Höhere Mathematik sehen und verstehen

Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7
ISBN 978-3-662-62577-4 e-book
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer
Kapitel 04 Differentialgleichungen

4.1 Einführung in DGLn und Beispiel 4.1 Kettenlinie
Abschnitt
4.1
Seite 284
Abb. 4.1 Kettenlinie.
a) An zwei festen Punkten hängt eine Kette, eine gleichmäßig verteilte Linienlast.
b) Skizze zur Herleitung der DGL der Kettenlinie aus den wirkenden Kräften.
Kettenlinie.ggb

ALLE BILDER (außer den Icons) erscheinen beim Anklicken in neuem Tab
in dreifacher Göße.

4.2 Ein weiter Blick über DGLn
Abschnitt
4.2
Seite 285f
A=Abschnitt B=Beispiel B=Beispiel
A 4.1 B 4.1 Abb. 4.12
A.4.2 B 4.2 B 4.8
A 4.3 B 4.3 B 4.9
A 4.4 B 4.4 B 4.10
A 4.5 B 4.5 B 4.11
A 4.6 B 4.6 B 4.12
A 4.7 B 4.7 B 4.13
BeispielSeite ThemaBemerkung
Beispiel 4.1Seite Kettenlinie\( y'' = k \sqrt{1 + (y')^2}. \), DGL 2. Ordnung, 2. Grades, konst. Koeff, statisch
Beispiel 4.2Seite 288Ein Spiegel, der Sonnenlicht sammelt\(y' = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}\), Richtungsfeld, DGL 1. Ordnung, 2. Grades, nicht-konst. Koeff., dynamisch
Beispiel 4.3Seite 291 Weiterführung: SpiegelLösung: Parabel
Beispiel 4.4Seite 295 Kettenlinie im PhasenraumSo können die Zusammenhänge bei DGLn 2. Ordnung visualisiert werden.
Beispiel 4.5Seite 297 Gedämpfte Schwingung\(x'' + 2\delta x' + \omega_0^2 x = 0\), Darstellung im Phasenraum
Beispiel 4.6Seite 298 Starres Pendel, Stangenpendel\(\varphi'' + \sin\varphi = 0\), dargestellt im Phasenraum mit \(\begin{align*} \varphi' = \omega,&\quad \omega' = -\sin\varphi &\quad \begin{pmatrix}\varphi \cr \omega\end{pmatrix} &\mapsto \begin{pmatrix}\omega \cr -\sin\varphi\end{pmatrix}. \end{align*}\)
Beispiel 4.7Seite 299 Exakte Lösungen für das Stangenpendeleindrucksvolles Bild im Phasenraum
Beispiel 4.8Seite 309 Homogene lineare DGL mit konst. Koeff. und Laplace-Transformation\(y'' - y' -2y = 0 \mbox{ mit Anfangswerten } y(0) = 4,\ y'(0) = -1\), Vorgehen bezogen auf Abb. 4.13,
Lösung \(y_h(t)=3{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t}\)
Beispiel 4.9Seite 316 Inhomogene, dynamische, lineare DGL mit konst. Koeff. und Laplacetransformmation\(y'' - y' -2y = t \mbox{ mit Anfangswerten } y(0) = 4,\ y'(0) = -1\), Vorgehen bezogen auf Abb. 4.13,
Spezielle Lösung \(y_{sp}(t)= -\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{4}\).
Zusammen: \(y(t)=y_h(t)+y_{sp}(t)=3{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{2t}+ -\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{4}\).
Beispiel 4.10Seite 332 Gekoppelte Pendel, Fortführung von Abschnitt 4.61 zu Abb. 4.20 Seite 326 \(\vec x\,' = A\,\vec x\), autonome lineare Systeme von DGLn.
Beispiel 4.11, mehr zu Fall i) Seite 337 Zweidimensionale lineare Systeme von DGLn,
mehr zu Fall i)
\(\vec x\,' = A\,\vec x\)
Beispiel 4.12Seite 339 Inhomogenes System lösen mit Laplace-Transformation\(\mbox{$x' = y + a$}, \mbox{$y' = b$}\) führt zu \(x_s(t) = \frac{1}{2}b\,t^2 + a\,t,\quad y_s(t) = b\,t.\)
Beispiel 4.13Seite 342 Nicht-lineare Systeme von DGLn,
z.B. Corona-Pandemie
\(\begin{align*} u' &= -\beta u v, & v' &= \beta u v - \gamma v, & w' &= \gamma v \end{align*}\) und \(\left\{\begin{matrix} x_1' &=& x_1^2 + x_2 \\ x_2' &=& x_2^2 - x_1 \end{matrix}\right.\).

