Lösung einer  DGL mit Laplace

Lösung einer  DGL (mit   a=+(1/5))

Verwendung der Mathematica-Funktionen

DGL: y'[t]==y[t]+Cos[t](e^((1/5)t)), y[0]==k.

Laplacetransformation

eq=LaplaceTransform[y'[t]==y[t]+Cos[t](E^((1/5)t)),t,s]/.{LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->k}

Auflösung nach Y[s]

sol=Solve[eq,Y[s]]

Nebenrechnung

solTermSolo=((-5+25 s)/(26+5 s (-2+5 s)));

Solo=(((s-(1/5)))/(1+(((s-(1/5)))^2)));

solTermSolo-Solo//FullSimplify

0 (* Rechnung bestätigt*)

(((k+solTermSolo))/(s-1))//Expand//Simplify

Ende Prüfung der anderen Schreibweisen

Weiter mit Laplace-Lösung

sol=sol//Apart

Umkehrtransformation

InverseLaplaceTransform[Y[s]/.sol[[1]],s,t]//FullSimplify

Lösung der DGL mit dem eingebauten Kommando

sold=DSolve[{y'[t]==y[t]+Cos[t](E^((1/5)t)),y[0]==k},y[t],t]

Versuch, die gleiche algebraische Form wie im vorigen Teil herzustellen.

y[t]/.sold[[1]]//FullSimplify//Expand

Lösung, die durch A=(ax,ay) verläuft:

gl=ay==(1/41) (E^(t/5)) (20 (E^(4 t/5))+41 (E^(4 t/5)) k-20 Cos[t]+25 Sin[t])/.t->ax

Solve[gl,k]

DGL: y'[t]==y[t]+Cos[t](e^(-(1/5)t)), y[0]==k.

Laplacetransformation

eq=LaplaceTransform[y'[t]==y[t]+Cos[t](E^(-(1/5)t)),t,s]/.{LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->k}

Auflösung nach Y[s]

sol=Solve[eq,Y[s]]

Partialbruchzerlegung

sol=sol//Apart

Umkehrtransformation

InverseLaplaceTransform[Y[s]/.sol[[1]],s,t]//FullSimplify

Lösung der DGL mit dem eingebauten Kommando

sold=DSolve[{y'[t]==y[t]+Cos[t](E^(-(1/5)t)),y[0]==k},y[t],t]

Versuch, die gleiche algebraische Form wie im vorigen Teil herzustellen.

y[t]/.sold[[1]]//FullSimplify//Expand