Höhere Mathematik sehen und verstehen
Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dieter Riebesehl
Hubert Dammer
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Höhere Mathematik sehen und verstehenSpringer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7www.mathematik-sehen-und-verstehen.de https://masuv.web.leuphana.de
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Dörte Haftendorn Dieter Riebesehl Hubert Dammer | |
| Kapitel 05 Numerik | ||||||||||||
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5.1 Numerische Fehler |
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| Abschnitt 5.1.1.1 Seite 351 
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Verdopplung: \(k_{2n} = \) \(\displaystyle\sqrt\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{2}\), \(A_{12\cdot2^m} = 3\cdot2^m\stackrel{\mbox{ \(m+1\) Wurzeln}}{\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{2+\dots\sqrt{3}}}}}\) \(\xrightarrow{m\to\infty}\pi\) für \(m\ge1\) 
Zwölfeck.ggb
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| Abschnitt 5.1.1.1 Seite 351 |
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Abb. 5.1 Iterative Berechnung
von \(\pi\). In der Excel-Tabelle sind ein paar Zeilen ausgelassen. In
der rechten Grafik ist aber für alle Zeilen der erreichte relative
Fehler der Näherung für \(\pi\) aufgezeichnet. An der y-Achse stehen die
dekadischen Logarithmen des relativen Fehlers, also z.B. \(-4\) für \(10^{-4}\).
ApproximationPi.xlsx
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| Abschnitt 5.1.1.1 Seite 352 |
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Abb. 5.2 Stabile
iterative Berechnung von \(\pi\). \(n\) ist die Eckenzahl der regelmäßigen \(n\)-Ecke aus der 12-Eck-Familie, \(k_n\) sind die Höhen der Segmente, \(A_n\) ist die Gesamtfläche des \(n\)-Ecks, die im Grenzwert für \(n\to\infty\) gerade \(\pi\) sein muss. Nur der Anfang und der Schluss der Rechnung sind gezeigt.
ApproximationPi.xlsx
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| 5.2 Nullstellensuche |
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| Abschnitt 5.2.1 Seite 353
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Abb. 5.3 Intervallschachtelungen.
Bei allen Verfahren ist unten eine Intervallschachtelung angegeben,
In a) und b) wird sie durch fortgesetzte Halbierung,
Bisektionen, gefunden. c) zeigt die Lösung des Problems mit einer
rekursiven Folge zur Fixpunktgleichung \(\cos x = x\), siehe
Abschnitt 5.2.4.
bisektion.ggb
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| Abschnitt 5.2.2 Seite 354
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Abb. 5.4 Sekantenverfahren. Neue Näherung \(x_2\)
ist die Nullstelle der Sekante durch die Graphenpunkte an den Enden des
Intervalls \([x_0,x_1]\). Mit einfacher Rechnung und \(y_i=f(x_i)\), \(i=0,1\),
ergibt sich
\[
x_2 =\frac{y_0 x_1-y_1 x_0}{y_0-y_1}.
\]
Das neue Intervall ist \([x_0,x_2]\) oder \([x_2,x_1]\), je nachdem, welches
Vorzeichen \(f(x_2)\) hat. Man sieht hier, dass man für die Funktion
\(f(x) = \cos x - x\) und Start bei \(x_0=0.2,\ x_1=1\), mit \(x_3=0.74\)
schon 2-stellige Genauigkeit der Nullstelle
erreicht hat.
sekanten-verfahren.ggb
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| Abschnitt 5.2.3 Seite 355
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Abb. 5.5 Nullstellensuche mit dem Newtonverfahren für
\(f(x) = {\rm e}^x-4x\).
Es sind je zwei gekoppelte
Grafikfenster nebeneinander dargestellt. Links
ist jeweils der Funktionsgraph und die definierende Tangentenfolge, rechts
die Trägerfunktion der Newton-Iteration mit der Folge der Näherungspunkte
zu sehen. a) und b) zeigen ein "übliches" Beispiel, bei dem die
Näherungsfolge monoton fallend auf die gesuchte Nullstelle zuläuft.
c) und d) zeigen einen anderen Ausschnitt derselben Funktion. Damit
erklären sich einige Überraschungen, die man mit der Newton-Iteration erleben
kann. Der Text geht darauf in Abschnitt 5.2.4.2 ein.
newton_it-DH1.ggb
newton_it-DH2.ggb
newton_it-DH3.ggb
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| Abschnitt 5.2.4.1 Seite 357
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Abb. 5.6 Wie schnell
konvergiert das Newtonverfahren? Man misst die
Konvergenzgeschwindigkeit
daran, mit welchem Faktor die Anzahl der richtig berechneten Stellen von
Schritt zu Schritt wächst. Hier werden die gelben Balken, die dies anzeigen,
bei jedem Schritt etwa doppelt so lang.
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| Abschnitt 5.2.4.2 Seite 358
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Abb. 5.7 CAS mit GeoGebra und
Überraschung beim Newtonverfahren. a) zeigt die Berechnung der
Trägerfunktion des Newtonverfahrens und die Berechnung von Folgenwerten. In
b) und c) sind wieder zwei
gekoppelte Grafikfenster nebeneinander
dargestellt, aber diesmal für die Nullstelle von \({\rm e}^x-2.7x\).
Betrachtet man nur berechnete Folgenglieder, ohne auf einen
Graphen zu achten, könnte man meinen, die Folge konvergiere gegen einen Wert
zwischen \(x_3\) und \(x_6\). In c) erkennt man aber, dass die
rekursive "Treppchenfolge" überhaupt nicht konvergieren wird. Ein Zoom im
Fenster b) hätte auch gezeigt: Es gibt gar keine Nullstelle.
newton-it-cas1.ggb
newton-it-cas2.ggb
newton-it-cas4.ggb
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| Abschnitt 5.2.5.1 Seite 359
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Abb. 5.8 Das Heronverfahren als Rekursion.
a) zeigt eine Parabel mit der Nullstelle \(\sqrt{r}\), die mit dem
Newtonverfahren approximiert wird. b)
verfolgt mit dem Startwert \(x_0\) die Heronfolge im gekoppelten Fenster in der
iterativen Treppendarstellung. Wenn Sie in GeoGebra
\(x_0\) oder den Radikanden \(r\) verändern, reagieren beide Darstellungen
gemeinsam. In Bild b) ist die Trägerfunktion eine Hyperbel.
heron-newton_it.ggb
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| 5.3 Interpolation und Kurven gestalten |
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| Abschnitt 5.3.1.2 Seite 362
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Abb. 5.9 Interpolation nach Lagrange.
a) zeigt Lagrange-Basis-Polynome, die an genau 3 Stützstellen
Nullstellen haben.
In b) wird z.B. der Faktor \(c_b\) für
\(L_B(x)\) gefunden, der \(L_B\) so staucht, dass \(B\) auf dem Graphen liegt.
Das rote Interpolationspolynom entsteht auf diese Weise.
LagrangePolynome.ggb
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| Abschnitt 5.3.1.2 Seite 363
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Abb. 5.10 Kostenfunktion als
Lagrange-Polynom, aus ihr wird alles, was noch dargestellt ist, berechnet.