4.3 Gewöhnliche DGLn, Grundlagen
Abschnitt
4.3.2
Seite 288
Abb. 4.2 Sammeln von Sonnenlicht. Die senkrecht von oben parallel einfallenden Sonnenstrahlen sollen durch einen kleinen Spiegel (blau) auf den Ursprung gelenkt werden. a) zeigt, wie der Neigungswinkel φ des Spiegels verändert wird, bis der gespiegelte Sonnenstrahl wirklich durch den Ursprung geht. b) zeigt für viele Punkte richtige Spiegelstellungen und einen typischen Lichtstrahl. Gesucht ist - und hier in Rot gefunden - eine Kurve, eine Funktion, die zu dem so entstandenen Richtungsfeld passt.
RichtungsfeldParabolspiegelSenkrecht.ggb
Abschnitt
4.3.2
Seite 289
Abb. 4.3 Berechnung der Neigung eines Spiegels. Ein Spiegelstück aus Abb. 4.2 ist hier gezeigt: Die Reflexionswinkel γ und ihre Scheitelwinkel γ' sind gleich groß. β ist der Neigungswinkel des Spiegels, also der Steigungswinkel der gesuchten Funktion.
Spiegelneigung.ggb
Abschnitt
4.3.2.2
Seite 292


Lösungen, Lösungswege:
Abschnitt
4.5.11
Seite 323
a) \(y' =\frac{1}{x^2}- \frac{y}{x}\)
b) \(y' = y + \sin{x}\)
c) \(y' = \frac{1}{5} (9 - y^2)\)
d) \(y' = \frac{x}{2}(1-y)\)
Abb. 4.4 Richtungsfelder für explizite DGLn 1. Ordnung. a) und d) sind lineare DGLn mit nicht konstanten Koeffizienten, b) ist eine solche mit konstanten Koeffizienten, c) ist eine DGL 2. Grades mit konstanten Koeffizienten. Alle vier Dateien sind .
a) DGLx2yx1.ggb b) DGLysinx.ggb, Weiterführung in Abschntt 4.5.7
c) DGL1802y2.ggb d) DGLx0505y.ggb
Anmerkung: Hier ist das Richtungsfeld in GeoGebra so definiert, dass Sie es für beliebige solche DGLn anpassen können. In dem Befehl
mm=Folge(Folge(1/5 (9 - t²), s, xmin, xmax), t, ymin, ymax) ist der rote Term durch Ihre Funktion f(s,t) zu ersetzen. Als Laufindizes stehen s für x und t für y.
Den Befehl Richtungsfeld (dieser Dateien) müssen Sie unverändert übernehmen, die Bildgrenzen xmax... müssen natürlich vorher festgelegt sein.
Abschnitt
4.3.3
Seite 293
Abb. 4.5 Die Isoklinen der logistischen DGL. Für m ≤ 1.8 sind sie hier grün mit einer Schrittweite von 0.6 für m eingezeichnet.
In dem Bereich zwischen den Geraden y = ±3 liegen, rot dargestellt, die „eigentlichen" logistischen Kurven.
Auch die blauen Kurven sind Lösungen. Einige sind eingezeichnet, aber sie können durch Ziehen von A und B mehr davon sehen.
DGL-logis-iso-pur.ggb
Abschnitt
4.3.3
Seite 294
Abb. 4.6 Isoklinen-Parabeln für die DGL y' = y2 - x entstehen wegen m = y2 - xy2 = x + m als nach rechts geöffnete und verschobene Normalparabeln, die m-Isokline hat ihren Scheitel in (-m, 0). Die Null-Isokline enthält den Ursprung. In der Mitte der Pfeile ist die angezeigte Pfeilrichtung gültig, was man an den Isoklinen-Parabeln sieht.
Rechts sind Lösungskurven eingezeichnet. Auf diese gehen wir bei Abb. 5.35 und 5.36 ein. Die Grenze zwischen den grünen und den blauen Lösungen wird in Abschnitt 5.65 exakt berechnet und in Abb. 5.45 (violett)dargestellt.
y2minusx-isoklinen.ggb
y2minusx-isoklinen+Loesung.ggb
Abschnitt
4.3.4
Seite 296
Abb. 4.7 Phasenraumdiagramm zur Kettenlinie. Links ist das Richtungsfeld zur DGL \(x'' = \sqrt{1+(x')^2}\) im Phasenraum zu sehen, man sagt auch Phasenraumdiagramm, dazu eine (rote) Lösungskurve im Phasenraum mit Startpunkt und einem Kurvenpunkt A = (x, x'), rechts ist violett die zugehörige Lösungskurve (t, x(t)) der Kettenlinien-DGL im tx-System gezeichnet. Auf ihr liegen der Start, A = (t, x(t)) und N = (xe, 0), die Abszissen dieser Punkte im linken Bild sind im rechten die Ordinaten, dort haben diese Punkte als Abszissen den Zeitpunkt t, zu dem sie erreicht werden. Auf der Website ist A animiert. Nach einem Start, hier für t = 0, ergibt sich für t das x(t) und damit A rechts, links gehört zu diesem A und seinem x(t) noch x'(t) und die im Richtungsfeld angezeigte Richtung. N ist der Scheitel der Kettenlinie.


