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Höhere Mathematik sehen und verstehenSpringer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7ISBN 978-3-662-62577-4 e-book www.mathematik-sehen-und-verstehen.de ![]() |
Dörte Haftendorn Dieter Riebesehl Hubert Dammer |
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1.6
Differentialrechnung und 1.7 Funktionsuntersuchungen in 01 Analysis 2D ![]() |
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Abschnitt 1.6.1 Seite 52 ![]() |
![]() a) und b) ![]() ![]() ![]() c) ![]() ![]() ![]() |
Abb. 1.35 Sekantensteigung und Tangente.
a) Zeigt eine Sekante bei festem \(P\) mit ihrer Steigung bei beweglichem zweiten Punkt \(H\). Unter \(H\) ist mit violetten Punkten die Sekanten- steigung in Abhängigkeit von \(x(H)\) dargestellt. b) zeigt viele Punkte dieser Sekantensteigungs- funktion, die aber eine Definitionslücke für \(h := x(H)-x(P) = 0\), d.h. \(P = H\) hat. Die stetige Fortsetzung durch die als Grenzwert erhaltene Steigung der Tangente erlaubt das Zeichnen der Tangente. c) zeigt nun mit der Ordinate von \(A\) Tangentensteigungswerte bei variablem \(P\) an. Die rote Kurve ist \(f'\) , die Ableitung von \(f\). Das in GeoGebra konstruierte Fahrrad zeigt bei Bewegung von \(P\) an seinem Hinterrad stets die Steigung von \(f\) in \(P\) an. |
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![]() \(f(x)=\frac{1}{10}(x+2)^2(x-2)(x-4)\) |
Interaktive Kurvendiskussion als Radtour
Alles, was üblicherweise ausgerechnet wird, kann GeoGebra angeben. Mindestens ist das als Kontrolle hilfreich. Mit dem CAS könnte man auch die Rechnungen prüfen. Dabei lässt man besser die Verschiebung "+2" fort, sie dient nur der Übersichtlichkeit. ![]() ![]() ![]() |
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Die Euler'sche Zahl e ist die Basis derjenigen Exponentialfunktion, die in \( E=(0,1)\) die Steigung 1 hat. Aus dem folgenden Satz ergibt sich dann: \( ( {\rm e}^x )'={\rm e}^x\) ![]() ![]() ![]() |
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a) Erzeugung der Ableitung als Ortskurve, Vermutung, dass es sich um eine Stauchung handelt, Realisierung einer Stauchung
b) Einstellen des Stauchfaktors, so dass die Ableitung und die Stauchung zusammenfallen. Beobachtung, dass der Stauchfaktor und die Tangentensteigung in \( E=(0,1)\) übereinstimmen. c) Einstellen der Basis, so dass Funktion und Ableitung aufeinanderfallen. |
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Satz: Die Ableitungen der Exponentialfunktionen \(f(x)=a^x\) sind y-Achsen-Streckungen von ihr selbst. Der Streckfaktor ist die Steigung der Tangente in \( E=(0,1)\). Bei der Basis e ist er 1.
Beweis: Der Differenzenquotient ist \( m_{sek}(x,h)=\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\frac{a^{h}-1}{h}\cdot a^x \). Der Bruch ist der von \(x\) unabhängige Streckfaktor, es gilt \( \lim_{h \to 0}{\frac{a^{h}-1}{h}}=m_{tangente}(0) \), (siehe Bild b)). Die Euler'sche Zahl e ist per definitionem die Basis, bei der der Streckfaktor 1 ist. | ||||||||||
Abschnitt 1.6.1.2 Seite 54 ![]() |
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Abb. 1.36 Funktionen (grün)
mit Umkehrfunktionen (rot). a) \(f(x)=\frac{1}{2} x^2 \iff f^{-1}(x)=\sqrt{2x\,} \mbox{ für }x \geq 0\), b) \(f(x)=\cos(x) \iff f^{-1}(x)=\arccos(x) \mbox{ für }0\leq x \leq \pi\mbox{ bzw. } -1\leq x\leq 1\), c) \(f(x)={\rm e}^x \iff f^{-1}(x)=\ln(x) \mbox{ für }x \in \mathbb R\mbox{ bzw. } x\ge 0,\) d) \(f(x)={\rm e}^x-\frac{3}{4} \iff f^{-1}(x)= \ln(x+\frac{3}{4})\) und Erklärung für \(f'(x)=\frac{b}{a}=\frac{1}{\frac{a'}{b'}}=\frac{1}{(f^{-1})'(y)}.\) ![]() |
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![]() Abschnitt 1.6.1.2 Seite 54 |
