Höhere Mathematik sehen und verstehen

Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7
ISBN 978-3-662-62577-4 e-book
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer
Kapitel 01 Analysis 2D

1.1 "Zahlen bitte" 1.1.1 Aufbau des Zahlsystems
Abschnitt
1.1.1
Seite 2
Abb. 1.1 Zahlaufbau. Jeder tiefer stehende Zahlbereich enthält alle über ihm stehenden. In jedem oberen Zahlbereich gibt es Aufgaben, deren Ergebnisse in ihm nicht zu finden sind. Sie führen zur Einführung eines neuen Zahlbereiches, in dem dann alle solche Aufgaben lösbar sind.



ALLE BILDER
erscheinen beim Anklicken in neuem Tab
in dreifacher Göße.
Abschnitt
1.1.1.1
Seite 4
Abb. 1.2 Die Kreiszahl \(\pi\) wird berechnet aus der 2 n -fachen Seitenlänge der regelmäßigen, dem Einheitskreis einbeschriebenen 2 n -Ecke, Formeln in c), Herleitung in b), also der Quadratfamilie 4-Eck, 8-Eck, 16-Eck usw., gezeigt in a). Der halbe Kreisumfang ist dann pi,

Kreisfläche und halber Umfang innen  download
Zusatz Kreisfläche und halber Umfang außen.
In dieser Datei sind umfassende Vielecke aus der Quadratfamilie geometrisch konstruiert. Radius 1 bewährt sich, weil dann nicht das Fenster nachjustiert werden muss.
Die Kreiszahl pi ist dann der gemeinsame Grenzwert der umfassenden (umbeschriebenen) und der inneren (einbeschriebenen) n-Eckflächen aus Abb. 1.2.a), aber auch der im Buch hergeleitenen Folge der Wurzelausdrücke aus Abb. 1.2.b).

1.2 Komplexe Zahlen und deren Darstellung
Abschnitt
1.21
Seite 6
Abb. 1.3 Definition einer komplexen Zahl. a) Realteil, Imaginärteil, Betrag und Argument (Winkel) b) Die Zahl \(z\) und ihre konjugiert-komplexe Zahl \(\bar z\).


komplex-def.ggb
1.2.1
Seite
8
komplex-plus-minus.jeg Abb. 1.4 Strichrechnungen mit komplexen Zahlen ergeben wieder komplexe Zahlen. a) Summe, b) Differenz, c) die Summe mit der konjugiert-komplexen Zahl ist immer reell.


komplex-plus-minus.ggb
    komplex-plus-minus-pfeile.ggb
Abschnitt
1.21
Seite 8
    Abb. 1.5 Punktrechnungen und Wurzeln mit komplexen Zahlen. Der Einheitskreis ist der Deutlichkeit halber mit eingezeichnet. a) Produkt, b) Quotient, c) Quadratwurzel, d) fünfte Einheitswurzeln (siehe Text).
komplex-mal-durch.ggb
komplex-polar-wurzel.ggb
Abschnitt
1.2.1
Seite
10
Abb. 1.6 Additionstheoreme Dreieck ACE: Strecke \(\overline{AC} = \cos\alpha · \cos \beta\) und \(k = \sin\alpha · \cos\beta\)
Dreieck \(FDE: g = \cos\alpha · \sin\beta\) und \(d = \sin\alpha · \sin\beta\)
in a) Dreieck \(ABF: \overline{AB} = \cos(\alpha + \beta)\) und \(\overline{BF} = \sin(\alpha + \beta)\) für b) siehe Text
Additionstheo-sincos.ggb

Einschub von 1.5.5. Komplexe Funktionen folgt gleich unten nach dem Link zu Weiterführung im Buch

1.3 und 1.4 Folgen und Reihen haben eine eigene Leitseite

1.5.5 Komplexe Funktionen verbiegen Gitter
Abschnitt
1.5.5.
Seite 45
Abb. 1.30 Ein Urbildgitter ist in Grün und Blau gezeichnet,jeweils eine „Stange“ ist dicker und beweglich, auf ihr ist ein beweglicher Punkt A bzw. B.
a) Quadrat-Funktion \(f(z)=z^2=(a+ i b)^2\)
b) e-Funktion \(f(z)=e^z=e^{a+i b}= e^a\cdot e^{i b}\)
zu a) gitter-quadrat.ggb
zu b) gitter-e-fkt.ggb
Abschnitt
1.5.5.1
Seite 46
Abb. 1.31 Komplexe Wurzeln und Riemann’sche Fläche in Polardarstellung mit einer Winkeleinteilung von \(\frac{\pi}{12}\)
a) Die grünen Punkte auf dem Einheitskreis haben die roten Punkte als Wurzeln. Sie sind ausschließlich in der oberen Halbebene.
b) Die Punkte mit den blauen Kreuzen auf dem Einheitskreis des zweiten Blattes der Rie- mann’schen Fläche, z.B. \(D\), haben die Punkte mit den violetten Karos als Wurzeln, also \(D_0\). Sie sind ausschließlich in der unteren Halbebene.
c) Die Polarwinkel der Urbildpunkte und der Bildpunkte sind dieselben wie in a) und in b). Sie haben dieselben Farben, die Radien sind aber stufenweise verändert, und zwar für die Urbilder (grün bzw. blau) auf einer Quadratspirale und daher für die Bilder, die Wurzeln daraus, mit linearem Radiuswachstum (rot bzw. violett).
Zu a) und b) komplex-einheitswurzel-polar.ggb
Zu c) komplex-einheitswurzel-polar-spirale.ggb Die Interaktion ist bei der nachfolgenden Spirale überzeugender möglich.
Zusatz Wandern auf den beiden Blättern der Riemann'schen Fläche für die komplexe Wurzelfunktion.