PhasenraumKettenlinieLang.ggb
Abschnitt
4.3.4.1
Seite 298
Abb. 4.8 Phasenraumdiagramm zur gedampften Schwingung. Der Aufbau ist ebenso wie in Abb. 4.7 in Beispiel 4.1, zusatzlich kann man an Schiebereglern δ und ω0 einstellen.
GedaempfteSchwingungLang.ggb
Abschnitt
4.3.4.1
Seite 299
Beispiel 4.6
Abb. 4.9 Phasenraumdiagramm für ein Stangenpendel. Links ist das Phasenraumdiagramm zu sehen. Drei besondere Lösungen sind in Mathematica gerechnet und hier eingezeichnet, weil die analytischen Lösungen elliptische Integrale benotigen, die in GeoGebra nicht zur Verfügung stehen. (Siehe Beispiel 4.7). Rechts ist fur die Lösung 4 die im Text angegebene Funktion φ(t) im tφ-Koordinatensystem gezeichnet (violett). Die Zeit t kann mit dem Schieberegler verändert werden, dann bewegt sich darauf der Punkt A = (t, φ(t)) entsprechend, der mit A = (φ(t), φ'(t)) im linken Bild, dem Phasenraumdiagramm, gekoppelt ist. Die eingefügte Ansicht des Stangenpendels von der Nulllage bis zum instabilen Gleichgewichtspunkt bewegt sich auch passend mit.
PhasenraumPendelLang.ggb
Abschnitt
4.3.4.1
Seite 300
Beispiel 4.7
Abb. 4.10 Exakte Lösungen der DGL des Pendels. Gezeigt sind Lösungen mit Anfangswerten \(\varphi(0)=0\) und \(\varphi'(0)=\omega_0\) für \(\omega_0 = 0.2,\,0.4,\,\dots,\,3.0\). Damit beginnen die Kurven an der senkrechten Achse im Phasenraum. Die Zeit läuft bei allen Kurven von \(t=0\) bis \(t=4\). Die Kurven sind dennoch unterschiedlich lang, weil mit höherer Startgeschwindigkeit das Pendel in der gleichen Zeit einen größeren Winkelweg zurücklegt. \(\omega_0=2\) ergibt die Lösung 4.