Erfahren Sie durch Ziehen an den gegebenen Punkten,
wie überraschend deutlich die Wirtschaftsaussagen, die sich daraus ergeben,
auf kleine Änderungen der Lage reagieren.
lagrange_wirtschaft3.ggb
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| Abschnitt 5.3.1.3 Seite 364
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Abb. 5.11 Das Newton'sche-Interpolations-Polynom ist eine Linearkombination der Newton'schen
Basispolynome, die aus immer mehr Linearfaktoren \((x-\mbox{Stützstelle})\)
aufgebaut sind und mit den passenden Koeffizienten immer mehr Stützpunkte
genau treffen.
newton_interpolation.ggb
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| Abschnitt 5.3.2 Seite 365
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Abb. 5.12 Gauß'sche
Glockenkurve und Interpolationspolynom. a) Die Punkte \(A,\,\dots,\,G\) liegen
auf der Glockenkurve, das blaue Interpolationspolynom passt nach
Sicht brauchbar in deren Bereich.
b) Wie gut die Passung wirklich ist, sieht man
durch Visualisierung der Differenzen zur Glockenkurve. Für verschiedene
Stellungen von \(F\) zwischen \(A\) und \(G\) ist je eine solche "Fehlerkurve"
gezeichnet.
interpol-gauss-deutlich.ggb
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| Abschnitt 5.3.2.1 Seite 366
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Abb. 5.13 Poeler Kogge und Splines.
Einsatz von Splines (drei durchgezogene bunte Stücke) für die Balkenform der
Kogge, die Nägel sind in den Punkten \(A,B,C,D\)
zu denken.
Leider kann man die Punkte (noch) nicht ziehen, weil wir die Koeffizienten aus einer Berechnung mit Mathematica übertragen haben. Später kann man dann selbst ein anderes Bild hinterlegen.
poelerkogge3.ggb
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| Abschnitt 5.3.2.2 Seite 367
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Abb. 5.14 Basisfunktionen für
kubische Splines.
Links: \(b_0,\ b_3\), und 6-fach überhöht \(b_1,\ b_2\).
Rechts: Ein damit erstellter natürlicher Spline durch 5 Nägel, in vier
Farben durchgezogen dargestellt. Die Nägel
sind frei verschiebbar. Zum Vergleich ist das
Interpolationspolynom schwarz gestrichelt dazu gezeichnet. Man sieht, dass der
Spline wesentlich weniger "ausschwingt". Orange gestrichelt ist das Ergebnis
des GeoGebra-Befehls Spline(A,B,C,D,E), siehe dazu den Text.
BasisKubSplinesNatuerl.ggb
SplineKub5Punkte.ggb
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 Abschnitt 5.3.2.2 S. 368 |
Hier finden Sie die Ableitungen der Spline-Basisfunktionen und die Herleitung der Gleichungen zur Splineberechnung. Zunächst tabellarisch die Basisfunktionen und deren Ableitungen an den Intervallenden 0 und 1: \[ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline b_0(x) = 1 - x & b'_0(x) = -1 & b'_0(0) = -1 & b'_0(1) = -1 \\ \hline b_1(x) = \frac{1}{6}(1-x)(x-2)x & b'_1(x) = \frac{1}{6}\left((2-x)x + (1-x)x + (1-x)(2-x)\right) & b'_1(0) = -\frac{1}{3} & b'_1(1) = \frac{1}{6} \\ \hline b_2(x) = \frac{1}{6}(x-1)(x+1)x & b'_2(x) = \frac{1}{6}\left((x+1)x + (x-1)x + (x-1)(x+1)\right) & b'_2(0) = -\frac{1}{6} & b'_2(1) = \frac{1}{3} \\ \hline b_3(x) = x & b'_3(x) = 1 & b'_3(0) = 1 & b'_3(1) = 1 \\ \hline \end{array} \] Die im Punkt \(B\) zusammentreffenden Splinepolynome sind mit den Bezeichnungen aus dem Buch \( p_{AB} = A_y b_0^{AB} + c_A b_1^{AB} + c_B b_2^{AB} + B_y b_3^{AB} \quad \) und \( \quad p_{BC} = B_y b_0^{BC} + c_B b_1^{BC} + c_C b_2^{BC} + C_y b_3^{BC} \). Die Bedingung einer stetigen 1. Ableitung im Punkt \(B\) führt zu \( p_{AB}'(B) = p_{BC}'(B).\) Hier setzt man die oben angegebenen Ableitungen ein und nutzt aus, dass \( b_i^{BC} \) einfach das nach rechts verschobene \( b_i^{AB} \) ist: \( A_y b_0'(1) + c_A b_1'(1) + c_B b_2'(1) + B_y b_3'(1) = B_y b_0'(0) + c_B b_1'(0) + c_A b_2'(0) + C_y b_3'(0)\) \( -A_y + \frac{1}{6}c_A + \frac{1}{3}c_B + B_y = -B_y - \frac{1}{3}c_B - \frac{1}{6}c_A + C_y \) \( \frac{1}{6}c_A + \frac{2}{3}c_B + \frac{1}{6}c_C = C_y - 2B_y + A_y\) \( \frac{1}{6}(c_A + 4c_B + c_C) = C_y - 2B_y + A_y\) Das ist die erste der Gleichungen, die anderen ergeben sich daraus durch Verschiebung zu den nächsten Punkten. |
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| Abschnitt 5.3.3 Seite 369
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Abb. 5.15 Bézierkurve a)
zusammen mit ihren Steuerpunkten \(A,B,C,D\), in
b) erzeugt aus ihrem "Gerüst": Man wählt einen
Prozentsatz \(t\) zwischen 0 und 1, hier \(t=0.4=40\%\),
und markiert auf jedem der schwarzen Gerüstvektoren den \(40\%\)-Punkt von \(A\),
von \(B\) und von \(C\) aus. Auf den zwei sich daraus ergebenden Vektoren (orange)
werden wieder die \(40\%\)-Punkte markiert. Im nächsten Schritt (rosa) hat man
so den Punkt \(P\) der Bézierkurve erzeugt. Diese ist der geometrische Ort von
\(P\) bei jeder Wahl von \(t\). Siehe auch
Abb. 5.16 und Seite 372.
bezier_Geruest.ggb
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| Abschnitt 5.3.3.1 Seite 370
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Abb. 5.16 Bézierkurve als
Parameterkurve mit Bernstein-Polynomen. a) zeigt den
Bézierspline, mit dem man einen Notenbogen anpassen kann,
siehe Abb. 5.15 und Seite 372.
b) Die vier Bernstein-Polynome sind eine Basis
für den Polynomraum \(\Pi_3\), wir verwenden sie im Intervall [0,1].
c) zeigt, wie die Koordinaten von \(B\) als
Koeffizienten von \(b_1\) in der Parameterkurve wirken.
bezier_parameterkurve-summanden-buch.ggb
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| Abschnitt 5.3.3.2 Seite 371
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Abb. 5.17 Bézierkurve als
Parameterkurve. Allgemeine Erklärung für Parameterkurven. Die Koordinaten eines Kurvenpunktes \(P\) sind Funktionen \(x(t),\ y(t)\) eines Parameters \(t\). Diese beiden Funktionen sind hier zusätzlich dargestellt, und zwar so, dass die Parameterkurve durch die waagerechten und senkrechten gestrichelten Linien geometrisch entstehen kann. Sie können an \(t\) ziehen, damit \(P\) wandern lassen, aber auch das "Gerüst" verändern.
