![]() |
Höhere Mathematik sehen und verstehenSpringer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7www.mathematik-sehen-und-verstehen.de ![]() |
Dörte Haftendorn Dieter Riebesehl Hubert Dammer | ![]() |
Kapitel 05 Numerik |
![]() |
||
Abschnitt 5.1.1.1 Seite 351 ![]() |
![]() |
Iteration für \(\pi\) Seitenzahl: \(n=12\) Segmenthöhe: \(k_n=0.5\) Vieleckfläche: \(\displaystyle A_n=\frac{n}{2}k_n=3\) Verdopplung: \(k_{2n} = \) \(\displaystyle\sqrt\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{2}\), \(A_{12\cdot2^m} = 3\cdot2^m\stackrel{\mbox{ \(m+1\) Wurzeln}}{\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{2+\dots\sqrt{3}}}}}\) \(\xrightarrow{m\to\infty}\pi\) für \(m\ge1\) ![]() ![]() |
Abschnitt 5.1.1.1 Seite 351 |
![]() |
Abb. 5.1 Iterative Berechnung
von \(\pi\). In der Excel-Tabelle sind ein paar Zeilen ausgelassen. In
der rechten Grafik ist aber für alle Zeilen der erreichte relative
Fehler der Näherung für \(\pi\) aufgezeichnet. An der y-Achse stehen die
dekadischen Logarithmen des relativen Fehlers, also z.B. \(-4\) für \(10^{-4}\).
![]() ![]() |
Abschnitt 5.1.1.1 Seite 352 |
![]() |
Abb. 5.2 Stabile
iterative Berechnung von \(\pi\). \(n\) ist die Eckenzahl der regelmäßigen \(n\)-Ecke aus der 12-Eck-Familie, \(k_n\) sind die Höhen der Segmente, \(A_n\) ist die Gesamtfläche des \(n\)-Ecks, die im Grenzwert für \(n\to\infty\) gerade \(\pi\) sein muss. Nur der Anfang und der Schluss der Rechnung sind gezeigt. ![]() ![]() |
![]() |
||
Abschnitt 5.2.1 Seite 353 ![]() |
![]() |
Abb. 5.3 Intervallschachtelungen.
Bei allen Verfahren ist unten eine Intervallschachtelung angegeben,
In a) und b) wird sie durch fortgesetzte Halbierung,
Bisektionen, gefunden. c) zeigt die Lösung des Problems mit einer
rekursiven Folge zur Fixpunktgleichung \(\cos x = x\), siehe
Abschnitt 5.2.4.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.2.2 Seite 354 ![]() |
![]() |
Abb. 5.4 Sekantenverfahren. Neue Näherung \(x_2\)
ist die Nullstelle der Sekante durch die Graphenpunkte an den Enden des
Intervalls \([x_0,x_1]\). Mit einfacher Rechnung und \(y_i=f(x_i)\), \(i=0,1\),
ergibt sich
\[
x_2 =\frac{y_0 x_1-y_1 x_0}{y_0-y_1}.
\]
Das neue Intervall ist \([x_0,x_2]\) oder \([x_2,x_1]\), je nachdem, welches
Vorzeichen \(f(x_2)\) hat. Man sieht hier, dass man für die Funktion
\(f(x) = \cos x - x\) und Start bei \(x_0=0.2,\ x_1=1\), mit \(x_3=0.74\)
schon 2-stellige Genauigkeit der Nullstelle
erreicht hat.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.2.3 Seite 355 ![]() |
![]() |
Abb. 5.5 Nullstellensuche mit dem Newtonverfahren für
\(f(x) = {\rm e}^x-4x\).
Es sind je zwei gekoppelte
Grafikfenster nebeneinander dargestellt. Links
ist jeweils der Funktionsgraph und die definierende Tangentenfolge, rechts
die Trägerfunktion der Newton-Iteration mit der Folge der Näherungspunkte
zu sehen. a) und b) zeigen ein "übliches" Beispiel, bei dem die
Näherungsfolge monoton fallend auf die gesuchte Nullstelle zuläuft.
c) und d) zeigen einen anderen Ausschnitt derselben Funktion. Damit
erklären sich einige Überraschungen, die man mit der Newton-Iteration erleben
kann. Der Text geht darauf in Abschnitt 5.2.4.2 ein.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.2.4.1 Seite 357 ![]() |
![]() |
Abb. 5.6 Wie schnell
konvergiert das Newtonverfahren? Man misst die
Konvergenzgeschwindigkeit
daran, mit welchem Faktor die Anzahl der richtig berechneten Stellen von
Schritt zu Schritt wächst. Hier werden die gelben Balken, die dies anzeigen,
bei jedem Schritt etwa doppelt so lang.
|
Abschnitt 5.2.4.2 Seite 358 ![]() |
![]() |
Abb. 5.7 CAS mit GeoGebra und
Überraschung beim Newtonverfahren. a) zeigt die Berechnung der
Trägerfunktion des Newtonverfahrens und die Berechnung von Folgenwerten. In
b) und c) sind wieder zwei
gekoppelte Grafikfenster nebeneinander
dargestellt, aber diesmal für die Nullstelle von \({\rm e}^x-2.7x\).