PendelExakt, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

4.4 Anfangswertprobleme, Eindeutigkeit von Lösungen
Abschnitt
4.4.1
Seite 302
Abb. 4.11 DGL ist nicht eindeutig lösbar. Durch alle Punkte gehen beliebig viele Lösungen: die (hellblaue) spezielle Lösung \(y\equiv0\) und Kombinationen davon mit Parabelästen unterhalb oder oberhalb der x-Achse. Vier Lösungen durch Punkt \(A\) sind gezeigt. Den unteren Parabelast kann man noch so weit nach rechts schieben, dass er genau an den oberen anschließt.

DGLsqrty.ggb
Abschnitt
4.4.1
Seite 304
a) \(y' = \sqrt{\frac{x}{y}}\),

b) \(y' = \sqrt{\frac{y}{x}}\),

c) \(y' = -\sqrt{\frac{x}{y}}\),

d) \(y' = -\sqrt{\frac{y}{x}}\).
Abb. 4.12 Der Definitionsbereich der DGL hat einen Rand.

Der Definitionsbereich der rechten Seite der DGLn ist gelblich unterlegt. Lösungen beginnen am Rand und laufen dann evtl. bis ins Unendliche. Die speziellen Lösungen sind hellblau eingetragen. Bei den rechten Bildern sorgt \(y\equiv0\) wieder für mehrfache Lösungen durch Punkte auf der x-Achse.
a) DGLsqrtxdurchy.ggb b) DGLsqrtydurchx.ggb
c) DGLminus-sqrtxdurchy.ggb d) DGLminus-sqrtydurchx.ggb

4.5 Laplacetransformationen
In großer Ausführlichkeit folgen im Buch die Abschnitt 4.5.1 bis 4.5.5, die das Vorgehen beschreiben und begünden.
Abschnitt
4.5.2
Seite 307
Beispiele
4.8 Seite 309
4.9 Seite 316
u.a.
Abb. 4.13 Lösung einer DGL mit Laplace-Transformation.
Grundlegendes Vorgehen.

Aufgegriffen in Beispiel 4.8 Seite 309 Normale Welt \(longrightarrow\)Laplace-Welt für \(y'' - y' -2y = 0 \mbox{ mit Anfangswerten } y(0) = 4,\ y'(0) = -1\).
Aufgegriffen in Beispiel 4.9 Seite 316 Laplace-Welt \(longrightarrow\)Normale Welt.
Abschnitt
4.5.6
Seite 314
"mal" 1 \(e^{at},\ a>0\) \(e^{-at},\ a>0\)


\(1\)



\(t\)


\(t^2\)


\(\cos{bt}\)
\(b>0\)

\(\sin{bt}\)
\(b>0\)
Abb. 4.14 Bausteine für Lösungen homogener linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten. Jede Zelle enthält einen Übersichtsgraphen der Funktion, die sich als Produkt des Eintrags vor der Zeile und des Eintrags über der Spalte ergibt.
Blau unterlegt sind die Fälle mit reellen Nullstellen, die für DGLn 2. Ordnung möglich sind. Es können nur entweder zwei Felder der 1. Zeile oder zwei übereinanderliegende der ersten und der zweiten Zeile Summanden der Lösung sein.
Grün unterlegt sind die Fälle von DGLn 2. Ordnung mit zwei komplexen Nullstellen. Es können einzelne Zellen oder zwei übereinander stehende Zellen Summanden der Lösung sein. Es sind zu den roten Lösungsgraphen blaue "Einhüllende" gezeichnet.
Die Zeile mit weißem Hintergrund kann bei mehrfachen reellen Nullstellen auch mit höheren Potenzen von \(t\) gedacht werden, aber die Ordnung der DGL muss dann um eins höher sein als der Exponent von \(t\).



4.5.7 Inhomogene lineare DGLn und Laplacetransformationen
Abschnitt
4.5.11.1
Seite 323
In dem Richtungsfeld Abb. 4.4 b) geht es um die DGL \(y'(t)=y(t)+\sin t\), die in diese Kategorie gehört
und die im Buch in Abschnitt 4.5.11.1 Seite 324 auch mit Laplacetransformation gelöst wird.
Beispiel 4.9
Seite 316
Die DGL \(y''(t)-y'(t)-2y(t)=t\) wird mit Laplacetransformation gelöst. Da sie zweiter Ordnung ist, lässt sich kein Richtungsfeld zeichnen, in dem man die die Lösung verifizieren könnte.