Bezier anschaulich.ggb
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| Abschnitt 5.3.3.3 Seite 372
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Abb. 5.18 Krümmung des
Béziersplines in \(A\), dargestellt durch den blauen
Krümmungskreis, mit seiner Spur in GeoGebra.
a) zeigt, dass sich bei Verlängerung von
\(\overrightarrow{AB}\) die Krümmung ändert.
In b) ändert sich die Höhe \(k\) des Dreiecks \(ABC\) nicht, wenn \(C\) auf
der Parallelen zu \(AB\) wandert, also bleibt die Krümmung gleich.
c) zeigt beispielhaft, dass eine beliebige Veränderung von \(D\) keinen
Einfluss auf die Krümmung in \(A\) hat.
Bezier-kruemmung.ggb
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| Abschnitt 5.3.3.3
Seite 372 |
Die Krümmungsformel für den Beziérspline im Punkt \(A\) lautet
\[ \kappa = \frac{2k}{3\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|} \]
mit der Höhe \(k\) auf der Seite \(AB\) im Dreieck \(ABC\).
Die Herleitung benutzt die Formel
\[
\kappa = \frac{\ddot y\dot x - \ddot x \dot y}{(\dot x^2 + \dot y^2)^{\frac{3}{2}}}.
\]
Sie ist anzuwenden auf die Parameterdarstellung
\[
\vec P = \begin{pmatrix} P_x \cr P_y\end{pmatrix},\quad
\begin{array}{cccccc}
&P_x(t)=&A_x b_0(t)&+\;B_x b_1(t)&+\;C_x b_2(t)&+\;D_xb_3(t) = x(t),\\
&P_y(t)=&A_y b_0(t)&+\;B_y b_1(t)&+\;C_y b_2(t)&+\;D_yb_3(t) = y(t),
\end{array}
\]
oder ausgeschrieben
\[
\vec P = \begin{pmatrix} x(t) \cr y(t)\end{pmatrix} = \vec A (1-t)^3 + 3\vec B (1-t)^2 t + 3\vec C (1-t)t^2 + \vec D t^3.
\]
Wir rechnen die nötigen Ableitungen im Punkt \(A\), also für \(t=0\)
aus. Dabei nehmen wir von vornherein nur Terme mit, die keinen Faktor
\(t\) enthalten, da sie ohnehin wegfallen. Bei der Anwendung der
Produktregel schreiben wir also nur die Terme auf, in denen alle
\(t\)-Faktoren "wegdifferenziert" wurden:
\[
\begin{pmatrix} \dot x(t) \cr \dot y(t)\end{pmatrix}\Bigg|_{t=0} =
\Big(-3\vec A (1-t)^2 + 3\vec B(1-t)^2\Big)\Big|_{t=0} = 3\vec B - 3\vec A.
\]
Vorsicht: für die zweiten Ableitungen müssen wir wieder auf \(\vec P\)
schauen, weil nun auch \(\vec C\) einen Beitrag leisten wird:
\[
\begin{pmatrix} \ddot x(t) \cr \ddot y(t)\end{pmatrix}\Bigg|_{t=0} =
\Big(6\vec A (1-t) - 12\vec B(1-t) + 6\vec C(1-t)\Big)\Big|_{t=0} =
6\vec C - 12\vec B + 6\vec A.
\]
\(\vec B\) hat einen Faktor 12 statt 6, weil wir bei diesem Summanden bei
Anwendung der Produktregel offenbar einmal den \(t\)-Faktor und einmal
den \((1-t)\)-Faktor ableiten müssen, aber dafür gibt es zwei
Reihenfolgen, die bei der zweimaligen Anwendung der Produktregel auch
beide vorkommen.
Wenn Sie diesem Argument nicht folgen können, dann müssen Sie alles
"zu Fuß" nachrechnen.
Nun ist alles in die Krümmungsformel einzusetzen: \[ \kappa = \frac{3(B_x-A_x)\cdot6(A_y-2B_y+C_y) - 3(B_y-A_y)\cdot6(A_x-2B_x+C_x)} {\big( 9(B_x-A_x)^2 + 9(B_y-A_y)^2 \big)^{\frac{3}{2}}} = \frac{18}{27}\frac{B_xC_y + A_xB_y - A_xC_y - B_yC_x - A_yB_x + A_yC_x} {\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|^3}. \] Jetzt kommt die Dreieckshöhe \(k\) ins Spiel. Die Fläche des Dreiecks \(ABC\) errechnet sich zu \(\frac{1}{2}k\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|\), das Doppelte davon ist aber gerade die Fläche des von \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BC}\) aufgespannten Parallelogramms. Letztere lässt sich aber auch als \(\Big|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\Big|\) schreiben. Dieses Kreuzprodukt hat einen Wert, der sich als Determinante mal einen Einheitsvektor \( \vec e_{\bot} \)schreiben lässt, welcher auf der Ebene, die von \(ABC\) aufgespannt wird, senkrecht steht: \[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} B_x-A_x & C_x-B_x \cr B_y-A_y & C_y-B_y \end{vmatrix}\cdot\vec e_{\bot}, \] was ausmultipliziert genau den obigen Zähler für \(\kappa\) ergibt! Damit hat man \[ \kappa = \frac{2}{3}\frac{k\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|} {\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|^3} = \frac{2}{3}\frac{k} {\Big|\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|^2} \] |
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| Abschnitt 5.3.4 Seite 373
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Abb. 5.19 Bézierfläche, erzeugt aus
ihrem "Gerüst":
a) Realisierung in Mathematica. b) Für die Realisierung in GeoGebra nennt man im Tabellenfenster die z-Ordinaten für die Stützpunkte. Daraus wird eine Matrix \(ordi\) erzeugt, auf deren Komponenten man mit Indizes zugreifen kann. In griffiger Mathematica-Syntax ist in b) unten gezeigt, wie daraus mit den Bernsteinpolynomen die z-Komponente der Parameterdarstellung erzeugt wird. Sie ist ein Polynom 6. Grades in s und t. c) Realisierung im 3D-Fenster von GeoGebra. zu a)  BezierFlaechen.nb, Mathematica Quelltext
 Dies zum Lesen und Verstehen
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zu b) und c)
bezier-flaeche+geruest.ggb
Anmerkung: Die Funktion Oberfläche(s,t,z(s,t),s,0,3,t,0,3) geht stets verloren beim Öffnen. Laden Sie die ggb herunter und öffnen Sie sie dann von Hand im geöffneten GeoGebra. Kopieren Sie von hier 1+s-s^2/3-s^3/27+t+t^2/3-(s t^2)/3+(2 s^3 t^2)/81-(4 t^3)/27+(2 s t^3)/27-(s^2 t^3)/81-(2 s^3 t^3)/729 Tragen Sie diesen Term als z(s,t) in den Oberfläche-Befehl in die Eingabezeile ein. Dann entsteht Abb. 5.19 c). Leider ist dies nur statisch. Wenn Sie aber stpoly (steht im Algebafenster) anstelle von z eintragen, können Sie mit unserer Datei können Sie dynamisch experimentieren. Leider bleibt dies nicht beim Speichern erhalten. Die lange Summe f von oben, aber auch die für stpoly gemäß Abb. 5.19 b), lässt sich in GeoGebra schlecht eintippen. Man erzeugt sie besser in einem anderen Editor (wir nahmen Mathematica) und überträgt das mit Copy und Paste. Wir haben dieses merkwürdige Verhalten dem GeoGebra-Team berichtet. |
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| 5.4 B-Splines und NURBS |
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| Abschnitt 5.4 Seite 374
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Abb. 5.20 Legende Bernsteinpolynome
3. Grades, wie sie für
Béziersplines verwendet werden.