Betrachtet man nur berechnete Folgenglieder, ohne auf einen
Graphen zu achten, könnte man meinen, die Folge konvergiere gegen einen Wert
zwischen \(x_3\) und \(x_6\). In c) erkennt man aber, dass die
rekursive "Treppchenfolge" überhaupt nicht konvergieren wird. Ein Zoom im
Fenster b) hätte auch gezeigt: Es gibt gar keine Nullstelle.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.2.5.1 Seite 359 ![]() |
![]() |
Abb. 5.8 Das Heronverfahren als Rekursion.
a) zeigt eine Parabel mit der Nullstelle \(\sqrt{r}\), die mit dem
Newtonverfahren approximiert wird. b)
verfolgt mit dem Startwert \(x_0\) die Heronfolge im gekoppelten Fenster in der
iterativen Treppendarstellung. Wenn Sie in GeoGebra
\(x_0\) oder den Radikanden \(r\) verändern, reagieren beide Darstellungen
gemeinsam. In Bild b) ist die Trägerfunktion eine Hyperbel.
![]() ![]() |
![]() |
||
Abschnitt 5.3.1.2 Seite 362 ![]() |
![]() |
Abb. 5.9 Interpolation nach Lagrange.
a) zeigt Lagrange-Basis-Polynome, die an genau 3 Stützstellen
Nullstellen haben.
In b) wird z.B. der Faktor \(c_b\) für
\(L_B(x)\) gefunden, der \(L_B\) so staucht, dass \(B\) auf dem Graphen liegt.
Das rote Interpolationspolynom entsteht auf diese Weise.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.1.2 Seite 363 ![]() |
![]() |
Abb. 5.10 Kostenfunktion als
Lagrange-Polynom, aus ihr wird alles, was noch dargestellt ist, berechnet.
Erfahren Sie durch Ziehen an den gegebenen Punkten,
wie überraschend deutlich die Wirtschaftsaussagen, die sich daraus ergeben,
auf kleine Änderungen der Lage reagieren.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.1.3 Seite 364 ![]() |
![]() |
Abb. 5.11 Das Newton'sche-Interpolations-Polynom ist eine Linearkombination der Newton'schen
Basispolynome, die aus immer mehr Linearfaktoren \((x-\mbox{Stützstelle})\)
aufgebaut sind und mit den passenden Koeffizienten immer mehr Stützpunkte
genau treffen.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.2 Seite 365 ![]() |
![]() |
Abb. 5.12 Gauß'sche
Glockenkurve und Interpolationspolynom. a) Die Punkte \(A,\,\dots,\,G\) liegen
auf der Glockenkurve, das blaue Interpolationspolynom passt nach
Sicht brauchbar in deren Bereich.
b) Wie gut die Passung wirklich ist, sieht man
durch Visualisierung der Differenzen zur Glockenkurve. Für verschiedene
Stellungen von \(F\) zwischen \(A\) und \(G\) ist je eine solche "Fehlerkurve"
gezeichnet.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.2.1 Seite 366 ![]() |
![]() |
Abb. 5.13 Poeler Kogge und Splines.
Einsatz von Splines (drei durchgezogene bunte Stücke) für die Balkenform der
Kogge, die Nägel sind in den Punkten \(A,B,C,D\)
zu denken.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.2.2 Seite 367 ![]() |
![]() |
Abb. 5.14 Basisfunktionen für
kubische Splines.
Links: \(b_0,\ b_3\), und 6-fach überhöht \(b_1,\ b_2\).
Rechts: Ein damit erstellter natürlicher Spline durch 5 Nägel, in vier
Farben durchgezogen dargestellt. Die Nägel
sind frei verschiebbar. Zum Vergleich ist das
Interpolationspolynom schwarz gestrichelt dazu gezeichnet. Man sieht, dass der
Spline wesentlich weniger "ausschwingt". Orange gestrichelt ist das Ergebnis
des GeoGebra-Befehls Spline(A,B,C,D,E), siehe dazu den Text.
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Hier finden Sie die Ableitungen der Spline-Basisfunktionen und die Herleitung der Gleichungen zur Splineberechnung. Zunächst tabellarisch die Basisfunktionen und deren Ableitungen an den Intervallenden 0 und 1: \[ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline b_0(x) = 1 - x & b'_0(x) = -1 & b'_0(0) = -1 & b'_0(1) = -1 \\ \hline b_1(x) = \frac{1}{6}(1-x)(x-2)x & b'_1(x) = \frac{1}{6}\left((2-x)x + (1-x)x + (1-x)(2-x)\right) & b'_1(0) = -\frac{1}{3} & b'_1(1) = \frac{1}{6} \\ \hline b_2(x) = \frac{1}{6}(x-1)(x+1)x & b'_2(x) = \frac{1}{6}\left((x+1)x + (x-1)x + (x-1)(x+1)\right) & b'_2(0) = -\frac{1}{6} & b'_2(1) = \frac{1}{3} \\ \hline b_3(x) = x & b'_3(x) = 1 & b'_3(0) = 1 & b'_3(1) = 1 \\ \hline \end{array} \] Die im Punkt \(B\) zusammentreffenden Splinepolynome sind mit den Bezeichnungen aus dem Buch \( p_{AB} = A_y b_0^{AB} + c_A b_1^{AB} + c_B b_2^{AB} + B_y b_3^{AB} \quad \) und \( \quad p_{BC} = B_y b_0^{BC} + c_B b_1^{BC} + c_C b_2^{BC} + C_y b_3^{BC} \). Die Bedingung einer stetigen 1. Ableitung im Punkt \(B\) führt zu \( p_{AB}'(B) = p_{BC}'(B).