Mehrfachintegrale - Bereichsintegrale

Buch:Höhere Mathematik sehen und verstehen, Haftendorn, Riebesehl,
Dammer, 
Springer Spektrum, Feb. 2021
Datei fubini-blaetter.nb zu Abschnitt 3.4.1.2 Seite 266, Abb. 3.32

Gegenbeispiel zum Satz von Fubini

f[x_,y_]:=((x-y)/(((x+y))^3))

Erstmal Höhenlinien zeigen (die machen offenbar unten links Probleme!)

ContourPlot[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1},Contours->20]

ContourPlot[f[x,y],{x,0,0.1},{y,0,0.1},Contours->20]

Jetzt zu den Integralen:

fxn[y_]:=(∫_0^1)f[x,y]\[DifferentialD]x

fx[y_]:=∫f[x,y]\[DifferentialD]x

fxn[y]

fx[y]

Fxyn=(∫_0^1)fxn[y]\[DifferentialD]y

Fxy=∫fx[y]\[DifferentialD]y

fyn[x_]:=(∫_0^1)f[x,y]\[DifferentialD]y

fy[x_]:=∫f[x,y]\[DifferentialD]y

fyn[x]

fy[x]

Fyxn=(∫_0^1)fyn[x]\[DifferentialD]x

Fyx=∫fy[x]\[DifferentialD]x

Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1},PlotRange->{-5,5},BoxRatios->{1,1,1},PlotPoints->10,BaseStyle->FontSize->20]

mt=Simplify[(∫_y^1)f[x,y]\[DifferentialD]x,0<y<1]

mt/.y->{0.01,0.02,0.03,0.04}

Simplify[(∫_0^y)f[x,y]\[DifferentialD]x,0<y<1]

opts=BaseStyle->{FontSize->20,Thickness[0.005]};

Alles gezeigt, unverzerrt.

plotf=Plot[Table[f[x,y],{y,{0,0.005,0.01,0.02,0.03,0.04}}]//Evaluate,{x,0,0.2},PlotRange->{-500,1500},opts//Evaluate]

Die Verzerrungsfunktion: -∞ -> -a, Steigung in 0 ist b wird erreicht durch p(x)=(x/((1/b)-(x/a))). Das gilt für x<0. q(x) spiegelt das Verhalten am Ursprung. b sollte 1 sein, wenn die Kurven differenzierbar mit unverzerrten Kurven an der x-Achse zusammenkommen sollen.

p[x_]:=(x/(1/1-x/1000))

q[x_]:=p[-Abs[x]]Sign[-x]

Plot[q[x],{x,-10000,10000}]

Alles gezeigt, aber mit Stauchung im Positiven und Negativen bis hin zu ∞.

plotflog=Plot[Table[f[x,y]//q,{y,{0,0.005,0.01,0.02,0.03,0.04}}]//Evaluate,{x,0,0.10},PlotRange->{-1000,1000},opts//Evaluate,Ticks->{Automatic,Table[{q[x],x},{x,{-6000,-2000,-1000,-500,-200,200,500,1000,2000,6000}}]⋃Union@@Table[{{q[x],""},{q[-x],""}},{x,{100,300,400,600,700,800,900,1200,1400,1600,1800,4000,2000,3000}}]⋃{{-1000,"-∞"},{1000,"∞"}}},PlotPoints->300]