Zusatz
in Abschnitt
4.5.7
Seite 316

Wir lösen eine DGL mit Laplace, die komplizierter ist als die Beispiele im Buch, aber sich dennoch von Hand einigermaßen bequem lösen lässt.
Zudem können wir die Lösungsschar in einem Richtungsfeld eintragen. \[ y'(t) = y(t) + \cos t\ {\rm e}^{\frac{1}{5}t},\quad y(0) = k. \]
Für das Beispiel benötigen wir diese Einträge aus der Tabelle Seite 125.
Für DGLn ist es nach Seite 126 üblich, die Transformierten mit Großbuchstaben zu bezeichnen:

\( y(t) \longrightarrow Y(s) \qquad\mbox{und} \qquad y'(t) \longrightarrow s\;Y(s)+ y(0) \)

Am Ende des Kapitels 01Analysis2d bei den Integraltransformationen Abschnitt 1.9.7 haben wir hier auf der Website ausführlich an diesem Beispiel die
Laplacetransformation von \(g(t)=\cos t\ {\rm e}^{\frac{1}{5}t} \) visualisiert und verständlich gemacht.
Laplacetransformation nach der Tabelle führt auf \[ sY(s) - y(0) = Y(s) + \frac{s-\frac{1}{5}}{\left(s-\frac{1}{5}\right)^2+1}. \] Auflösen nach \(Y(s)\): \[ Y(s)(s-1) = k + \frac{s-\frac{1}{5}}{\left(s-\frac{1}{5}\right)^2+1}, \] \[ Y(s) = \frac{k}{s-1} + \frac{s-\frac{1}{5}}{\left(\left(s - \frac{1}{5}\right)^2+1\right)(s-1)}. \] Ansatz für die Partialbruchzerlegung: \[ \frac{A}{s-1} + \frac{Cs+D}{\left(s-\frac{1}{5}\right)^2+1} = \frac{s-\frac{1}{5}}{\left(\left(s - \frac{1}{5}\right)^2+1\right)(s-1)}. \] Die Gleichung mit dem rechten Nenner multiplizieren und dann Kürzen, Klammern auflösen und nach s-Potenzen sortieren: \[ A\left(\left(s - \frac{1}{5}\right)^2+1\right) + (Cs+D)(s-1) = s -\frac{1}{5}, \] \[ s^2(A+C) + s\left(-\frac{2}{5}A+D-C\right) + \frac{1}{25}A+A-D = s -\frac{1}{5}. \] Koeffizientenvergleich liefert die Gleichungen \[ 0 = A+C,\quad \text{also} \quad C = -A, \] \[ 1 = -\frac{2}{5}A+D-C = \frac{3}{5}A+D,\quad \text{also} \quad D = 1-\frac{3}{5}A, \] \[ -\frac{1}{5} = \frac{26}{25}A-D = \frac{26}{25}A-1+\frac{3}{5}A = \frac{41}{25}A-1,\quad \text{also} \quad A=\frac{25}{41}\cdot\frac{4}{5} = \frac{20}{41}, \] \[ C = -\frac{20}{41},\quad D = 1-\frac{3}{5}\cdot\frac{20}{41} = \frac{29}{41}. \] Damit haben wir \[ Y(s) = \frac{k}{s-1} +\frac{20}{41}\cdot\frac{1}{s-1} + \frac{-\frac{20}{41}s+\frac{29}{41}}{\left(s-\frac{1}{5}\right)^2+1}. \] Für den Zähler des letzten Bruches brauchen wir eine Gestalt, die den linearen Term \(s-\frac{1}{5}\) enthält, wir schreiben also um: \[ Y(s) = \left(k+\frac{20}{41}\right)\frac{1}{s-1} + \frac{-\frac{20}{41}\left(s-\frac{1}{5}\right)-\frac{4}{41} + \frac{29}{41}}{\left(s-\frac{1}{5}\right)^2+1}. \] Damit gelingt nun die Rücktransformation: \[ y(t) = \left(k+\frac{20}{41}\right){\rm e}^t - \frac{20}{41}\cos t\ {\rm e}^{\frac{1}{5}t} + \frac{25}{41}\sin t\ {\rm e}^{\frac{1}{5}t}. \] Die DGL ist gelöst.
Laplace-cos-eFuenftel-Loesung.ggb
Es ging also um die DGL \(y'(t)=y(t)+\cos(t)e^{\frac{1}{5}t}\).
Links ist das Richtungsfeld dazu zu sehen, dessen Erzeugung in GeoGebra bei Abb. 4.4 erlärt ist. Anstelle des roten Terms finden Sie in der nachfolgenden Datei \(yy+\cos(xx)e^{\frac{1}{5}xx}\), denn \(s\) hat hier schon eine andere Bedeutung.
Die grüne Funktion links hat den hier als Lösung gefundenen Term(t).
Für die blaue Lösung durch \(A=(ax,ay)\) musste die Gleichung \(ay=Term(ay)\) nach \(k\) aufgelöst werden.
Im GeoGeba-CAS verhindern Doppelbuchstaben \(kk,axx,ayy\), dass die momentanen Werte aus dem Grafikfenster genommen werden.
\( \left\{ kk = \frac{41 \; ayy + 20 \; \cos\left( axx \right) \; e^{\frac{axx}{5}} - 20 \; e^{axx} - 25 \; e^{\frac{axx}{5}} \; \sin \left( axx \right)}{41 \; e^{axx}} \right\} \) Nun kann die blaue Lösung bewegt werden.
Laplace-cos-e-DGL.nb, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