\) Hier setzt man die oben angegebenen Ableitungen ein und nutzt aus, dass \( b_i^{BC} \) einfach das nach rechts verschobene \( b_i^{AB} \) ist: \( A_y b_0'(1) + c_A b_1'(1) + c_B b_2'(1) + B_y b_3'(1) = B_y b_0'(0) + c_B b_1'(0) + c_A b_2'(0) + C_y b_3'(0)\) \( -A_y + \frac{1}{6}c_A + \frac{1}{3}c_B + B_y = -B_y - \frac{1}{3}c_B - \frac{1}{6}c_A + C_y \) \( \frac{1}{6}c_A + \frac{2}{3}c_B + \frac{1}{6}c_C = C_y - 2B_y + A_y\) \( \frac{1}{6}(c_A + 4c_B + c_C) = C_y - 2B_y + A_y\) Das ist die erste der Gleichungen, die anderen ergeben sich daraus durch Verschiebung zu den nächsten Punkten. |
|
Abschnitt 5.3.3 Seite 369 ![]() |
![]() |
Abb. 5.15 Bézierkurve a)
zusammen mit ihren Steuerpunkten \(A,B,C,D\), in
b) erzeugt aus ihrem "Gerüst": Man wählt einen
Prozentsatz \(t\) zwischen 0 und 1, hier \(t=0.4=40\%\),
und markiert auf jedem der schwarzen Gerüstvektoren den \(40\%\)-Punkt von \(A\),
von \(B\) und von \(C\) aus. Auf den zwei sich daraus ergebenden Vektoren (orange)
werden wieder die \(40\%\)-Punkte markiert. Im nächsten Schritt (rosa) hat man
so den Punkt \(P\) der Bézierkurve erzeugt. Diese ist der geometrische Ort von
\(P\) bei jeder Wahl von \(t\). Siehe auch
Abb. 5.16 und Seite 372.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.3.1 Seite 370 ![]() |
![]() |
Abb. 5.16 Bézierkurve als
Parameterkurve mit Bernstein-Polynomen. a) zeigt den
Bézierspline, mit dem man einen Notenbogen anpassen kann,
siehe Abb. 5.15 und Seite 372.
b) Die vier Bernstein-Polynome sind eine Basis
für den Polynomraum \(\Pi_3\), wir verwenden sie im Intervall [0,1].
c) zeigt, wie die Koordinaten von \(B\) als
Koeffizienten von \(b_1\) in der Parameterkurve wirken.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.3.2 Seite 371 ![]() |
![]() |
Abb. 5.17 Bézierkurve als
Parameterkurve. Allgemeine Erklärung für Parameterkurven. Die Koordinaten eines Kurvenpunktes \(P\) sind Funktionen \(x(t),\ y(t)\) eines Parameters \(t\). Diese beiden Funktionen sind hier zusätzlich dargestellt, und zwar so, dass die Parameterkurve durch die waagerechten und senkrechten gestrichelten Linien geometrisch entstehen kann. Sie können an \(t\) ziehen, damit \(P\) wandern lassen, aber auch das "Gerüst" verändern. ![]() ![]() |
Abschnitt 5.3.3.3 Seite 372 ![]() |
![]() |
Abb. 5.18 Krümmung des
Béziersplines in \(A\), dargestellt durch den blauen
Krümmungskreis, mit seiner Spur in GeoGebra.
a) zeigt, dass sich bei Verlängerung von
\(\overrightarrow{AB}\) die Krümmung ändert.
In b) ändert sich die Höhe \(k\) des Dreiecks \(ABC\) nicht, wenn \(C\) auf
der Parallelen zu \(AB\) wandert, also bleibt die Krümmung gleich.
c) zeigt beispielhaft, dass eine beliebige Veränderung von \(D\) keinen
Einfluss auf die Krümmung in \(A\) hat.
![]() ![]() |
![]() Seite 372 |
Die Krümmungsformel für den Beziérspline im Punkt \(A\) lautet
\[ \kappa = \frac{2k}{3\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|} \]
mit der Höhe \(k\) auf der Seite \(AB\) im Dreieck \(ABC\).
Die Herleitung benutzt die Formel
\[
\kappa = \frac{\ddot y\dot x - \ddot x \dot y}{(\dot x^2 + \dot y^2)^{\frac{3}{2}}}.
\]
Sie ist anzuwenden auf die Parameterdarstellung
\[
\vec P = \begin{pmatrix} P_x \cr P_y\end{pmatrix},\quad
\begin{array}{cccccc}
&P_x(t)=&A_x b_0(t)&+\;B_x b_1(t)&+\;C_x b_2(t)&+\;D_xb_3(t) = x(t),\\
&P_y(t)=&A_y b_0(t)&+\;B_y b_1(t)&+\;C_y b_2(t)&+\;D_yb_3(t) = y(t),
\end{array}
\]
oder ausgeschrieben
\[
\vec P = \begin{pmatrix} x(t) \cr y(t)\end{pmatrix} = \vec A (1-t)^3 + 3\vec B (1-t)^2 t + 3\vec C (1-t)t^2 + \vec D t^3.
\]
Wir rechnen die nötigen Ableitungen im Punkt \(A\), also für \(t=0\)
aus. Dabei nehmen wir von vornherein nur Terme mit, die keinen Faktor
\(t\) enthalten, da sie ohnehin wegfallen. Bei der Anwendung der
Produktregel schreiben wir also nur die Terme auf, in denen alle
\(t\)-Faktoren "wegdifferenziert" wurden:
\[
\begin{pmatrix} \dot x(t) \cr \dot y(t)\end{pmatrix}\Bigg|_{t=0} =
\Big(-3\vec A (1-t)^2 + 3\vec B(1-t)^2\Big)\Big|_{t=0} = 3\vec B - 3\vec A.
