Höhere Mathematik sehen und verstehen

Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7
ISBN 978-3-662-62577-4 e-book
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer
Kapitel 04 Differentialgleichungen

4.1 Einführung in DGLn und Beispiel 4.1 Kettenlinie
Abschnitt
4.1
Seite 284
Abb. 4.1 Kettenlinie. a) An zwei festen Punkten hängt eine Kette, eine gleichmäßig verteilte Linienlast. b) Skizze zur Herleitung der DGL der Kettenlinie aus den wirkenden Kräften.


Kettenlinie.ggb

4.2 Ein weiter Blick über DGLn
Abschnitt
4.2
Seite 285f
A=Abschnitt B=Beispiel
A 4.1 B 4.1
A.4.2 B 4.2
A 4.3 B 4.3
A 4.4 B 4.4
A 4.5 B 4.5
A 4.6 B 4.6
A 4.7 Abb. 4.12

4.3 Gewöhnliche DGLn, Grundlagen
Abschnitt
4.3.2
Seite 288
Abb. 4.2 Sammeln von Sonnenlicht. Die senkrecht von oben parallel einfallenden Sonnenstrahlen sollen durch einen kleinen Spiegel (blau) auf den Ursprung gelenkt werden. a) zeigt, wie der Neigungswinkel φ des Spiegels verändert wird, bis der gespiegelte Sonnenstrahl wirklich durch den Ursprung geht. b) zeigt für viele Punkte richtige Spiegelstellungen und einen typischen Lichtstrahl. Gesucht ist - und hier in Rot gefunden - eine Kurve, eine Funktion, die zu dem so entstandenen Richtungsfeld passt.


RichtungsfeldParabolspiegelSenkrecht.ggb
Abschnitt
4.3.2
Seite 289
Abb. 4.3 Berechnung der Neigung eines Spiegels. Ein Spiegelstück aus Abb. 4.2 ist hier gezeigt: Die Reflexionswinkel γ und ihre Scheitelwinkel γ' sind gleich groß. β ist der Neigungswinkel des Spiegels, also der Steigungswinkel der gesuchten Funktion.


Spiegelneigung.ggb
Abschnitt
4.3.2.2
Seite 292
Abb. 4.4 Richtungsfelder für explizite DGLn 1. Ordnung. a), b) und d) sind lineare DGLn mit nichtkonstanten Koeffizienten, c) ist eine DGL 2. Grades mit konstanten Koeffizienten.
a) y' = 1/x2 - y/x
b) y' = y + sin x
c) y' = 1/5 (9 - y2)
d) y' = x/2 (1 - y)


DGl y' = x(-2) - yx(-1).ggb
DGl y' = y + sin x.ggb
DGl y' = 1.8 - 0.2y^2.ggb
DGl y' = x(0.5-0.5y).ggb
Abschnitt
4.3.3
Seite 293
Abb. 4.5 Die Isoklinen der logistischen DGL. Für m ≤ 1.8 sind sie hier grün mit einer Schrittweite von 0.6 für m eingezeichnet. In dem Bereich zwischen den Geraden y = ±3 liegen, rot dargestellt, die „eigentlichen" logistischen Kurven.


DGl y' = 1.8 - 0.2y^2-Iso-pur.ggb
Abschnitt
4.3.3
Seite 294
Abb. 4.6 Isoklinen-Parabeln für die DGL y' = y2 - x entstehen wegen m = y2 - xy2 = x + m als nach rechts geöffnete und verschobene Normalparabeln, die m-Isokline hat ihren Scheitel in (-m, 0). Die Null-Isokline enthält den Ursprung. In der Mitte der Pfeile ist die angezeigte Pfeilrichtung gültig, was man an den Isoklinen-Parabeln sieht.


XXX y2minusx-isoklinen-bei0.ggb
Abschnitt
4.3.4
Seite 296
Abb. 4.7 Phasenraumdiagramm zur Kettenlinie. Links ist das Richtungsfeld zur DGL \(x'' = \sqrt{1+(x')^2}\) im Phasenraum zu sehen, man sagt auch Phasenraumdiagramm, dazu eine (rote) Lösungskurve im Phasenraum mit Startpunkt und einem Kurvenpunkt A = (x, x'), rechts ist violett die zugehörige Lösungskurve (t, x(t)) der Kettenlinien-DGL im tx-System gezeichnet. Auf ihr liegen der Start, A = (t, x(t)) und N = (xe, 0), die Abszissen dieser Punkte im linken Bild sind im rechten die Ordinaten, dort haben diese Punkte als Abszissen den Zeitpunkt t, zu dem sie erreicht werden. Auf der Website ist A animiert. Nach einem Start, hier für t = 0, ergibt sich für t das x(t) und damit A rechts, links gehört zu diesem A und seinem x(t) noch x'(t) und die im Richtungsfeld angezeigte Richtung. N ist der Scheitel der Kettenlinie.