a) als Graphen,
b) gestapelt, ihre Summe ist \(=1\) für jedes \(t\)
im Intervall \([0,\,1]\),
c) Erweiterung mit drei weiteren Steuerpunkten und einer weiteren
Bézierkurve: die Gesamtkurve ist i.A. an der Nahtstelle nicht differenzierbar.
bernsteinSumme.ggb
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| Abschnitt 5.4.2.1 Seite 376
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Abb. 5.21 Aufbau der Basen für B-Splines.
a) oben zwei Basissplines zu \(p=0\),
darunter die Gewichtungsfunktionen in passender
Farbe: orange zu rot und hellblau zu blau, aus diesen errechnet sich in
b) die
erste Basisfunktion zu \(p=1\), dazu die zweite in blau/blau gestrichelt,
darunter wieder die Gewichtsfunktionen, aus diesen errechnet sich in
c) die erste Basisfunktion zu \(p=2\) usw. bis man in d)
Basisfunktionen zu \(p=3\) sieht.
Zwei,GeoGebra-Dateien (links,rechts) B-Spline-Basis1.ggb
B-Spline-Basis2.ggb
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| Abschnitt 5.4.2.2 Seite 378
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Abb. 5.22 Elemente eines langen
B-Splines für 18 Punkte (\(A\) bis \(R\)).
a) Basiskurven vom Grad 3, die für 18 Punkte benötigt werden. Sie sind jeweils in einem Intervall der Breite 4 definiert. b) 18 Punkte, die das Gerüst für den B-Spline bilden, und der B-Spline für \(3\le t\le 18\). c) Die Graphen von \(P_x(t)=A_x B_{0,3}(t)+\dots+ R_x B_{17,3}(t)\) in Grün und \(P_y(t)\) entsprechend in Blau.
B-Splines3Grad.ggb
B-Splines3Grad-PxPy-lang.ggb
im GeoGebra-Book -->
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| Zusatz zu Abschnitt 5.4.2.2 Seite 378 |
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Didaktische B-SlinesAbb. 5.22.Z1In den Vorträgen in Münster und Saarbrücken ist ein Vorschlag gemacht, wie Lernende eigenständig NURBS erfinden können, genauer Vortrag Münster Folien 7 bis 10. Der Begriff NURBS wird dabei in allgemenem Sinne verwendet, auch für Basisfunktionen mit uniformen Knoten. Die gleichmäßigen B-Spline können durch Polynome 4. Grades näherungsweise dargestellt werden. Leider ist dabei die Summe der Basisfunktionen auch nur angenähert 1. Der Effekt ist links dargestellt: Die didaktischen Splines (rot) folgen nicht so gut dem Polygon der Stützpunkte wie der echte B-Spline (lila).
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| Zusatz zu Abschnitt 5.4.2.2 Seite 378 |
Wirkung von "Nicht Summe 1"
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Warum muss die Summe der Basisfunktionen 1 sein?Abb. 5.22.Z2Bildet man die Steuerpunkte \(\{P_i\}=N,...,W\) affin mit einer Verschiebung um den Vektor \(\vec v=(30,-20)\) auf \(\{P'_i\}=N1,...,W1\) ab, so ist zu wünschen, dass der Spline aus den Bildpunkten \( \{P'_i\}\), unten violett dargestellt, auch wirklich mit dem affinen Bild(unten grün) des Ur-Splines (der ist oben auch grün) übereinstimmt. Das ist HIER NICHT DER FALL, weil die Basisfunktionen der "didaktischen Nurbs" NICHT die Summe 1 haben. Der Spline der abgebildeten Punkte (unten violett) ist mit \(\vec u=(-30,+20) \) auch in die Umgebung des Ur-Splines, oben als roter unpassender Spline, zurückgeschoben. 
Bezier+B-Splines22.nb, Mathematica Quelltext
 Dasselbe mit Mathematica-Player
Dies zum Lesen und Verstehen
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| Zusatz zu Abschnitt 5.4.2.2 Seite 378 |
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 Abb.5.22.Z3 Der niederländische Maler und Zeichner Mauritz C. Escher ist, gerade unter Menschen, die Mathematik mögen, sehr bekannt. In einem kürzlich im Fernsehen ausgestrahlten biografischen Film haben die Autoren mehrere seiner gezeichneten Tiere in animierten Scenen aus den Bildern krabbeln oder fliegen lassen. Davon angeregt haben wir die Metaporphose eines Feldes zu einer fliegenden Gans mit B-Splines umgesetzt. ggb-Datei für die Animation
Sie beruht auf der Datei zu Abb. 5.22, nun aber mit 23 Punkten statt 18. Sie finden auch die Herleitung und Möglichkeiten zu eigenen Kreationen. Im Bild "Tag und Nacht" sind die Felder unten und die Gänse oben. Rechts ist das Bild etwas beschnitten. |
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| Abschnitt 5.4.3.1 Seite 379
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Abb. 5.23 Hinführung zu NURBS.
a) Nicht-uniforme Basiskurven vom Grad 3, je fünf benachbarte Knoten aus der Liste \(T\) gehören zu einer Basis-Funktion 3. Grades für B-Splines. b) Mit Gewichten und rationalen Basen kann man u.a. auch exakte Standardkurven mit NURBS modellieren, es ist hier gezeigt für den rot-grün-gestrichelten Viertelkreis, der mittlere der fünf Bögen. Variation eines Gewichtes erzeugt die anderen Kurven. |
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c) Basiskurven und
d) ein geschlossener NURBS daraus mit 7 Steuerpunkten und
nicht uniformen, rationalen B-Splines zweiten Grades, der aus vier
Ellipsenstücken besteht. Hier in GeoGebra frei ziehbar.