\]
Vorsicht: für die zweiten Ableitungen müssen wir wieder auf \(\vec P\)
schauen, weil nun auch \(\vec C\) einen Beitrag leisten wird:
\[
\begin{pmatrix} \ddot x(t) \cr \ddot y(t)\end{pmatrix}\Bigg|_{t=0} =
\Big(6\vec A (1-t) - 12\vec B(1-t) + 6\vec C(1-t)\Big)\Big|_{t=0} =
6\vec C - 12\vec B + 6\vec A.
\]
\(\vec B\) hat einen Faktor 12 statt 6, weil wir bei diesem Summanden bei
Anwendung der Produktregel offenbar einmal den \(t\)-Faktor und einmal
den \((1-t)\)-Faktor ableiten müssen, aber dafür gibt es zwei
Reihenfolgen, die bei der zweimaligen Anwendung der Produktregel auch
beide vorkommen.
Wenn Sie diesem Argument nicht folgen können, dann müssen Sie alles
"zu Fuß" nachrechnen.
Nun ist alles in die Krümmungsformel einzusetzen: \[ \kappa = \frac{3(B_x-A_x)\cdot6(A_y-2B_y+C_y) - 3(B_y-A_y)\cdot6(A_x-2B_x+C_x)} {\big( 9(B_x-A_x)^2 + 9(B_y-A_y)^2 \big)^{\frac{3}{2}}} = \frac{18}{27}\frac{B_xC_y + A_xB_y - A_xC_y - B_yC_x - A_yB_x + A_yC_x} {\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|^3}. \] Jetzt kommt die Dreieckshöhe \(k\) ins Spiel. Die Fläche des Dreiecks \(ABC\) errechnet sich zu \(\frac{1}{2}k\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|\), das Doppelte davon ist aber gerade die Fläche des von \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BC}\) aufgespannten Parallelogramms. Letztere lässt sich aber auch als \(\Big|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\Big|\) schreiben. Dieses Kreuzprodukt hat einen Wert, der sich als Determinante mal einen Einheitsvektor \( \vec e_{\bot} \)schreiben lässt, welcher auf der Ebene, die von \(ABC\) aufgespannt wird, senkrecht steht: \[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} B_x-A_x & C_x-B_x \cr B_y-A_y & C_y-B_y \end{vmatrix}\cdot\vec e_{\bot}, \] was ausmultipliziert genau den obigen Zähler für \(\kappa\) ergibt! Damit hat man \[ \kappa = \frac{2}{3}\frac{k\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|} {\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|^3} = \frac{2}{3}\frac{k} {\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|^2} \] |
|
Abschnitt 5.3.4 Seite 373 ![]() |
![]() |
Abb. 5.19 Bézierfläche, erzeugt aus
ihrem "Gerüst":
a) Realisierung in Mathematica. b) Für die Realisierung in GeoGebra nennt man im Tabellenfenster die z-Ordinaten für die Stützpunkte. Daraus wird eine Matrix \(ordi\) erzeugt, auf deren Komponenten man mit Indizes zugreifen kann. In griffiger Mathematica-Syntax ist in b) unten gezeigt, wie daraus mit den Bernsteinpolynomen die z-Komponente der Parameterdarstellung erzeugt wird. Sie ist ein Polynom 6. Grades in s und t. c) Realisierung im 3D-Fenster von GeoGebra. zu a) ![]() ![]() ![]() ![]() |
zu b) und c) ![]() ![]() Anmerkung: Die Funktion Oberfläche(s,t,z(s,t),s,0,3,t,0,3) geht stets verloren beim Öffnen. Laden Sie die ggb herunter und öffnen Sie sie dann von Hand im geöffneten GeoGebra. Kopieren Sie von hier 1+s-s^2/3-s^3/27+t+t^2/3-(s t^2)/3+(2 s^3 t^2)/81-(4 t^3)/27+(2 s t^3)/27-(s^2 t^3)/81-(2 s^3 t^3)/729 Tragen Sie diesen Term als z(s,t) in den Oberfläche-Befehl in die Eingabezeile ein. Dann entsteht Abb. 5.19 c). Leider ist dies nur statisch. Wenn Sie aber stpoly (steht im Algebafenster) anstelle von z eintragen, können Sie mit unserer Datei können Sie dynamisch experimentieren. Leider bleibt dies nicht beim Speichern erhalten. Die lange Summe f von oben, aber auch die für stpoly gemäß Abb. 5.19 b), lässt sich in GeoGebra schlecht eintippen. Man erzeugt sie besser in einem anderen Editor (wir nahmen Mathematica) und überträgt das mit Copy und Paste. Wir haben dieses merkwürdige Verhalten dem GeoGebra-Team berichtet. |
||
![]() |
||
Abschnitt 5.4 Seite 374 ![]() |
![]() |
Abb. 5.20 Legende Bernsteinpolynome
3. Grades, wie sie für
Béziersplines verwendet werden.
a) als Graphen,
b) gestapelt, ihre Summe ist \(=1\) für jedes \(t\)
im Intervall \([0,\,1]\),
c) Erweiterung mit drei weiteren Steuerpunkten und einer weiteren
Bézierkurve: die Gesamtkurve ist i.A. an der Nahtstelle nicht differenzierbar.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.4.2.1 Seite 376 ![]() |
![]() |
Abb. 5.21 Aufbau der Basen für B-Splines.