![]() ![]() ![]() ![]() Die Gleichungen der Umkehrrelationen lassen sich einfach durch Tausch von \(x\) und \(y\) schreiben. Im Bild ist \(y=\frac{1}{4}(x+2)^4\), daher ist die Umkehrrelation \(x=\frac{1}{4}(y+2)^4\). GeoGebra zeichnet diese implizite Gleichung sofort. Von GeoGebra wird aber eine Parameter-Gleichung angeboten, die mehrfach Nullen als Faktoren enthält. (Der Grund ist unklar.) Man kann sie einfach ernst nehmen, dann ergibt sich die Parameterdarstellung \(x=\frac{1}{4}(t+2)^4\) und \(y=t\), also die parametrisierte implizite Gleichung. Prinzipiell ist es klug, dass GeoGebra die Parameterdarstellung wählt. | ||||||||||
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Abschnitt 1.6.2.1 Seite 57 ![]() |
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Abb. 1.37 Tangente an die
Pascal'sche Schnecke mit \(k=a=2\). a) Die rote Tangente ist durch Ableiten der impliziten Gleichung bestimmt worden (siehe Text), weiter sind Polarradius und Polarwinkel für die Polardarstellung in Abschnitt 1.6.3.1 zu sehen. b) zeigt darüber hinaus die Konstruktion der Pascal'schen Schnecke als Konchoide (siehe Abschnitt 1.6.3.3), und in c) ist eine geometrische Konstruktion der Tangente vorgeführt, die für alle Polarkurven gilt, siehe Abschnitt 1.6.3.2. a) Im Buch ist die Gleichung der roten Tangente als \(y=\frac{2a}{k}x+k\) hergeleitet. |
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b) Pascal'sche Schnecken als Konchoiden, speziell als Hundekurven mit Kreisstraße.
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c) Tangenten für die Pascal'sche Schnecken kann man auch rein geometrisch erzeugen.
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![]() | Beweis der Tangentenkonstruktion: Im Kurvenbuch ist gezeigt, dass in dem braunen Dreieck die Seite \(\overline{ON}=r'(\theta)\) sein muss, damit die Senkrechte auf \(\overline{NP}\) Tangente in \(P\) ist. Siehe dazu hier Abb. 1.38. Dieses wird nun gezeigt: Der rechte Winkel bei \(O\) garantiert, dass \(\overline{NQ}\) Durchmesser des Wanderkreises ist. Dieser hat die Polargleichung \(r(\theta)=2a\cos{\theta}.\) Damit hat die Pascal'sche Schnecke die Polargleichung \(r(\theta)=2a\cos{\theta}\pm k\). Das hat \(r'(\theta)=-2a\sin{\theta}\) als Ableitung der Schnecke zur Folge. Sei nun \(O'\) der diametral gegenüber \(O\) liegende Punkt des Wanderkreises. Dann ist \(ONO'Q\) ein Rechteck, bei dem \(\theta=\angle{ OO'N}\) ist, und mit \(\overline{OO'}=2a\) gilt \(\overline{ON}=2a \sin{\theta}\). q.e.d. | ||||||||||
![]() | ![]() ![]() Wenn die Straße eine Gerade ist, haben wir die Konchoide des Nikomedes, mit einem Kreis als Straße, die hier vorgestellten Pascal'schen Schnecken, auch Limacon genannt, man kann \(Q\) auf jeder Kurve laufen lassen. Das Bild zeigt eine Konchoide mit Parabel-Straße. ![]() | ||||||||||
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Ellipsen zum Vergleich mit \(a=3,\;b=2\)
Violette Tangenten: Impizite Gleichung \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) Blaue Tangenten: Parameter-Gleichung \(x=a\cos{t},\; y=b\sin{t}\) Grüne Tangenten: Polar-Gleichung \(r(\theta)=\frac{p}{1-\varepsilon \cos{\theta}}\) Zusammenhang: \(p=\frac{b^2}{a},\; \varepsilon^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) |
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Abschnitt 1.6.3.2 Seite 59 ![]() |
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Abb. 1.38 Steigung und Tangente. a)
Sekantensteigung und Tangente für die
explizite kartesische Darstellung, b) Tangente und Normale
für Polarkurven.
![]() ![]() Die hier links gezeigte geometrische Konstruktion der Tangente ist in Abb. 1.37 c) bei den Pascal'schen Schnecken angewendet und dort im Zusatz bewiesen. Rechnerisch und grafisch ist die polare Ableitung soeben im Zusatz zu den Ellipsen-Tangenten vorgeführt. |
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Abschnitt 1.7.1 Seite 61 ![]() |
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Abb. 1.39 Lokale versus globale
Extrema. Für jeden der Punkte \(A\) bis \(F\) ist angegeben, um welche
Art von Extremum es sich handelt. In jedem Punkt ist eine Parallele
zur x-Achse gezeichnet, die die Extremaleigenschaft verdeutlicht,
sie ist in \(A\) und \(E\) nicht Tangente.