a) und b) NURBS1 zum Viertelkreis in vielfätiger Datei, Splines-und-NURBS.nb Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
c) und d)
NURBS2.ggb
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| Zusatz zu Abschnitt 5.4.3.1 Seite 379 |  |
Trisektrix als rationaler Bézierspline
Die Grundidee ist es, eine Kurve dritten Grades mit rationalen Béziersplines darzustellen, denn wir wollen die Bernsteinpolyome \(b_i\) verwenden, die ja Grad 3 haben. Wir haben uns für die Trisektrix entschieden, von der wir aus dem Kurvenbuch Seite 64 die implizite Gleichung \((a+x)y^2=(3a-x)x^2\) kennen. Nun benötigen wir eine rationale Parameterdarstellung. Eine solche bekommt man wenn man durch eine Singularität, also hier den Doppelpunkt im Ursprung, eine Gerade \(y=tx\) legt, sie mit der Kurve zum Schnitt bringt und t als Parameter wählt. Sofort folgt \((a+x)t^2=(3a-x)\) und damit \(x(t)=\frac{a(3-t^2)}{1+t^2}\). Aus der Geradengleichung folgt dann \(y(t)=\frac{at(3-t^2)}{1+t^2}\). Die rationale Basis, die wir verwenden wollen, ist nach Seite 379 unten \(R_i=\frac{w_i b_i}{\Sigma_{j=0}^3{w_j b_j}}\), für \(i=0\dots3\). In der Linearkombination der \(R_i\) mit den Steuerpunktkoordinaten als Koeffizienten gilt der gemeinsame Nenner \(\Sigma_{j=0}^3{w_j b_j}=1+t^2\) ohne Einfluss der Steuerpunkte. Durch Koeffizientenvergleich der Potenzen von \(t\) bestimmen wir \(w_0=1,\;w_1=1,\;w_2=\frac{4}{3},\;w_3=2\). Beim Kreis (s.o.) ist es (zufällig) derselbe Nenner. Mit diesen Gewichten im Zähler ergibt sich, wie im Buch Seite 380, die rationale Basis: \(R_0(t)=\frac{(1-t)^3}{t^2+1},\;R_1(t)=\frac{3 (1-t)^2 t}{t^2+1},\;R_2(t)=\frac{4 (1-t) t^2}{t^2+1},\;R_3(t)=\frac{2 t^3}{t^2+1}\) Die Steuerpunkte müssen nun so gewählt werden, dass der Gesamtzähler der Linearkomination \(A\,R_0+B\,R_1+C\,R_2+D\,R_3\) für \(x(t)\) und \(y(t)\) der Zähler der Parameterdarstellung der Trisektrix ist: \( a(3-t^2)=A_x(1-t)^3+B_x 3 (1-t)^2 t+C_x4 (1-t) t^2+D_x 2 t^3\) \( at(3-t^2)=A_y(1-t)^3+B_y 3 (1-t)^2 t+C_y4 (1-t) t^2+D_y 2 t^3\) Durch Koeffizientenvergleich erhält man aus einem Gleichungssystem \(A=(3 a,0),B=(3 a,a),C=\left(2 a,\frac{3 a}{2}\right),D=(a,a)\) als Steuerpunkte einer Trisektix mit dem Doppelpunkt im Ursprung und der Schlaufenbreite 3\(a\).  Trisektrix-rat-Bezierspline.cdf,im Mathematica Player, Info zum Player
Trisektrix-rat-Bezierspline.nb, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
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| Zusatz zu Abschnitt 5.4.3.1 Seite 380 |
Durchlauf des blauen Kreises für t von 0 bis 1 Bild a) mathem. negativ, Uhrzeigersinn, Bild b) mathem. positiv, entgegen dem Uhrzeigersinn, Bild c) mathem. negativ, Uhrzeigersinn, aber unpassend zugeordnet. Im vorigen Absatz ist a) animiert zu sehen. Die "Umwendung" hat ihren Grund in der gegenläufigen Parametrisierung. |
Metamorphose einer Trisektrix in einen Kreis mit Hilfe von rationalen Béziersplines
Zwei Parametrisierungen des Kreises werden hier verwirklicht und zwar genau nach dem eben beschriebenen Verfahren. Daher sind die beiden folgenden Mathematica-Realsierungen lediglich winzige Modifizierungen der oben genannten Datei.
a)
echte-Trisektrix-Kreis.ggb \(A\rightarrow P_0,\;B\rightarrow P_1,\;C\rightarrow P_2,\;D\rightarrow P_3,\;\), die \(P_i\) gemäß dem Buch
b)
echte-Trisektrix-anderer-Kreis.ggb
c)
Trisektrix-Kr-Buch-o-Wenden.ggb
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| Zusatz zu Abschnitt 5.4.3.3 Seite 380 |
 
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Doppelte Knoten in NURBS, Erläuterungen
Im Buch steht auf Seite 380 zu den geschlossenen NURBS, dass als nötiger Trick Elemente in der Knotenliste verdoppelt werden, und dass man die dadurch in der Rekursion entstehenden Intervalle der Länge 0 einfach weglassen soll. Als Erklärung wird nur geboten, dass das "tatsächlich funktioniert". Wir wollen hier aber begründen, dass dieses Weglassen der richtige Weg ist.
NurbsKnotendoppelt.ggb
In dieser GeoGebra-Datei werden zur Knotenliste {0,1,2,3,4} die Basispolynome \(B_{00},\ B_{10},\ B_{20},\ B_{30},\ B_{01},\ B_{11},\ B_{21},\ B_{02},\ B_{12}\) und \(B_{03}\) eines NURBS berechnet. Sie können in der GeoGebra-Datei links im Algebrafenster die Funktionen auswählen, die sie sehen wollen. Dort können Sie auch rekursiven Definitionen verfolgen und die Funktionsterme sowie die Graphen ansehen. Links sind durchgezogen\( B_{02},\ B_{03}\) und \(B_{12}\) zu sehen, die gestrichelten Graphen werden im Folgenden erklärt. Der Knoten 2 ist über einen Schieberegler \(a\) veränderbar, er kann im Bereich 2 bis 3 verschoben werden. Das heißt, dass Sie den Knoten 3 verdoppeln können. Dabei können Sie sich anschauen, wie sich der Verlauf der Funktionen ändert. Bei \(B_{11}\) werden Sie den Bruch \(\frac{3-x}{3-a}\) als Teilterm entdecken. Dieser ist für \(a=3\), also den verdoppelten Knoten, nicht definiert. Ziehen Sie \(a\) auf 3, wird \(B_{11}\) nicht mehr angezeigt, und alle vom Intervall [a,3] abhängigen Funktionen auch nicht. Deshalb gibt es die Funktionsversionen \(B_{10x},\ B_{01x},\ B_{11x},\ B_{21x},\ B_{02x},\ B_{03x}\) und \(B_{12x}\) (alle gestrichelt), die undefinierte Teilterme weglassen und \(a=3\) setzen. \(B_{20}\) wird nicht mehr gebraucht. Im ersten Bild links oben sind \(B_{02},\ B_{03},\ B_{12},\ B_{02x},\ B_{03x}\) und \(B_{12x}\) gezeigt für \(a=2.8\), im Bild links Mitte nur \(B_{02x},\ B_{03x}\) und \(B_{12x}\) für \(a=3\). Sie können sehen, wie sich die durchgezogenen Funktionen an die gestrichelten annähern, wenn \(a\to3\) geht. |
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Wir wollen zum Verstehen durch Anschauen aber auch noch einen rechnerischen Beweis liefern, und zwar für \(B_{11}\), welche Funktion ja sozusagen der "Anfang allen Übels" ist. Dazu können Sie sich auch die Funktion \(\Delta B_{11} = B_{11} - B_{11x}\) anzeigen lassen, wie es im unteren Bild für \(a=2.8\) geschehen ist. Es ist
\[
\Delta B_{11} = \left(\frac{x-1}{a-1} - \frac{x-1}{3-1}\right)B_{10} + \left(\frac{3-x}{3-a} - \frac{x-1}{3-1}\right)B_{20}=
\]
\[
= (3-a)\frac{x-1}{(a-1)(3-1)}B_{10} + \text{ irgendwas }\cdot B_{20}.