a) oben zwei Basissplines zu \(p=0\),
darunter die Gewichtungsfunktionen in passender
Farbe: orange zu rot und hellblau zu blau, aus diesen errechnet sich in
b) die
erste Basisfunktion zu \(p=1\), dazu die zweite in blau/blau gestrichelt,
darunter wieder die Gewichtsfunktionen, aus diesen errechnet sich in
c) die erste Basisfunktion zu \(p=2\) usw. bis man in d)
Basisfunktionen zu \(p=3\) sieht.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.4.2.2 Seite 378 ![]() |
![]() |
Abb. 5.22 Elemente eines langen
B-Splines für 18 Punkte (\(A\) bis \(R\)).
a) Basiskurven vom Grad 3, die für 18 Punkte benötigt werden. Sie sind jeweils in einem Intervall der Breite 4 definiert. b) 18 Punkte, die das Gerüst für den B-Spline bilden, und der B-Spline für \(3\le t\le 18\). c) Die Graphen von \(P_x(t)=A_x B_{0,3}(t)+\dots+ R_x B_{17,3}(t)\) in Grün und \(P_y(t)\) entsprechend in Blau. ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.4.3.1 Seite 379 ![]() |
![]() |
Abb. 5.23 Hinführung zu NURBS.
a) Nicht-uniforme Basiskurven vom Grad 3, je fünf benachbarte Knoten aus der Liste \(T\) gehören zu einer Basis-Funktion 3. Grades für B-Splines. b) Mit Gewichten und rationalen Basen kann man u.a. auch exakte Standardkurven mit NURBS modellieren, es ist hier gezeigt für den rot-grün-gestrichelten Viertelkreis, der mittlere der fünf Bögen. Variation eines Gewichtes erzeugt die anderen Kurven. |
c) Basiskurven und
d) ein geschlossener NURBS daraus mit 7 Steuerpunkten und
nicht uniformen, rationalen B-Splines zweiten Grades, der aus vier
Ellipsenstücken besteht. Hier in GeoGebra frei ziehbar.
a) und b) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
||
Abschnitt 5.4.3.4 Seite 381 ![]() |
![]() |
Abb. 5.24 Torus als NURBS. In der Praxis gibt es
ausgereifte Software für NURBS, die dem Anwender die Mühen abnimmt. Das gilt
insbesondere für den Einsatz im 3D-Bereich. Im Gegensatz zu einfacheren
Konzepten für Splines können NURBS sowohl Freiformen als auch Standardformen
wie Zylinder, Kegel, Ringe, Kugel u.s.w. gestalten.
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
||
Abschnitt 5.5.1.1 Seite 383 ![]() |
![]() |
Abb. 5.25 Beweise der Kepler'schen Regel:
a) beweist mit der linken Parabel eine Sondersituation, die dann rechts daneben verwendet wird. b) zeigt den historischen, geometrischen Weg von Archimedes und Kepler. Ein Parabelsegment (grün) nimmt immer \(\frac{2}{3}\) des umbeschriebenen (blau gestreiften) Parallelogramms ein. ![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.1.1 Seite 384 ![]() |
![]() |
Abb. 5.26 Allgemeine Aussage über Parabelsegmente,
bewiesen mit Integralrechnung und Scherung.
Näheres dazu im Text.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.1.2 Seite 385 ![]() |
![]() |
Abb. 5.27 Kepler'sche Regel für eine Parabel und
ein Polynom $p_3$.
a) Die beiden Integralflächen haben zwar nicht
dieselbe Form, aber dieselbe Fläche.
b) Der Grund ist, dass das Integral über ihre Differenzfunktion null
ist.
c) Kleines Lehrstück zur Bestimmung der Interpolationspolynome mit in
GeoGebra definierten Matrizen (siehe Text und den folgenden Zusatz XXX).
![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.2 Seite 386 ![]() |
![]() |
Abb. 5.28 Simpson'sche Regel an Beispielen.
a) zeigt die Simpson-Regel mit 4 Streifen der Breite \(h=0.25\) für die Funktion \(\sin(\pi x^2)\). In b) wird die Viertelkreisfläche mit ebenfalls 4 Streifen der Breite 1 angenähert, aber mit bescheidenem Erfolg. Genaueres im folgenden Zusatz ![]() c) zeigt eine Näherung für die wichtige Gauß'sche Glockenkurve mit 8 Streifen, der Fehler liegt unter 3 Millionstel. Weiteres zu den gezeigten Näherungen steht im Abschnitt 5.5.2.2 nach der Simpson-Formel in Satz 5.5 und der Fehlerbetrachtung 5.5.2.1. |
![]() Teil Zusatz |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Die Breite zweier benachbarter Balken sollte so gewählt werden, dass man das zugehörige Kurvenstück annähernd als Parabel (oder Poymom 3. Grades) auffassen kann. Bei dem Viertelkreis in b)sind die zughörigen Parabeln eingezeichnet. Es ist daher klar, dass der linke Doppelbalken einen deutlichen Fehler erzeugt. In der rechten Bildhälfte ist GeoGebra-CAS zu sehen. Es werden damit die Parabeln berechnet, die de Grundlage der Rechnung sind. Achten Sie in ![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.3.1 Seite 392 ![]() |
![]() |
Abb. 5.29 Fehler einfacher
Quadraturformeln. Es ist in jedem Bild die approximierte
Integralfläche im Vergleich mit der wirklichen Integralfläche zu sehen.