4.5.8 Laplacetransformationen für periodische Funktionen
Abschnitt
4.5.8
Seite 317
Abb. 4.15 Laplace-Transformation für einen Tiefpass. Beispiel zur Regelungstechnik: Das Eingangssignal für einen Tiefpass ist hier eine periodische Rechteckschwingung. Das Ausgangssignal hängt von den Eigenschaften der Schaltelemente ab. Auf der Website kann das Produkt \(RC\) verändert und die Wirkung beobachtet werden.


LaplaceTiefpass.ggb
Abschnitt
4.5.8.1
Seite 318
Abb. 4.16 Laplace-Transformation für eine periodische Funktion. Zu sehen sind: grün \(f(t)\), blau \({\rm e}^{-st}\), rot die periodische Fortsetzung von \({\rm e}^{-st}\big|_{[0,T]}\) mit Periode \(T\).


Laplace periodisch.ggb
Abschnitt
4.5.10
Seite 322
Abb. 4.18 Hinführung zur Euler'schen Formel. a) Lösung und Deutung der DGL \(f'(x) = a\cdot f(x)\), hier gezeigt für \(a=0.5\). Rückt \(A\) nach rechts, wird die Ordinate immer größer. Der blaue Geschwindigkeits-Vektor hat die \(a\)-fache Länge in Tangentenrichtung. b) Die Ordinate aus a) ist nun ein Vektor \(\vec x(t)\) in x-Achsenrichtung und sein \(a\)-faches ist der Geschwindigkeitsvektor \(\vec x\,'(t)\), bezeichnet als \(X_v\).
euler-a.ggb
Abschnitt
4.5.10
Seite 323
Abb. 4.19 Komplexe Zahlen als Vektoren. a) Beim Produkt komplexer Zahlen werden die Argumente (= Winkel) addiert und die Beträge multipliziert. Speziell bewirkt die Multiplikation mit i eine Drehung um \(90^{\circ}\). b) Bei der komplexen DGL \(z'(t) = \) i\(\cdot z(t)\) ist im Vergleich mit der reellen DGL nun \(a=\) i. Die Lösung ist also \(z(t)={\rm e}^{{\rm i} t}\). Wie in b) hervorgehoben steht der blaue Vektor \(z'(t)\) stets senkrecht auf \(z(t)\), daher wird \(z(t)\) nicht länger und wegen |i| = 1 verlängert sich auch der blaue Vektor nicht.
euler-b.ggb