\]
Der linke Summand geht gegen 0, wenn \(a\to3\) geht, der rechte ist nur auf dem Intervall [a,3] von null verschieden. Daraus folgt, dass \(\Delta B_{11}\to0\) punktweise geht für \(a\to3\), oder anders gesagt \(B_{11}\stackrel{a\to3}\longrightarrow B_{11x}\) punktweise.
Eine analoge Rechnung gelingt in allen anderen Fällen ebenso. Schauen Sie sich auch an, wie die Grenzfunktionen für \(a=3\) im doppelten Knoten einmal weniger differenzierbar sind als ohne doppelten Knoten (0-mal differenzierbar heißt dabei einfach "stetig") und überlegen Sie, dass das daran liegt, dass die Gewichtsfunktionen am Intervallrand am doppelten Knoten keine Nullstelle mehr haben: der dazu nötige Term wird gerade weggelassen! |
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| Abschnitt 5.4.3.4 Seite 381
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Abb. 5.24 Torus als NURBS. In der Praxis gibt es
ausgereifte Software für NURBS, die dem Anwender die Mühen abnimmt. Das gilt
insbesondere für den Einsatz im 3D-Bereich. Im Gegensatz zu einfacheren
Konzepten für Splines können NURBS sowohl Freiformen als auch Standardformen
wie Zylinder, Kegel, Ringe, Kugel u.s.w. gestalten.
NURBS-Torus.nb, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
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| 5.5 Numerische Integration |
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| Abschnitt 5.5.1.1 Seite 383
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Abb. 5.25 Beweise der Kepler'schen Regel:
a) beweist mit der linken Parabel eine Sondersituation, die dann rechts daneben verwendet wird. b) zeigt den historischen, geometrischen Weg von Archimedes und Kepler. Ein Parabelsegment (grün) nimmt immer \(\frac{2}{3}\) des umbeschriebenen (blau gestreiften) Parallelogramms ein.
kepler-beweise.ggb
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| Abschnitt 5.5.1.1 Seite 384
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Abb. 5.26 Allgemeine Aussage über Parabelsegmente,
bewiesen mit Integralrechnung und Scherung.
Näheres dazu im Text.
parabelsegment.ggb
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| Abschnitt 5.5.1.2 Seite 385
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Abb. 5.27 Kepler'sche Regel für eine Parabel und
ein Polynom $p_3$.
a) Die beiden Integralflächen haben zwar nicht
dieselbe Form, aber dieselbe Fläche.
b) Der Grund ist, dass das Integral über ihre Differenzfunktion null
ist.
c) Kleines Lehrstück zur Bestimmung der Interpolationspolynome mit in
GeoGebra definierten Matrizen (siehe Text und den folgenden Zusatz XXX).
kepler1.ggb
kepler2.ggb
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| Abschnitt 5.5.2 Seite 386
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Abb. 5.28 Simpson'sche Regel an Beispielen.
a) zeigt die Simpson-Regel mit 4 Streifen der Breite \(h=0.25\) für die Funktion \(\sin(\pi x^2)\). In b) wird die Viertelkreisfläche mit ebenfalls 4 Streifen der Breite 1 angenähert, aber mit bescheidenem Erfolg. Genaueres im folgenden Zusatz
c) zeigt eine Näherung für die wichtige Gauß'sche Glockenkurve mit 8 Streifen, der Fehler liegt unter 3 Millionstel. Weiteres zu den gezeigten Näherungen steht im Abschnitt 5.5.2.2 nach der Simpson-Formel in Satz 5.5 und der Fehlerbetrachtung 5.5.2.1. |
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| Zusatz zum Teil b) |
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simpson-a.ggb Sinus
simpson-b.ggb Viertelkreis
simpson-c.ggb Glockenkurve
Die Breite zweier benachbarter Balken sollte so gewählt werden, dass man das zugehörige Kurvenstück annähernd als Parabel (oder Poymom 3. Grades) auffassen kann. Bei dem Viertelkreis in b) sind die zugehörigen Parabeln eingezeichnet. Es ist daher klar, dass der linke Doppelbalken einen deutlichen Fehler erzeugt. In der rechten Bildhälfte ist GeoGebra-CAS zu sehen. Es werden damit die Parabeln berechnet, die die Grundlage der Rechnung sind. Achten Sie in
simpson-b.ggb Viertelkreis auf das CAS-Fenster. Man macht es bei Ansicht mit Strg+Umschalt+K (zweimal diesen Hotkey klicken) auf.
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| Abschnitt 5.5.3.1 Seite 392
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Abb. 5.29 Fehler einfacher
Quadraturformeln. Es ist in jedem Bild die approximierte
Integralfläche im Vergleich mit der wirklichen Integralfläche zu sehen.
Die Fehlerflächen sind nach links zusammengeschoben und liegen auf
einem Streifen der Breite \(h\) bzw. bei d) \(\frac{h}{2}\). Einzelheiten stehen
im Text. In der GeoGebra-Datei können Sie mit \(n\) die
Anzahl der Streifen verändern und das Fehlerverhalten verstehen.
FehlerObersumme.ggb
FehlerUntersumme.ggb
FehlerTrapezsumme.ggb
FehlerMittenregel.ggb
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| Abschnitt 5.5.3.2 Seite 392
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Abb. 5.30 Abschätzung des
Fehlers bei der Mittenregel.
In der linken Hälfte überschätzt die Mittenregel das Integral um die
grüne Fläche, in der rechten unterschätzt sie ebenfalls um die grüne
Fläche. Durch Punktspiegelung dieser an der Mitte kann man links die
Differenzfläche (rot schraffiert) als Gesamtfehler erkennen.
Sie hat jeweils Ordinatenstücke der
Länge \(d_1-d_2\), (gelb).
Diese roten Differenzflächen sind in Abb. 5.29 d)
bei der Mittenregel abgebildet.
RechnungMittenregel.ggb
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| Abschnitt 5.5.3.4 Seite 395
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Abb. 5.31 Die erste
Gauß'sche Quadraturformel integriert Polynome bis zum Grad 3
exakt: von links nach rechts sind die Funktionen \(f(x)=1,\ x,\ x^2,\ x^3\)
gezeigt. In blau sieht man jedes Mal die Ordinaten an den Stützstellen
\(\pm\frac{1}{\sqrt3}\), diese Werte sind aber nur ganz links eingetragen.
Außerdem ist für \(x^2\) das (blau schraffierte) Rechteck gezeigt,
das die Fläche nach der Gauß'schen Quadraturformel darstellt.
GaussQuadratur.ggb
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| Abschnitt 5.5.4.1 Seite 396
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Abb. 5.32 Raumintegral
numerisch über ein Rechteck.
\(int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\, {\rm d} x\,{\rm d} y\) für
\(f(x,y)=(x-2)^2+\frac{1}{2}(y-3)^2-7\).