Die Fehlerflächen sind nach links zusammengeschoben und liegen auf
einem Streifen der Breite \(h\) bzw. bei d) \(\frac{h}{2}\). Einzelheiten stehen
im Text. In der GeoGebra-Datei können Sie mit \(n\) die
Anzahl der Streifen verändern und das Fehlerverhalten verstehen.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.3.2 Seite 392 ![]() |
![]() |
Abb. 5.30 Abschätzung des
Fehlers bei der Mittenregel.
In der linken Hälfte überschätzt die Mittenregel das Integral um die
grüne Fläche, in der rechten unterschätzt sie ebenfalls um die grüne
Fläche. Durch Punktspiegelung dieser an der Mitte kann man links die
Differenzfläche (rot schraffiert) als Gesamtfehler erkennen.
Sie hat jeweils Ordinatenstücke der
Länge \(d_1-d_2\), (gelb).
Diese roten Differenzflächen sind in Abb. 5.29 d)
bei der Mittenregel abgebildet.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.3.4 Seite 395 ![]() |
![]() |
Abb. 5.31 Die erste
Gauß'sche Quadraturformel integriert Polynome bis zum Grad 3
exakt: von links nach rechts sind die Funktionen \(f(x)=1,\ x,\ x^2,\ x^3\)
gezeigt. In blau sieht man jedes Mal die Ordinaten an den Stützstellen
\(\pm\frac{1}{\sqrt3}\), diese Werte sind aber nur ganz links eingetragen.
Außerdem ist für \(x^2\) das (blau schraffierte) Rechteck gezeigt,
das die Fläche nach der Gauß'schen Quadraturformel darstellt.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.4.1 Seite 396 ![]() |
![]() |
Abb. 5.32 Raumintegral
numerisch über ein Rechteck.
\(int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\, {\rm d} x\,{\rm d} y\) für
\(f(x,y)=(x-2)^2+\frac{1}{2}(y-3)^2-7\).
Bezüglich \(x\) wird die Drei-Achtel-Regel, bzgl.
\(y\) die Kepler'sche Regel verwendet. Die Gewichte für die Punkte im Rechteck
ergeben sich als die Produkte der Gewichte für die einzelnen Variablen.
Z.B. ist das Gewicht zu \((x_1,y_1)\) gegeben als
\(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{6} = \frac{1}{4}\). Gleiche Gewichte
haben gleiche Farben. Die Realisierung und die Rechnungen in diesem Fall,
erstellt mit GeoGebra, finden Sie im folgenden Zusatz.
![]() ![]() |
![]() Seite 396 |
Der wahre Wert des Integrals errechnet sich zu \[ \int_1^3\int_1^4 f(x,y)\,{\rm d} x\,{\rm d} y = -32. \] Für die numerische Integration brauchen wir zunächst eine Wertetabelle: \[ \begin{array}{r|c|c|c|c|} f(x,y) & x=1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y=1 & -4.0 & -5.0 & -4.0 & -1.0 \\ \hline 2 & -5.5 & -6.5 & -5.5 & -2.5 \\ \hline 3 & -6.0 & -7.0 & -6.0 & -3.0 \\ \hline \end{array} \] Damit erhält man für die Näherung \[ \int_1^3\int_1^4 f(x,y)\,{\rm d} x\,{\rm d} y \approx (4-1)\cdot(3-1)\cdot \begin{pmatrix} -4.0 \cdot\frac{1}{48} -5.0 \cdot\frac{1}{16} -4.0 \cdot\frac{1}{16} -1.0\cdot\frac{1}{48} \\ -5.5 \cdot\frac{1}{12} -6.5 \cdot\frac{1}{4}\ -5.5 \cdot\frac{1}{4}\ -2.5\cdot\frac{1}{12} \\ -6.0 \cdot\frac{1}{48} -7.0 \cdot\frac{1}{16} -6.0 \cdot\frac{1}{16} -3.0\cdot\frac{1}{48} \\ \end{pmatrix} = -32 \] die natürlich exakt ist, weil der Polynomgrad kleiner als 3 ist. | |
Abschnitt 5.5.4.2 Seite 397 ![]() |
![]() |
Abb. 5.33 Raumintegral
numerisch über ein achsenparalleles Dreieck. a) Stützpunkt ist der
Dreiecksschwerpunkt, d.h. der Schnitt der Seitenhalbierenden. b) Die
Stützpunkte liegen auf den Seitenmitten. c) Der blaue Stützpunkt ist
der Schwerpunkt. Die grünen Punkte sind drei Punkte eines Rechtecks mit
linker unterer Ecke \(\frac{9-2\sqrt{15}}{21}(h,k)\) und rechter
oberer Ecke \(\frac{6+\sqrt{15}}{21}(h,k)\), die roten Punkte sind
drei Punkte eines Rechtecks mit linker unterer Ecke
\(\frac{6-\sqrt{15}}{21}(h,k)\) und rechter oberer Ecke
\(\frac{9+2\sqrt{15}}{21}(h,k)\); beide Male gehört eine Rechteckecke
nicht zu den Stützstellen. Die zugehörigen Gewichte sind eingetragen.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.5.4.2 Seite 398 ![]() |
![]() |
Abb. 5.34 Beispiel für ein Raumintegral.