4.6 Systeme von DGLn
Abschnitt
4.6.1
Seite 326
Beispiel 4.10
Abb. 4.20 Gekoppelte Pendel als Stangenpendel, verbunden durch eine Feder.
a) Ruhezustand,
b) Anfangsbedingung mit Auslenkung des rechten Pendels,
c) Zustand einige Zeit nach dem Loslassen des rechten Pendels. Die Lage der Koordinaten \(x_1\) und \(x_2\) ist eingezeichnet.
Abschnitt
4.6.1
Seite 328
Abb. 4.21 Lösungskurven zu gekoppelten Pendeln.
Die Amplituden beider Pendel verändern sich mit der Zeit selbst sinusförmig.


gekoppeltePendel.ggb
Abschnitt
4.6.3
Seite 332
Abb. 4.22 Lösungen zu komplexen Eigenwerten. Gezeigt wird als Beispiel ein 2-dimensionales System, daher spannen die Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) den ganzen Raum auf. Am Schieberegler kann der Realteil \(\alpha\) des Eigenwertes verändert werden. \(\alpha=-0.06\) sorgt für ein langsames Schrumpfen, führt aber zu krummen Werten in der Matrix \(A\). Für den interessierten Leser sollen die Details dieses Systems von DGLn genannt werden: Die Matrix ist \(A = \frac{1}{650}\left(\begin{smallmatrix} -589 & 725 \cr -1000 & 511 \end{smallmatrix}\right)\). Es sind dann die Eigenvektoren \(\vec v_{1,2} = (5\pm2{\rm i},2\pm6{\rm i})^{\rm T}\), also \(\vec a = (5,2)^{\rm T},\ \vec b = (2,6)^{\rm T}\), zu Eigenwerten \(\lambda_{1,2} = -0.06\pm{\rm i}\).
SysDGLnKomplexEllipse.ggb Damit Sie das nebenstehende Bild erhalten, muss in der Geogebra-Datei der Schieberegler für \(\alpha\) auf den anderen Wert -0.06 gesetzt werden, so wie es im Text in der Datei beschrieben ist.
Abschnitt
4.6.3
Seite 332
Abb. 4.23 Ellipse als spezielle Lösung. Die Haupt- und Nebenachsen der Ellipse sind eingezeichnet. Die Konstruktion der Achsen aus den Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) nach David Rytz ist in blau eingezeichnet: Man konstruiert \(\vec b\,'\) senkrecht auf \(\vec b\) und schlägt dann den Kreis um die Mitte von \(\vec a\) und \(\vec b\,'\) durch den Ursprung. Diesen schneidet man mit der Geraden durch die Endpunkte von \(\vec a\) und \(\vec b\,'\).
SysDGLnKomplexEllipse.ggb

Abschnitt
4.6.4
Seite 333

und zu
Beispiel 4.11
Seite 337

a)  b)  c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
Tabelle 4.3 Lösungeskurven zu zweidimensionalen Systemen.

Umfassende Übersicht.
Die zugehörigen Matrizen und Eigenwerte finden Sie im Buch.
Auch die Dimension des Eigenraumes wird betrachtet.


Anmerkung:
Wenn Sie auf eins der Bilder klicken, erscheint es in neuem Tab vergrößert und
gibt seinen sprechenden Namen preis.






Beipiel 4.11 Auf Seite 337 zeigt eine ergänzende Rechnung zum Teilbild i).
Abschnitt
4.6.5
Seite 339
Abb. 4.24 Vergleich homogenes und inhomogenes System von DGLn. Links sind Richtungsvektoren des homogenen, rechts Lösungen des inhomogenen Systems mit \(a=2\) und \(b=1\) zu sehen. Die Geraden parallel zur x-Achse im homogenen Fall schließen sich im inhomogenen zu Parabeln zusammen.