Bezüglich \(x\) wird die Drei-Achtel-Regel, bzgl.
\(y\) die Kepler'sche Regel verwendet. Die Gewichte für die Punkte im Rechteck
ergeben sich als die Produkte der Gewichte für die einzelnen Variablen.
Z.B. ist das Gewicht zu \((x_1,y_1)\) gegeben als
\(\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{6} = \frac{1}{4}\). Gleiche Gewichte
haben gleiche Farben. Die Realisierung und die Rechnungen in diesem Fall,
erstellt mit GeoGebra, finden Sie im folgenden Zusatz.
RaumintegralRechteck.ggb
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| Zusatz Abschnitt 5.5.4.1 Seite 396 |
Der wahre Wert des Integrals errechnet sich zu \[ \int_1^3\int_1^4 f(x,y)\,{\rm d} x\,{\rm d} y = -32. \] Für die numerische Integration brauchen wir zunächst eine Wertetabelle: \[ \begin{array}{r|c|c|c|c|} f(x,y) & x=1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y=1 & -4.0 & -5.0 & -4.0 & -1.0 \\ \hline 2 & -5.5 & -6.5 & -5.5 & -2.5 \\ \hline 3 & -6.0 & -7.0 & -6.0 & -3.0 \\ \hline \end{array} \] Damit erhält man für die Näherung \[ \int_1^3\int_1^4 f(x,y)\,{\rm d} x\,{\rm d} y \approx (4-1)\cdot(3-1)\cdot \begin{pmatrix} -4.0 \cdot\frac{1}{48} -5.0 \cdot\frac{1}{16} -4.0 \cdot\frac{1}{16} -1.0\cdot\frac{1}{48} \\ -5.5 \cdot\frac{1}{12} -6.5 \cdot\frac{1}{4}\ -5.5 \cdot\frac{1}{4}\ -2.5\cdot\frac{1}{12} \\ -6.0 \cdot\frac{1}{48} -7.0 \cdot\frac{1}{16} -6.0 \cdot\frac{1}{16} -3.0\cdot\frac{1}{48} \\ \end{pmatrix} = -32 \] die natürlich exakt ist, weil der Polynomgrad kleiner als 3 ist. | |||||
| Abschnitt 5.5.4.2 Seite 397
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Abb. 5.33 Raumintegral
numerisch über ein achsenparalleles Dreieck. a) Stützpunkt ist der
Dreiecksschwerpunkt, d.h. der Schnitt der Seitenhalbierenden. b) Die
Stützpunkte liegen auf den Seitenmitten. c) Der blaue Stützpunkt ist
der Schwerpunkt. Die grünen Punkte sind drei Punkte eines Rechtecks mit
linker unterer Ecke \(\frac{9-2\sqrt{15}}{21}(h,k)\) und rechter
oberer Ecke \(\frac{6+\sqrt{15}}{21}(h,k)\), die roten Punkte sind
drei Punkte eines Rechtecks mit linker unterer Ecke
\(\frac{6-\sqrt{15}}{21}(h,k)\) und rechter oberer Ecke
\(\frac{9+2\sqrt{15}}{21}(h,k)\); beide Male gehört eine Rechteckecke
nicht zu den Stützstellen. Die zugehörigen Gewichte sind eingetragen.
RaumintegralDreieck.ggb
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| Abschnitt 5.5.4.2 Seite 398
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Abb. 5.34 Beispiel für ein Raumintegral.
Das Integral
\(\int_{-1}^1\int_{-1}^1 \frac{1}{2\pi}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}\,{\rm d} x\,{\rm d} y\)
wird auf vier Weisen numerisch berechnet. Der richtige Wert ist \(0.466065\),
als Näherungen ergeben sich a) \(0.569672\), b) \(0.485574\), c) \(0.469626\), d) \(0.466559\). Hier sieht man beim Vergleich von b) und c), dass mit weniger Punkten und verbesserter Fehlerordnung eine höhere Genauigkeit erzielt wird.
RaumintegralBsp.ggb
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| 5.6 DGLn numerisch lösen |
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| In den Abb. 5.35 bis 5.44 sind alle als "Lösung" bezeichneten Kurven mit GeoGebra numerisch erzeugt, und zwar mit dem Runge-Kutta-Verfahren.
Abschnitt 5.6.5 zeigt den Aufwand für die exakten Lösungen in Abb. 5.45. In den folgenden Dateien ist das Richtungsfeld ein Bild. Das in GeoGebra verfügbare Richtungsfeld besteht nur aus Strichlein. Aber bei Abb. 4.4 haben wie ein für alle DGLn 1. Ordnung nutzbares schönes Richtungsfeld in GeoGebra verwirklicht. | ||||||
| Abschnitt 5.6 Seite 399
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Abb. 5.35 Untersuchungen zum
Richtungsfeld von \(y'=y^2-x=f(x,y)\). a) Richtungsfeld mit zwei auffälligen Kurven. b) Richtungsfeld mit Isoklinen für \(m=\) \(2,\,0,\,-2,\,-4,\,-6\). Berechnung der Isoklinen bei Abb. 4.6 c) Mit dem Spurmodus von GeoGebra eingezeichnete Scharen von Lösungskurven, die Sie hier selbst erkunden können. In der ggb-Datei sind einige davon als Folge von Lösungskruven fest realisiert. Hervorzuheben ist die schwarze Lösung, die die blauen und grünen Lösungen voneinander trennt. Diese ist in Abschnit 5.65 exakt berechnet und in Abb. 5.45 violett dargestellt. a)
y2minusx-Richtungsfeld+eine+Loesung.ggb
b)
y2minusx-isoklinen.ggb
c)
y2minusx-isoklinen+Loesung.ggb
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| Abschnitt 5.6 Seite 400
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|
Abb. 5.36 Richtungsfeld von
\(y'=y^2-x=f(x,y)\).
a) Nullisokline, sowie farblich hervorgehobene Richtungsvektoren aus
anderen Isoklinen,
b) die grünen und die blauen Lösungskurven, werden exakt von der Grenzlinie getrennt, die in Abb. 5.46 violett eingetragen ist. In deren Nähe werden die Lösungen (von links nach rechts gesehen) gestreut.
Die blauen Lösungskurven haben alle einen Scheitel auf der Nullisokline, von dort an ist ihre Farbe hellblau und sie haben diese Nullisokline auch als als Asymptote. Deren Nähe werden die die hellblauen Lösungen gesammelt. a) siehe oben b)
y2minusx-isoklinen+Loesung.ggb
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| Wichtiger Hinweis für die Abbildungen 5.37 bis 5.41:
Beim Ändern der Schrittweite h werden oft falsche Graphen angezeigt. Mit Strg r muss man eine Neuberechnung erzwingen. | ||||||
| Abschnitt 5.6.1 Seite 401
|
|
Abb. 5.37 Eulerverfahren
für \(y'=y^2-x\).