Das Integral
\(\int_{-1}^1\int_{-1}^1 \frac{1}{2\pi}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}\,{\rm d} x\,{\rm d} y\)
wird auf vier Weisen numerisch berechnet. Der richtige Wert ist \(0.466065\),
als Näherungen ergeben sich a) \(0.569672\), b) \(0.485574\), c) \(0.469626\), d) \(0.466559\). Hier sieht man beim Vergleich von b) und c), dass mit weniger Punkten und verbesserter Fehlerordnung eine höhere Genauigkeit erzielt wird. ![]() ![]() |
![]() |
||
Abschnitt 5.6 Seite 399 ![]() |
![]() |
Abb. 5.35 Untersuchungen zum
Richtungsfeld von \(y'=y^2-x=f(x,y)\). a) Richtungsfeld mit zwei auffälligen Kurven. b) Richtungsfeld mit Isoklinen für \(m=\) \(2,\,0,\,-2,\,-4,\,-6\). c) Mit dem Spurmodus von GeoGebra eingezeichnete Scharen von Lösungskurven, die Sie hier selbst erkunden können. Hervorzuheben ist die schwarze Lösung, die die blauen und grünen Lösungen voneinander trennt. ![]() ![]() |
Abschnitt 5.6 Seite 400 ![]() |
![]() |
Abb. 5.36 Richtungsfeld von
\(y'=y^2-x=f(x,y)\).
a) Nullisokline, sowie farblich hervorgehobene Richtungsvektoren aus
anderen Isoklinen,
b) Lösungskurven, die die Nullisokline als Asymptoten haben.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.1 Seite 401 ![]() |
![]() |
Abb. 5.37 Eulerverfahren
für \(y'=y^2-x\). Schrittweite ist
\(h=0.5\), Anfangswerte sind \(y(0) = 0.7\),
also ist \(A=P_0=(0,\,0.7)\).
Es folgen
\(P_1=(0.5,\,0.945), P_2=(1.0,\,1.142)\dots\)
Ab etwa \(x=4\) ist die blaue
Lösungskurve recht dicht an der (rot gepunkteten) Nullisokline.
Wenn ein Eulerschritt diese nach unten überschreitet, wird der nächste Schritt
nach oben gehen. Im Bild wechseln nun positive und negative Steigungen. Man
beachte aber, dass die blaue Lösung rechts niemals wieder Steigung null haben
wird, sie liegt stets über der Nullisokline.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.1 Seite 402 ![]() |
![]() |
Abb. 5.38 Eulerverfahren für
\(y'=y^2-x\).
Schrittweiten sind \(h=0.5,\ 0.25,\ 0.125\), Anfangswerte wieder
\(y(0) = 0.7\). Die schwarzen Balken dokumentieren die Halbierung
des globalen Fehlers an der Stelle 2 bei Halbierung der Schrittweite.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.2 Seite 405 ![]() |
![]() |
Abb. 5.39 Heunverfahren für
\(y'=y^2-x\) schrittweise und im ganzen Verlauf. a) ist ein
Ausschnitt aus c), und b) zeigt den 4. Verfahrensschritt vergrößert im
zweiten Grafikfenster von GeoGebra.
Daraus sind \(P_3\), \(P_4\) und die Richtung nach
\(P_4\) (orange) aus der Konstruktion in b) übertragen worden und demonstrieren
die Korrektheit des geometrischen Verfahrens.
b) Mit der in \(P_3\) gültigen (lila) Pfeilrichtung erreicht man im
Abzissenabstand \(h=0.5\) den Zwischenpunkt \(Z\), in dem die durch den hellgrünen
Vektor bzw. die grüne Gerade gezeigte Richtung gilt. Der Mittelwert der beiden
Geradensteigungen ist hier geometrisch durch die durch \(M\) gemittelte Strecke
und die blau-gestrichelte Gerade \(MZ\) visualisiert.
Auf einer Parallelen zu ihr durch \(P_3\) erreicht man an der Abszisse von \(Z\)
Punkt \(P_4\).
In c) ist ein Bild einer
"multifunktionalen" GeoGebra-Datei gezeigt.
Hier können Sie nicht nur die
Schrittweite \(h\) und den Start \(A\)
steuern, sondern mit \(\alpha\) mehrere der im Folgenden dargestellten Verfahren
auswählen. Hier gilt \(\alpha=1\) und \(A:\, y(0) = 0.7\). Vergleichen Sie mit dem
Eulerverfahren Abb. 5.37, das man mit \(\alpha=0\) erhält, und
mit dem modifizierten Eulerverfahren in Abb. 5,41, das
\(\alpha=0.5\) erfordert.
![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt .6.2 Seite 405 ![]() |
![]() |
Abb. 5.40 Heunverfahren für
\(y'=y^2-x\).
Schrittweiten sind \(h=1,\ 0.5,\ 0.25\). Drei Fehlerbalken sind
hervorgehoben und zeigen, dass sich der globale Fehler viertelt, wenn
die Schrittweite halbiert wird. Vergleichen Sie mit
Abb. 5.38.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.2.2 Seite 408 ![]() |
![]() |
Abb. 5.41 Modifiziertes Eulerverfahren
\(y'=y^2-x\) schrittweise und im gesamten Verlauf.
a) und b) Der Schritt von \(P_3=(1.5,0.964)\) nach \(P_4\) wird genau
betrachtet. Zum Zwischenpunkt \(Z\) (violett) gelangt man mit einem Eulerschritt
mit \(m_3=f(x_3,y_3)\).