InhomogenesSystem, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt
4.6.6
Seite 340
Abb. 4.25 System von DGLn für eine Epidemie.
a) Phasenraumdiagramm für \(u\) und \(v\) mit der Lösung zu den Anfangswerten \(\beta = 0.0004,\ \gamma = 0.035,\ u(0)=997,\ v(0)=3\),
b) Entwicklung der Epidemie mit Lösungskurven für \(u(t),\ v(t),\ w(t)\).
Corona, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt
4.6.6
Seite 341
Abb. 4.26 Verlauf von Lösungskurven außerhalb von Fixpunkten. Die Lösungskurven zu \(\vec x\,' = A\vec x + \vec b\) werden links in linearer, rechts in quadratischer Näherung gezeigt. Die Matrix \(A\) ist eine Drehungsmatrix mit Drehwinkel \(\varphi\). Anfangspunkt \(\vec c\) und Vektor \(\vec b\) können verschoben werden.
DGlSysnoFixpunkt exakt.ggb
Zusatz Diese Datei bietet die Möglichkeit, das Richtungsfeld zum DGl-System darzustellen und die exakte Lösung durch den Punkt \(\vec c\) anzuzeigen. Dann kann man verfolgen, dass die linearen Approximationen zu den Lösungen wirklich mit den richtigen Steigungen beginnen, und dass die quadratischen Approximationen im Startpunkt auch die richtige Krümmung haben.
Zwar liegt im Ursprung kein Fixpunkt vor - so war das System konstruiert worden -, aber das schließt Fixpunkte an anderer Stelle nicht aus. Tatsächlich gibt es einen Fixpunkt, der eingezeichnet ist. Auch das Richtungsfeld zeigt dort ein typisches Verhalten. Um welche Art von Fixpunkt handelt es sich?
Probieren Sie auch andere Winkel \(\varphi\) für die (Dreh-)Matrix \(A\) aus. Die Lage des Fixpunkts hängt davon und von \(\vec b\) ab. Insbesondere für \(\varphi=0^\circ\) ergibt sich ein strahlenförmiges Richtungsfeld, so dass die Lösungen wirklich exakte Geraden sind. Der Fixpunkt liegt dann bei \(-\vec b\). Wird andererseits \(\vec b=\vec0\) gesetzt, so landet der Fixpunkt im Ursprung.
Die Rechnungen zur Bestimmung der erstaunlich komplizierten Lösungen stehen in den folgenden Notebooks:
DGlSysNoFixpunkt exakt, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt
4.6.6
Seite 342
Abb. 4.27 Nichtlineare DGL-Systeme.
a)} Wirbel und instabiler Knoten, b)} Instabiler Knoten und instabiler Fixpunkt, c)} Instabiler und stabiler Knoten und zwei instabile Fixpunkte.


DGlSys-nonlinear-Bilder, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

4.7 Partielle DGLn
Abschnitt
4.7.2
Seite 345
Abb. 4.29 Lösung für eine schwingende Saite. Die Lösung \(\psi(x,t) = \Phi(x-ct) + \Psi(x+ct)\) besteht aus zwei verschieden großen Wellenbergen, einer positiv, der andere negativ, die sich in entgegengesetzter Richtung bewegen. Die Teilbilder zeigen das Verhalten der Lösung zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.
WellengleichungLoes.ggb

ANIMIERT
Abschnitt
4.7.3
Seite 346
Abb. 4.30 Lösung für eine schwingende eingespannte Saite. Die Lösung \(\psi(x,t) = \Phi(x-ct) + \Psi(x+ct)\) besteht aus einem Wellenberg \(\Phi\) und seiner Punktspiegelung \(\Psi\), die sich in entgegengesetzter Richtung bewegen. Die Teilbilder zeigen das Verhalten der Lösung an einem Ende der Saite zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten. Die Summanden \(\Phi\) und \(\Psi\) sind grün bzw. blau dazu gezeichnet.


WellengleichungLoesRand.ggb
Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 04Differentialgleichungen   START und TIPPS     Liste der Zusätze Erstellt: Dez.2020, Update 29. Juli 2021
 Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Prof. Dr. Dieter Riebesehl  Dipl.-Math. Dipl.-Ing. Hubert Dammer