot\), in normierter Version \(\vec{n}\).
GaussBeispiel-Param-2dim.ggb
Abschnitt 3.4.3
Seite 271
Abb. 3.37 Gauß'scher Satz für Rechteck und Quader. a) Summiert wird über die vier Ränder das Produkt von \(\vec v_i\cdot\vec n_i\) mit \({\rm d} x\) bzw. \({\rm d} y\) . b) Quadergebiet, zu summieren ist über alle sechs Flächen \(\partial Q_1,\;\dots,\,\partial Q_6\).
GaussQuaderNeu.ggb
Gauss-RechteckNeu.ggb
Abschnitt 3.4.3
Seite 274
Abb. 3.38 Gauß'scher Satz, Flussbilanz durch den Rand. a) Bogenelement \({\rm d} s=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} {\rm d} t =||\vec\gamma\,'(t)||{\rm d} t\) b) Flächenelement \({\rm d}\sigma = ||\vec\gamma_s\times\vec\gamma_t||\,{\rm d} s\,{\rm d} t\)
Abschnitt 3.4.3.1
Seite 277
Abb. 3.39 Gauß'scher Satz im 2D-Beispiel mit Randfunktionen. Beim Vektorfeld \(\vec v=(x,-2y)^{\rm T}\) ist die Divergenz \(\vec\nabla\cdot\vec v=1+(-2)=-1\), also konstant negativ. Das Flächenelement ist \({\rm d} F = {\rm d} x\,{\rm d} y\), die Quellenbilanz also \(\int_G (-1){\rm d} x\,{\rm d} y\). Wegen \(f(x)=-g(x)\) ist das einfach \(\int_{-2}^2(-2f(x)){\rm d} x = -\frac{16}{3}\).
GaussBeispiel2dimB.ggb
Abschnitt 3.4.3.1
Seite 277
Abb. 3.40 Gauß'scher Satz im 3D-Beispiel mit parametrisierter Randfläche. Beim Vektorfeld \(\vec v=(\frac{\varrho}{r}x,\frac{\varrho}{r}y,0)^{\rm T}\) ist die Divergenz \(\nabla\cdot\vec v=2\frac{\varrho}{r}\), also konstant positiv (für \(\varrho\ge 0)\). Die (blauen) Vektoren des Feldes sind alle parallel zur Grundebene radial zur z-Achse angeordnet. Im Bild ist \(\varrho=2\), in den Punkten \(\vec\gamma(s,t)\) der Kugeloberfläche sind sie \(2r\cos t\) lang. Da sie stets nach außen weisen, ist klar, dass die Fluss- und Quellenbilanz positiv sein werden. Die Quellenbilanz errechnet sich zu \(\int_{\rm Kugel}(2\frac{\varrho}{r}) {\rm d} V = 2\frac{\varrho}{r} V_{Kugel} = 2\frac{\varrho}{r}\frac{4}{3}r^3\pi = \frac{8}{3}\varrho r^2\pi\)
gauss-kugel.ggb
Abschnitt 3.4.3.1
Seite 278
Abb. 3.41 Kugel in Parameterdarstellung mit Tangentenvektoren. Zu Punkt \(C\) aus Abb. 3.40 ist ein \(\vec n\) in Grün und ein \(\vec v\) in Hellblau gezeigt. In der Parametrisierung der Kugeloberfläche \(\vec\gamma(s,t)\) (siehe Text) ist der Parameter \(s\) für die Breitenkreise zuständig, und mit \(t\) erreicht man die halben Längenkreise, die dann vom Parameter \(s\) um die z-Achse gedreht werden. In jedem Kugelpunkt stehen die Längenkreise senkrecht auf den Breitenkreisen. Beim Äquator ist \(t=0\), in \(A\) ist \(t=\frac{\pi}{3}\), in \(B\) ist \(t=-\frac{\pi}{3}\). In beiden Punkten ist der Tangentialvektor an den Längenkreis nach oben gerichtet, denn die z-Koordinate von \(\vec\gamma_t\) ist als \(r\cos t\) unabhängig vom Vorzeichen von \(t\).
gauss-kugel-tangenten.ggb
Abschnitt 3.4.4
Seite 279
Abb. 3.42 Satz von Stokes im \(\mathbb R^2\). Diesmal wird für das Integral entlang \(\partial G\) das Vektorfeld auf den normierten Tangentialvektor \(\vec t\) projiziert.
StokesR2.ggb
Abschnitt 3.4.4
Seite 283
Abb. 3.43 Satz von Stokes im \(\mathbb R^3\). Die Abbildung \(\varphi: G^* \to \mathbb R^3\) bildet \(G^*\in\mathbb R^2\) auf das Flächenstück \(G\) im \(\mathbb R^3\) ab. Die Koordinaten in \(\mathbb R^2\) heißen \(u\) und \(v\). Es ist \(\varphi(\partial G^*) = \partial G\) und \(\varphi(P^*) = P\). Vom Vektorfeld \(\vec v\) ist nur ein Vektor exemplarisch gezeigt. Seine Projektion auf die Tangentialebene in \(P\) ist \(\vec v_\lozenge\), bezogen auf die Basis \(\{\varphi_u,\varphi_v\}\). Bezieht man ihn auf die Basis \(\{\vec e_1,\vec e_2\}\) am Punkt \(P^*\in G^*\), so erhält man den Vektor \(\vec v\,^*\). Alle diese Vektoren bilden ein Vektorfeld in \(G^*\).
StokesR3.ggb
Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 04DGLn    START und TIPPS     Liste der Zusätze Erstellt: Jan. 2020, Update 29. Juli 2021
 Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Prof. Dr. Dieter Riebesehl  Dipl.-Math. Dipl.-Ing. Hubert Dammer