Der Hilfspunkt \(H\) auf der Hälfte der Strecke \(\overline{P_3 Z}\) ist
\(H=(x_3+\frac{h}{2}, y_3+m_3\cdot\frac{h}{2})\). Dort hat das Richtungfeld die
Steigung \(m_H=f(x_H,y_H)\) (hellblau).
Mit dieser Steigung vollzieht man einen ganzen Eulerschritt
und gelangt zu \(P_4=(x_3+h,y_3+m_H\cdot h)\). b) zeigt dieses Vorgehen in größerem Maßstab im zweiten Grafikfenster von GeoGebra. Die gelbe Gerade und \(P_4\) sind in das Hauptfenster a) übertragen worden. Man erkennt die Übereinstimmung. c) Gesamtverlauf mit Startpunkt \(A\colon\ y(0)=0.7\). Vergleichen Sie mit Abb. 5.37, Abb. 5.39 c) und Abb. 5.43 b). ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.3 Seite 410 ![]() |
![]() |
Abb. 5.42 Einsatz von
numerischer Integration für DGLn.
a) Riemann'sche Summe \(\to\) Eulerverfahren,
b) Mittenregel \(\to\) modifiziertes Eulerverfahren,
c) Trapezregel \(\to\) Heunverfahren,
d) Kepler'sche Regel \(\to\) ? Lesen Sie den
Text im Buch!
|
Abschnitt 5.6.4 Seite 411 ![]() |
![]() |
Abb. 5.43 Runge-Kutta-Verfahren.
a) Skizze eines Schrittes von \(P_3\) aus: Die Hilfspunkte werden in folgender Reihenfolge aufgesucht: Mit \(m_3\) (lila) einen halben Eulerschritt zu \(H\), dort findet man \(m_H\) (hellblau). Mit \(m_H\) einen halben Eulerschritt zu \(R\), dort findet man \(m_r\) (grün). Mit \(m_r\) einen ganzen Eulerschritt zu \(S\), dort findet man \(m_s\) (violett). Der Zielpunkt \(P_4{=}(x_4,y_4)\) wird mit einem ganzen Eulerschritt erreicht (rot), bei dem man \(m = \frac{1}{6}(m_3+2m_H+2m_R+m_S)\) verwendet. b) Die Punkte des Runge-Kutta-Verfahrens liegen praktisch perfekt auf der Lösungskurve. ![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.4 Seite 411 ![]() |
![]() |
Abb. 5.44 Numerische DGL-Verfahren für
\(y'=y^2-x\) im Vergleich mit \(h=0.5\).
Der exakte Wert (blau) an der Stelle \(x=3\) ist \(y(3)=-1.47393\).
Das Runge-Kutta-Verfahren (rot) bringt: \(y(3)\approx -1.50044\), das ist ein
Fehler von nur \(1.4\%\).
Modifiziertes Eulerverfahren (ocker): \(y(3)\approx -1.3515\),
Heun (lila): \(y(3)\approx -1.1338\),
Euler (grün): \(y(3)\approx 0.9641\).
\(A\) ist beweglich.
![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.5 Seite 412 ![]() |
![]() |
Abb. 5.45 \(y'=y^2-x\) exakt gelöst.
![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.5 Seite 413 ![]() |
![]() |
Abb. 5.46 \(y'=y^2-x\) exakt
gelöst, aber numerisch ungenau. Wenn man statt der Airy-Funktionen die
ursprünglichen Besselfunktionen verwendet, gerät selbst Mathematica hier
offenbar in numerische Schwierigkeiten, wie man am rechten Bildrand deutlich
sieht. Auch ist diese "Lösungskurve" bei \(x=0\) plötzlich unstetig.
Tatsächlich wurden hier die Realteile der scheinbar komplexen Lösungen
gezeichnet, was aber am Ergebnis nichts ändern dürfte, da die Lösungen ja
eigentlich reell sind.
![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.6.2 Seite 415 ![]() |
![]() |
Abb. 5.47 Mehrschrittverfahren
veranschaulicht. a) explizites Mehrschrittverfahren,
der rote Punkt ergibt sich aus Formel 5.1,
b) implizites Mehrschrittverfahren, \(p_{n+1}\) wird mit
unbekanntem \(y_1\) aufgestellt,
c) leapfrog-Verfahren. Bei letzterem ist der Integrationsbereich
ein anderer, nämlich von \(x_{-1}\) bis \(x_1\). Das Integral wird durch die
Mittenregel approximiert, weshalb nur \(f(x_0,y_0)\) in die Rechnung eingeht.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abschnitt 5.6.6.4 Seite 417 ![]() |
![]() |
Abb. 5.48 Das Eulerverfahren ist
instabil. Die DGL \(y' = -\lambda y\)
zu den Anfangswerten \(y(0) =1\) hat die exakte Lösung \(y(x) = {\rm e}^{-\lambda x}\).
Sie wird mit dem Eulerverfahren approximiert. Im Bild ist \(\lambda = 5\).
In a), b), c) sind die Schrittweiten
\(h=0.45,\ 0.4,\ 0.35\). Bei \(h>0.4\) wird das Verfahren instabil!
![]() ![]() |
![]() |
||
Abschnitt 5.XXX Seite YYY ![]() |
KKK | Abb. 5.XYX Legende FETT BEACHTEN
![]() ![]() |
Abschnitt 5.1.1.1 Seite 351 |
KKK | Abb. 5.XYX Legende FETT BEACHTEN
![]() ![]() |
Optional für Download usw. |
![]() |
Erstellt: Dez.2020, Update Dez.2020 | |
![]() | ![]() | ![]() |