Die schwarzen Kreuze bezeichnen Wendepunkte, die in Abschnitt
1.7.4 besprochen werden.
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Kurvendiskussion
Hier auf der Webseite haben wir - im Gegensatz zum Buch - den Platz, Ihnen eine übliche Kurvendiskussion vorzustellen und Ihnen die Unterstützung durch GeoGebra zu zeigen. Wir gliedern in die Teile 1.) und 2.). Im 7. Kapitel werden wir vor allem auf die kniffligeren Vorgehensweisen eingehen.
Als Start öffen Sie das CAS-Fenster und definieren Sie die Funktion, die Sie untersuchen wollen, mit f(x):=.... Nur im CAS ist der Doppelpunkt nötig.
Durch dieses Vorgehen haben Sie dann dieses auch im Algebrafenster. Andersherum hätten Sie zwei verschiedene Namen.
1.) Elementare Erkundung mit dem Algebra- und dem Grafikfenster. Legen Sie \(a=0.2\) fest. So haben Sie später nun eine Steuerung für den Platzbedarf. Wie man solche "Form"-Parameter in CAS bewahrt, finden Sie hier. Nun ist \(f\) im Algebrafenster bekannt und der Graph erscheint im Grafikfenster. Wie Sie links sehen, braucht man nur die üblichen Ziele der Kurvendiskussion zu nennen, um sofort die entsprechenden Punkte auf dem Graphen zu bekommen. Deren Koordinanten erhält man, indem im rechten Pulldownmenu des Algebrafensters "Wert" wählt. 2.Symbolische Berechnung mit CAS: Es gibt das CAS-Menu ![]() Seine Befehle werden auf den Ausdruck angewandt, der am Anfang einer CAS-Zeile steht. Z.B. steht in Zeile 3 $2 (für Zeile 2), geklickt wurde der Button mit den Klammern, das hat die Klammern in Zeile 2 (hier sind nicht alle zu sehen) aufgelöst und alles nach Potenzen von x zusammengefasst. Aber es sind auch Befehle möglich, wie Zeile 8 zeigt. |
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Abschnitt 1.7.2 Seite 63 ![]() |
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Abb. 1.40 Sinus-Wunderdinge:
\(f_k(x)=x^k\sin{\frac{1}{x}}\) und \(f_k(0):=0\) a) Graph von \(f_0\) und b) Graph von \(f_0'\).\(\qquad\) c) Graph von \(f_1\) und d) Graph von \(f_1'\). \(f_0\) ist unstetig, \(f_1\) ist stetig, beide Ableitungen sind nicht beschränkt. Für alle vier Bilder: ![]() ![]() ![]() |
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Abschnitt 1.7.2 Seite 63 ![]() |
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Abb. 1.41 Sinus-Wunderdinge:
\(f_k(x)=x^k\sin{\frac{1}{x}}\) und \(f_k(0):=0\)} a) Graph von \(f_2\) und b) Graph von \(f_2'\).\(\qquad\) c) Graph von \(f_3\) und d) Graph von \(f_3'\). \(f_2\) ist differenzierbar, \(f_2'\) zwar beschränkt, aber in 0 nicht stetig. \(f_3\) ist stetig differenzierbar. |
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Abschnitt 1.7.2.1 Seite 65 ![]() |
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Abb. 1.42 Asymptoten für
\(f_k(x)=x^k\sin \frac{1}{x}\). a)
Graphen von \(f_2,\ y=\pm x^2,\ y=x\),
b) Graphen von \(f_3,\ y=\pm x^3,\ y=x^2-\frac{1}{6}\). Gezeigt sind also jeweils die oszillierende Kurve (rot), die einhüllenden Potenzfunktionen (blau und grün) und die Asymptote (ockerfarben). ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Abschnitt 1.7.3.1 Seite 66 ![]() |
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Abb. 1.43 a) Krümmung als Grenzwert von
\(\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\),
b) Krümmungskreis interaktiv mit der Normalen finden: Ziehe an den Mittelpunkten, welcher Kreis ist der intuitiv beste Krümmungskreis? c) Krümmungskreis interaktiv als Kreis durch drei Kurvenpunkte finden (Schupp und Henn). Rücke einen linken Punkt L und einen rechten Punkt R (fast) auf P. Der "Grenzkreis" müsste der Krünmmmungskreis sein. ![]() ![]() ![]() |
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![]() Zu Abschnitt 1.74 Seite 69 ![]() |
Hier fehlt ein Bild zum Zusammenhang mit der Krümmung. Evt. auch darüber noch was zur Evolute. Gemeinsamkeit: sowohl der Krümmungskreis als auch die Wendetangente durchsetzten die Kurve. | Zusatz Abb. 1.XYX Legende FETT BEACHTEN
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Erstellt: Dez.2020, Update |
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