Mehrfachintegrale - Bereichsintegrale

Buch:Höhere Mathematik sehen und verstehen, Haftendorn, Riebesehl, Dammer, 
Springer Spektrum, Feb. 2021
Datei int3d-fl-unter-ober.nb zu Abschnitt 3.4.1 Seite 260, Abb. 3.27

Bilder zu Bereichsintegralen

Eine nette Funktion von 2 Veränderlichen

f[x_,y_]:=2-(x^2)-(1/2)(((y-(1/8)))^2)

Bild dazu

fplot[op_]:=Plot3D[f[x,y],{x,-0.5,1},{y,-1,1},Mesh->{5,3},Filling->Axis,PlotRange->{0,Automatic},BaseStyle->{FontSize->20,Opacity[op]},Ticks->{{{-0.5,"a"},{1,"b"}},{{-1,"c"},{1,"d"}},None}]

fplot[0.5]=Plot3D[f[x,y],{x,-0.5,1},{y,-1,1},Mesh->{5,3},Filling->Axis,PlotRange->{0,Automatic},BaseStyle->{FontSize->20,Opacity[0.5]},Ticks->{{{-0.5,"a"},{1,"b"}},{{-1,"c"},{1,"d"}},None}]

Die Punkte unter dem Gitter in der x-y-Ebene finden:

pt=Table[{x,y},{x,-0.5,1,0.25},{y,-1,1,0.5}];

Die Quader über jedem Raster-Rechteck finden, die eine Untersumme bilden:

unter=Table[Cuboid[{pt[[i,j]],0}//Flatten,{pt[[i+1,j+1]],Min[f[Sequence@@pt[[i,j]]],f[Sequence@@pt[[i+1,j]]],f[Sequence@@pt[[i,j+1]]],f[Sequence@@pt[[i+1,j+1]]]]}//Flatten],{i,1,6},{j,1,4}];

Die Quader über jedem Raster-Rechteck finden, die eine Obersumme bilden:

ober=Table[Cuboid[{pt[[i,j]],0}//Flatten,{pt[[i+1,j+1]],Max[f[Sequence@@pt[[i,j]]],f[Sequence@@pt[[i+1,j]]],f[Sequence@@pt[[i,j+1]]],f[Sequence@@pt[[i+1,j+1]]]]}//Flatten],{i,1,6},{j,1,4}];

Und beides, mit durchscheinender Fläche, zeigen:

b1=Show[fplot[0.5],Graphics3D[unter]]

b2=Show[fplot[1],Graphics3D[{Opacity[0.3],ober}]]

unter1=Table[Cuboid[{pt[[i,j]],0}//Flatten,{pt[[i+1,j+1]],Min[f[Sequence@@pt[[i,j]]],f[Sequence@@pt[[i+1,j]]],f[Sequence@@pt[[i,j+1]]],f[Sequence@@pt[[i+1,j+1]]]]}//Flatten],{i,2,2},{j,1,4}];

b3=Show[fplot[0.2],Graphics3D[(*Opacity[0.1],*) unter1]]

b4=Show[Plot3D[f[x,y],{x,-0.5,1},{y,-1,1},Mesh->{{-0.25,0},{-1,1}},Filling->Axis,PlotRange->{0,Automatic},BaseStyle->{FontSize->20,Opacity[0.7]},Ticks->{{{-0.5,"a"},{1,"b"}},{{-1,"c"},{1,"d"}},None}],Graphics3D[{Thickness[0.01],Line[{{0,-1,f[0,-1]},{0,-1,0},{0,1,0},{0,1,f[0,1]}}],Line[{{-0.25,-1,f[-0.25,-1]},{-0.25,-1,0},{-0.25,1,0},{-0.25,1,f[-0.25,1]}}]}]]

b5=Show[Plot3D[f[x,y],{x,-0.5,1},{y,-1,1},Mesh->{{-0.25},{-1,1}},Filling->Axis,PlotRange->{0,Automatic},BaseStyle->{FontSize->20,Opacity[0.7]},Ticks->{{{-0.5,"a"},{1,"b"}},{{-1,"c"},{1,"d"}},None}],Graphics3D[{Line[{{-0.25,-1,f[-0.25,-1]},{-0.25,-1,0},{-0.25,1,0},{-0.25,1,f[-0.25,1]}}]}]]