gitter-e-fkt.ggb
Abschnitt 1.5.5.1 Seite 46 |
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Abb. 1.31 Komplexe Wurzeln und Riemann’sche Fläche in Polardarstellung mit einer
Winkeleinteilung von \(\frac{\pi}{12}\)
a) Die grünen Punkte auf dem Einheitskreis haben die roten Punkte als
Wurzeln. Sie sind ausschließlich in der oberen Halbebene.
b) Die Punkte mit den blauen Kreuzen auf dem Einheitskreis des zweiten Blattes der Rie-
mann’schen Fläche, z.B. \(D\), haben die Punkte mit den violetten Karos als Wurzeln, also \(D_0\).
Sie sind ausschließlich in der unteren Halbebene.
c) Die Polarwinkel der Urbildpunkte und der Bildpunkte sind dieselben wie in a) und in b). Sie
haben dieselben Farben, der Radius ist aber stufenweise verändert.
Zu a) und b)
komplex-einheitswurzel-polar.ggb 
Zu c)
komplex-einheitswurzel-polar-spirale.ggb 
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Abschnitt 1.5.5.1 Seite 47 |
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Abb. 1.32 Riemann’sche Flächen, a) für die Wurzelfunktion, b) für den Logarithmus.
a) Von Punkt A aus kann man in GeoGebra Punkt Q auf dem Rand des Einheitskreises des
oberen (gelben) Blattes wandern lassen, zeitgleich wandert die (orangefarbene) Wurzel W in der
(grünen) Gauß’schen Zahlenebene auf dem Einheitskreis. W ist erst auf der negativen reellen
Achse, wenn Q schon wieder bei A ist. Beim Weiterlaufen „taucht Q ab“ auf das 2. Blatt der
Riemann’schen Fläche, seine Wurzel W wird violett und W läuft nun Q voraus. Q holt aber
auf, beide erreichen gleichzeitig Punkt A auf der reellen Achse und wechseln gemeinsam wieder
auf das 1. Blatt.
b) Beim Logarithmus, siehe Abschnitt 1.5.5.2, würde sich Q auf dem Rand der teilweise gezeigten
Wendelfläche nach oben oder unten schrauben, bei jeder Umdrehung würde sein Argument \(2 pi\)
gewinnen oder verlieren.
Zu a)
riemann-flaeche-wurzel-2.ggb
Zu b)
riemann-flaeche-ln2.ggb
im GeoGebra-Book -->
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Abschnitt 1.5.5.1 Seite 48 |
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Abb. 1.33 a) Riemann’sche Fläche, 1. Blatt schraffiert, 2. Blatt unschraffiert gleichfarbig
unterlegt,
b) aus den Quadranten werden mit der Wurzelfunktion Dreiecke, oben schraffiert
Wurzeln vom 1. Blatt, unten unschraffiert vom 2. Blatt.
c) Gitterverbiegung der Wurzelfunktion
vom 1. Blatt, siehe Text.
quadranten-wurzel.ggb
gitter-wurzel.ggb
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Abschnitt. 1.5.5.2 Seite 49 |
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Abb. 1.34 Die Logarithmus-Funktion verbiegt das Gitter.
a) Für das grün-blaue Gitter [-1,1]×[-1,1] mit Linienabstand 0.1 sind alle Bildkurven gezeigt.
b) Für das nicht gezeigte logarithmische Gitter [-10,10] × [-10,10] mit gestuften Abständen
(siehe Text) entsteht aus jedem Quadranten ein Streifen mit Bildkurven.
c) Farbige Darstellung der Quadranten, deren Bildbereiche in d) zu sehen sind.
gitter-ln-fkt-carc.ggb
quadranten-ln.ggb
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Zusatz |
 Demonstration, wie man in GeoGebra eine Funktion definieren kann.
carctan.ggb
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Das Argument-Problem:
Von komplexen Zahlen im 2. Quadranten erwartet man man einen Polarwinkel \(\alpha\),
der \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) erfüllt. Eine Berechnung mit dem Arcustanges der Steigung liefert aber einen negativen Winkel , zu dem man \(\pi\) addieren muss. Auch im 3. Quadranten ist diese Addition nötig. Im 4. Quadranten bezeichnen \(\alpha\)
und \(\beta\) als Polarwinkel denselben Punkt. Daher kann man dort wieder den Arkustangens nehmen.
Die in GeoGebra definierte Funktion liefert für \(0\leq\alpha<\frac{3}{2}\pi\) das \(\alpha\) und für
\(\frac{3}{2}\pi\leq \alpha < 2 \pi\) das \(\beta\). Damit ist Ebene längs der negativen imaginären Auchse "aufgeschlitzt".
GeoGebra hat auch, wie alle CAS, eine Funktion Argument(z), die i.d.R. die Ebene längs der negativen x-Achse aufschlitzt.
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1.6 Differentialrechnung und 1.7 Funktionen untersuchen haben eine eigene gemeinsame Leitseite
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