PhasenraumKettenlinieLang.ggb
Abschnitt
4.3.4.1
Seite 298
Abb. 4.8 Phasenraumdiagramm zur gedampften Schwingung. Der Aufbau ist ebenso wie in Abb. 4.7 in Beispiel 4.1, zusatzlich kann man an Schiebereglern δ und ω0 einstellen.


GedaempfteSchwingungLang.ggb
Abschnitt
4.3.4.1
Seite 299
Abb. 4.9 Phasenraumdiagramm für ein Stangenpendel. Links ist das Phasenraumdiagramm zu sehen. Drei besondere Lösungen sind in Mathematica gerechnet und hier eingezeichnet, weil die analytischen Lösungen elliptische Integrale benotigen, die in GeoGebra nicht zur Verfügung stehen. (Siehe Beispiel 4.7). Rechts ist fur die Lösung 4 die im Text angegebene Funktion φ(t) im tφ-Koordinatensystem gezeichnet (violett). Die Zeit t kann mit dem Schieberegler verändert werden, dann bewegt sich darauf der Punkt A = (t, φ(t)) entsprechend, der mit A = (φ(t), φ'(t)) im linken Bild, dem Phasenraumdiagramm, gekoppelt ist. Die eingefügte Ansicht des Stangenpendels von der Nulllage bis zum instabilen Gleichgewichtspunkt bewegt sich auch passend mit.


PhasenraumPendelLang.ggb
Abschnitt
4.3.4.1
Seite 300
Abb. 4.10 Exakte Lösungen der DGL des Pendels. Gezeigt sind Lösungen mit Anfangswerten \(\varphi(0)=0\) und \(\varphi'(0)=\omega_0\) für \(\omega_0 = 0.2,\,0.4,\,\dots,\,3.0\). Damit beginnen die Kurven an der senkrechten Achse im Phasenraum. Die Zeit läuft bei allen Kurven von \(t=0\) bis \(t=4\). Die Kurven sind dennoch unterschiedlich lang, weil mit höherer Startgeschwindigkeit das Pendel in der gleichen Zeit einen größeren Winkelweg zurücklegt. \(\omega_0=2\) ergibt die Lösung 4.


PendelExakt, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

4.4 Anfangswertprobleme, Eindeutigkeit von Lösungen
Abschnitt
4.4.1
Seite 302
Abb. 4.11 Legende DGL ist nicht eindeutig lösbar. Durch alle Punkte gehen beliebig viele Lösungen: die (hellblaue) spezielle Lösung \(y\equiv0\) und Kombinationen davon mit Parabelästen unterhalb oder oberhalb der x-Achse. Vier Lösungen durch Punkt \(A\) sind gezeigt. Den unteren Parabelast kann man noch so weit nach rechts schieben, dass er genau an den oberen anschließt.


XXX DGLsqrty.ggb
Abschnitt
4.4.1
Seite 304
Abb. 4.12 Der Definitionsbereich der DGL hat einen Rand.
a) Links oben: \(y' = \sqrt{\frac{x}{y}}\),
b) rechts oben: \(y' = \sqrt{\frac{y}{x}}\),
c) links unten: \(y' = -\sqrt{\frac{x}{y}}\),
d) rechts unten: \(y' = -\sqrt{\frac{y}{x}}\).
Der Definitionsbereich der rechten Seite der DGL ist grün unterlegt. Lösungen beginnen am Rand und laufen dann evtl. bis ins Unendliche. Die speziellen Lösungen sind hellblau eingetragen. Bei den rechten Bildern sorgt \(y\equiv0\) wieder für mehrfache Lösungen durch Punkte auf der x-Achse.