Über das Buch hinaus haben wir das rechte der drei vorigen Bilder nochmals gemacht und zwar nun mit einer e-Funktionsspirale, sie heißt auch "logarithmische Spirale".
Auf diese Weise konnten wir deutlicher zeigen, dass die grüne Urbild-Spirale alle vier Quadranten durchläuft, ihre Bild-Spirale aber nur in der oberen Halbebene Punkte hat. Die blauen Urbilder befinden sich dann auf dem 2. Blatt der Riemannschen Fläche, wieder in allen vier Quadranten, ihre violetten Bilder sind ausschließlich in der unteren Halbebene.

komplex-einheitswurzel-polar-spirale-blaetter.ggb

Hier kann man \(A\) auf dem 1. Blatt frei ziehen und sich \(A'\) ansehen. Entsprechend ist \(D \) auf dem 2. Blatt mit passendem \(D'\).
Abschnitt
1.5.5.1
Seite 47
Abb. 1.32 Riemann’sche Flächen, a) für die Wurzelfunktion, b) für den Logarithmus.
a) Von Punkt A aus kann man in GeoGebra Punkt Q auf dem Rand des Einheitskreises des oberen (gelben) Blattes wandern lassen, zeitgleich wandert die (orangefarbene) Wurzel W in der (grünen) Gauß’schen Zahlenebene auf dem Einheitskreis. W ist erst auf der negativen reellen Achse, wenn Q schon wieder bei A ist. Beim Weiterlaufen „taucht Q ab“ auf das 2. Blatt der Riemann’schen Fläche, seine Wurzel W wird violett und W läuft nun Q voraus. Q holt aber auf, beide erreichen gleichzeitig Punkt A auf der reellen Achse und wechseln gemeinsam wieder auf das 1. Blatt.
b) Beim Logarithmus, siehe Abschnitt 1.5.5.2, würde sich Q auf dem Rand der teilweise gezeigten Wendelfläche nach oben oder unten schrauben, bei jeder Umdrehung würde sein Argument \(2 pi\) gewinnen oder verlieren.
Zu a) riemann-flaeche-wurzel-2.ggb
Zu b) riemann-flaeche-ln2.ggb
Abschnitt
1.5.5.1
Seite 48
Abb. 1.33 a) Riemann’sche Fläche, 1. Blatt schraffiert, 2. Blatt unschraffiert gleichfarbig unterlegt,
b) aus den Quadranten werden mit der Wurzelfunktion Dreiecke, oben schraffiert Wurzeln vom 1. Blatt, unten unschraffiert vom 2. Blatt.
c) Gitterverbiegung der Wurzelfunktion vom 1. Blatt, siehe Text.
quadranten-wurzel.ggb
gitter-wurzel.ggb
Abschnitt
1.5.5.2
Seite
49
Abb. 1.34 Die Logarithmus-Funktion verbiegt das Gitter.
a) Für das grün-blaue Gitter [-1,1]×[-1,1] mit Linienabstand 0.1 sind alle Bildkurven gezeigt.
b) Für das nicht gezeigte logarithmische Gitter [-10,10] × [-10,10] mit gestuften Abständen (siehe Text) entsteht aus jedem Quadranten ein Streifen mit Bildkurven.
c) Farbige Darstellung der Quadranten, deren Bildbereiche in d) zu sehen sind.


gitter-ln-fkt-carc.ggb

quadranten-ln.ggb
Zusatz

Demonstration, wie man in GeoGebra eine Funktion definieren kann.

carctan.ggb
Das Argument-Problem: Von komplexen Zahlen im 2. Quadranten erwartet man man einen Polarwinkel \(\alpha\), der \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) erfüllt. Eine Berechnung mit dem Arcustanges der Steigung liefert aber einen negativen Winkel, zu dem man \(\pi\) addieren muss. Auch im 3. Quadranten ist diese Addition nötig. Im 4. Quadranten bezeichnen \(\alpha\) und \(\beta\) als Polarwinkel denselben Punkt. Daher kann man dort wieder den Arkustangens nehmen.
Die in GeoGebra definierte Funktion liefert für \(0\leq\alpha<\frac{3}{2}\pi\) das \(\alpha\) und für \(\frac{3}{2}\pi\leq \alpha < 2 \pi\) das \(\beta\). Damit ist die Ebene längs der negativen imaginären Achse "aufgeschlitzt".
GeoGebra hat auch, wie alle CAS, eine Funktion für das Argument einer komplexen Zahl \(z\), geschrieben arg(a+i b) oder für einen kartesischen Punkt \(Z\) arg(x(Z), y(Z)), die i.d.R. die Ebene längs der negativen x-Achse aufschlitzt. Es existiert auch der Befehl abs(a+i b) bzw. abs(x(Z),y(Z)) für den Betrag von \(z\). (In der Befehlesammlung z.Z. nicht aufgeführt.) Achtung, das i ist aus den Sonderzeichen zu nehmen, wie \(\alpha, \dots\).

1.6 Differentialrechnung und 1.7 Funktionen untersuchen haben eine eigene gemeinsame Leitseite
Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 01 Analysis 2D   START und TIPPS  Liste der Zusätze Erstellt: Dez.2020, Update 20. Juli 2021
 Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Prof. Dr. Dieter Riebesehl  Dipl.-Math., Dipl.-Ing. Hubert Dammer