XXX.ggb

4.5 Laplacetransformationen
Abschnitt
4.5.6
Seite 314
Abb. 4.14 Bausteine für Lösungen homogener linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten. Jede Zelle enthält einen Übersichtsgraphen der Funktion, die sich als Produkt des Eintrags vor der Zeile und des Eintrags über der Spalte ergibt.
Blau unterlegt sind die Fälle mit reellen Nullstellen, die für DGLn 2. Ordnung möglich sind. Es können nur entweder zwei Felder der 1. Zeile oder zwei übereinanderliegende der ersten und der zweiten Zeile Summanden der Lösung sein.
Grün unterlegt sind die Fälle von DGLn 2. Ordnung mit zwei komplexen Nullstellen. Es können einzelne Zellen oder zwei übereinander stehende Zellen Summanden der Lösung sein. Es sind zu den roten Lösungsgraphen blaue "Einhüllende" gezeichnet.
Die Zeile mit weißem Hintergrund kann bei mehrfachen reellen Nullstellen auch mit höheren Potenzen von \(t\) gedacht werden, aber die Ordnung der DGL muss dann um eins höher sein als der Exponent von \(t\).


Abschnitt
4.5.8
Seite 317
Abb. 4.15 Laplace-Transformation für einen Tiefpass. Beispiel zur Regelungstechnik: Das Eingangssignal für einen Tiefpass ist hier eine periodische Rechteckschwingung. Das Ausgangssignal hängt von den Eigenschaften der Schaltelemente ab. Auf der Website kann das Produkt \(RC\) verändert und die Wirkung beobachtet werden.


LaplaceTiefpass.ggb
Abschnitt
4.5.8.1
Seite 318
Abb. 4.16 Laplace-Transformation für eine periodische Funktion. Zu sehen sind: grün \(f(t)\), blau \({\rm e}^{-st}\), rot die periodische Fortsetzung von \({\rm e}^{-st}\big|_{[0,T]}\) mit Periode \(T\).


Laplace periodisch.ggb
Abschnitt
4.5.10
Seite 322
Abb. 4.18 Hinführung zur Euler'schen Formel. a) Lösung und Deutung der DGL \(f'(x) = a\cdot f(x)\), hier gezeigt für \(a=0.5\). Rückt \(A\) nach rechts, wird die Ordinate immer größer. Der blaue Geschwindigkeits-Vektor hat die \(a\)-fache Länge in Tangentenrichtung. b) Die Ordinate aus a) ist nun ein Vektor \(\vec x(t)\) in x-Achsenrichtung und sein \(a\)-faches ist der Geschwindigkeitsvektor \(\vec x\,'(t)\), bezeichnet als \(X_v\).


euler-a.ggb
Abschnitt
4.5.10
Seite 323
Abb. 4.19 Komplexe Zahlen als Vektoren. a) Beim Produkt komplexer Zahlen werden die Argumente (= Winkel) addiert und die Beträge multipliziert. Speziell bewirkt die Multiplikation mit i eine Drehung um \(90^{\circ}\). b) Bei der komplexen DGL \(z'(t) = \) i\(\cdot z(t)\) ist im Vergleich mit der reellen DGL nun \(a=\) i. Die Lösung ist also \(z(t)={\rm e}^{{\rm i} t}\). Wie in b) hervorgehoben steht der blaue Vektor \(z'(t)\) stets senkrecht auf \(z(t)\), daher wird \(z(t)\) nicht länger und wegen |i| = 1 verlängert sich auch der blaue Vektor nicht.


euler-b.ggb

4.6 Systeme von DGLn
Abschnitt
4.6.1
Seite 328
Abb. 4.21 Lösungskurven zu gekoppelten Pendeln. Die Amplituden beider Pendel verändern sich mit der Zeit selbst sinusförmig.


gekoppeltePendel.ggb
Abschnitt
4.6.3
Seite 332
Abb. 4.22 Lösungen zu komplexen Eigenwerten. Gezeigt wird als Beispiel ein 2-dimensionales System, daher spannen die Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) den ganzen Raum auf. Am Schieberegler kann der Realteil \(\alpha\) des Eigenwertes verändert werden. \(\alpha=-0.06\) sorgt für ein langsames Schrumpfen, führt aber zu krummen Werten in der Matrix \(A\). Für den interessierten Leser sollen die Details dieses Systems von DGLn genannt werden: Die Matrix ist \(A = \frac{1}{650}\left(\begin{smallmatrix} -589 & 725 \cr -1000 & 511 \end{smallmatrix}\right)\). Es sind dann die Eigenvektoren \(\vec v_{1,2} = (5\pm2{\rm i},2\pm6{\rm i})^{\rm T}\), also \(\vec a = (5,2)^{\rm T},\ \vec b = (2,6)^{\rm T}\), zu Eigenwerten \(\lambda_{1,2} = -0.06\pm{\rm i}\).


SysDGLnKomplEigenw.ggb
Abschnitt
4.6.3
Seite 332
Abb. 4.23 Ellipse als spezielle Lösung. Die Haupt- und Nebenachsen der Ellipse sind eingezeichnet. Die Konstruktion der Achsen aus den Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) nach David Rytz ist in blau eingezeichnet: Man konstruiert \(\vec b\,'\) senkrecht auf \(\vec b\) und schlägt dann den Kreis um die Mitte von \(\vec a\) und \(\vec b\,'\) durch den Ursprung. Diesen schneidet man mit der Geraden durch die Endpunkte von \(\vec a\) und \(\vec b\,'\).


SysDGLnKomplEllipse.ggb
Abschnitt
4.6.5
Seite 339
Abb. 4.24 Vergleich homogenes und inhomogenes System von DGLn. Links sind Richtungsvektoren des homogenen, rechts Lösungen des inhomogenen Systems mit \(a=2\) und \(b=1\) zu sehen. Die Geraden parallel zur x-Achse im homogenen Fall schließen sich im inhomogenen zu Parabeln zusammen.


InhomogenesSystem, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt
4.6.6
Seite 340
Abb. 4.25 System von DGLn für eine Epidemie.
a) Phasenraumdiagramm für \(u\) und \(v\) mit der Lösung zu den Anfangswerten \(\beta = 0.0004,\ \gamma = 0.035,\ u(0)=997,\ v(0)=3\),
b) Entwicklung der Epidemie mit Lösungskurven für \(u(t),\ v(t),\ w(t)\).


Corona, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt
4.6.6
Seite 341
Abb. 4.26 Verlauf von Lösungskurven außerhalb von Fixpunkten. Die Lösungskurven zu \(\vec x\,' = A\vec x + \vec b\) werden links in linearer, rechts in quadratischer Näherung gezeigt. Die Matrix \(A\) ist eine Drehungsmatrix mit Drehwinkel \(\varphi\). Anfangspunkt \(\vec c\) und Vektor \(\vec b\) können verschoben werden.


DGlSysnoFixpunkt.ggb
Abschnitt
4.6.6
Seite 342
Abb. 4.27 Nichtlineare DGL-Systeme.
a)} Wirbel und instabiler Knoten, b)} Instabiler Knoten und instabiler Fixpunkt, c)} Instabiler und stabiler Knoten und zwei instabile Fixpunkte.


DGlSys-nonlinear-Bilder, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

4.7 Partielle DGLn
Abschnitt
4.7.2
Seite 345
Abb. 4.29 Lösung für eine schwingende Saite. Die Lösung \(\psi(x,t) = \Phi(x-ct) + \Psi(x+ct)\) besteht aus zwei verschieden großen Wellenbergen, einer positiv, der andere negativ, die sich in entgegengesetzter Richtung bewegen. Die Teilbilder zeigen das Verhalten der Lösung zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.


WellengleichungLoes.ggb
Abschnitt
4.7.3
Seite 346
Abb. 4.30 Lösung für eine schwingende eingespannte Saite. Die Lösung \(\psi(x,t) = \Phi(x-ct) + \Psi(x+ct)\) besteht aus einem Wellenberg \(\Phi\) und seiner Punktspiegelung \(\Psi\), die sich in entgegengesetzter Richtung bewegen. Die Teilbilder zeigen das Verhalten der Lösung an einem Ende der Saite zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten. Die Summanden \(\Phi\) und \(\Psi\) sind grün bzw. blau dazu gezeichnet.


WellengleichungLoesRand.ggb

XXXXXX Muster zum Kopieren XXXXX, Auf Anker achten entsp. Menu
Abschnitt

4.XXX
Seite YYY
KKK Abb. 4.XYX Legende FETT BEACHTEN


Geogebra-Dateiname.ggb
Abschnitt

4.XXX
Seite YYY
KKK Abb. 4.XYX Legende FETT BEACHTEN


Geogebra-Dateiname.ggb
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Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 04Differentialgleichungen   START und TIPPS Erstellt: Dez.2020, Update 11.12.2020
 Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Prof. Dr. Dieter Riebesehl  Hubert Dammer, dipl.math, dipl.ing