Schrittweite ist \(h=0.5\), Anfangswerte sind \(y(0) = 0.7\), also ist \(A=P_0=(0,\,0.7)\). Es folgen \(P_1=(0.5,\,0.945), P_2=(1.0,\,1.142)\dots\) Ab etwa \(x=4\) ist die blaue Lösungskurve recht dicht an der (rot gepunkteten) Nullisokline. Wenn ein Eulerschritt diese nach unten überschreitet, wird der nächste Schritt nach oben gehen. Im Bild wechseln nun positive und negative Steigungen. Man beachte aber, dass die blaue Lösung rechts niemals wieder Steigung null haben wird, sie liegt stets über der Nullisokline. Das Eulervefahren "entgleist" hier.
y2minusx-Euler.ggb
Kleiner Trick: Es wird mit dem Schieberegler eigentlich \(n\) gesteuert und daraus dann \(h=2^{-n}\) bestimmt. |
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| Abschnitt 5.6.1 Seite 402
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Abb. 5.38 Eulerverfahren für
\(y'=y^2-x\).
Schrittweiten sind \(h=0.5,\ 0.25,\ 0.125\), Anfangswerte wieder
\(y(0) = 0.7\). Die schwarzen Balken dokumentieren die Halbierung
des globalen Fehlers an der Stelle 2 bei Halbierung der Schrittweite.
In der Datei (=vorige) ist der Fehlerbalken einzuschalten.
y2minusx-Euler.ggb
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| Abschnitt 5.6.2 Seite 405
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|
Abb. 5.39 Heunverfahren für
\(y'=y^2-x\) schrittweise und im ganzen Verlauf.
a) ist ein Ausschnitt aus c), und b) zeigt den in a) sichtbaren 4. Verfahrensschritt vergrößert im zweiten Grafikfenster von GeoGebra. Daraus sind \(P_3\), \(P_4\) und die Richtung nach \(P_4\) (orange) aus der Konstruktion in b) übertragen worden und demonstrieren die Korrektheit des geometrischen Verfahrens. Speziell b): Mit der in \(P_3\) gültigen (lila) Pfeilrichtung erreicht man im Abzissenabstand \(h=0.5\) den Zwischenpunkt \(Z\), in dem die durch den hellgrünen Vektor bzw. die grüne Gerade gezeigte Richtung gilt. Der Mittelwert der beiden Geradensteigungen ist hier geometrisch durch die durch \(M\) gemittelte Strecke und die blau-gestrichelte Gerade \(MZ\) visualisiert. Auf einer Parallelen zu ihr durch \(P_3\) erreicht man an der Abszisse von \(Z\) Punkt \(P_4\).
y2minusx-Heun.ggb
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| In c) ist ein Bild einer
"multifunktionalen" GeoGebra-Datei gezeigt.
Hier können Sie nicht nur die
Schrittweite \(h\) und den Start \(A\)
steuern, sondern mit \(\alpha\) mehrere der im Folgenden dargestellten Verfahren
auswählen. Hier gilt \(\alpha=1\) und \(A:\, y(0) = 0.7\). Vergleichen Sie mit dem
Eulerverfahren Abb. 5.37, das man mit \(\alpha=0\) erhält, und
mit dem modifizierten Eulerverfahren in Abb. 5.41, das
\(\alpha=0.5\) erfordert.
y2minusx-Heun-mit-alpha.ggb
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| Abschnitt 5.6.2 Seite 405
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Abb. 5.40 Heunverfahren für
\(y'=y^2-x\).
Schrittweiten sind \(h=1,\ 0.5,\ 0.25\). Drei Fehlerbalken sind
hervorgehoben und zeigen, dass sich der globale Fehler viertelt, wenn
die Schrittweite halbiert wird. Vergleichen Sie mit
Abb. 5.38.
In der Datei (=vorige) ist die Fehlergerade einzuschalten.
y2minusx-Heun-mit-alpha.ggb
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| Abschnitt 5.6.2.2 Seite 408
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y2minusx-Euler-modi.ggb
y2minusx-Euler-modi-mit-alpha.ggb
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Abb. 5.41 Modifiziertes Eulerverfahren
\(y'=y^2-x\) schrittweise und im gesamten Verlauf.
a) und b) Der Schritt von \(P_3=(1.5,0.964)\) nach \(P_4\) wird genau betrachtet. Zum Zwischenpunkt \(Z\) (violett) gelangt man mit einem Eulerschritt mit \(m_3=f(x_3,y_3)\). Der Hilfspunkt \(H\) auf der Hälfte der Strecke \(\overline{P_3 Z}\) ist \(H=(x_3+\frac{h}{2}, y_3+m_3\cdot\frac{h}{2})\). Dort hat das Richtungfeld die Steigung \(m_H=f(x_H,y_H)\) (hellblau). Mit dieser Steigung vollzieht man einen ganzen Eulerschritt und gelangt zu \(P_4=(x_3+h,y_3+m_H\cdot h)\). b) zeigt dieses Vorgehen in größerem Maßstab im zweiten Grafikfenster von GeoGebra. Die gelbe Gerade und \(P_4\) sind in das Hauptfenster a) übertragen worden. Man erkennt die Übereinstimmung. c) Gesamtverlauf mit Startpunkt \(A\colon\ y(0)=0.7\). Vergleichen Sie mit Abb. 5.37, Abb. 5.39 c) und Abb. 5.43 b). |
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| Abschnitt 5.6.3 Seite 410
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Abb. 5.42 Einsatz von
numerischer Integration für DGLn.
a) Riemann'sche Summe \(\to\) Eulerverfahren,
b) Mittenregel \(\to\) modifiziertes Eulerverfahren,
c) Trapezregel \(\to\) Heunverfahren,
d) Kepler'sche Regel \(\to\) ? Lesen Sie den
Text im Buch!
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| Abschnitt 5.6.4 Seite 411
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Abb. 5.43 Runge-Kutta-Verfahren.
a) Skizze eines Schrittes von \(P_3\) aus: Die Hilfspunkte werden in folgender Reihenfolge aufgesucht: Mit \(m_3\) (lila) einen halben Eulerschritt zu \(H\), dort findet man \(m_H\) (hellblau). Mit \(m_H\) einen halben Eulerschritt zu \(R\), dort findet man \(m_r\) (grün). Mit \(m_r\) einen ganzen Eulerschritt zu \(S\), dort findet man \(m_s\) (violett). Der Zielpunkt \(P_4{=}(x_4,y_4)\) wird mit einem ganzen Eulerschritt erreicht (rot), bei dem man \(m = \frac{1}{6}(m_3+2m_H+2m_R+m_S)\) verwendet.
b) Die Punkte des Runge-Kutta-Verfahrens liegen praktisch perfekt auf der Lösungskurve.
y2minusx-RungeKutta.ggb
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||||
| Abschnitt 5.6.4 Seite 411
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Abb. 5.44 Numerische DGL-Verfahren für
\(y'=y^2-x\) im Vergleich mit \(h=0.5\).
Der exakte Wert (blau) an der Stelle \(x=3\) ist \(y(3)=-1.47393\).
Das Runge-Kutta-Verfahren (rot) bringt: \(y(3)\approx -1.50044\), das ist ein
Fehler von nur \(1.4\%\).
Modifiziertes Eulerverfahren (ocker): \(y(3)\approx -1.3515\),
Heun (lila): \(y(3)\approx -1.1338\),
Euler (grün): \(y(3)\approx 0.9641\).
\(A\) ist beweglich.
y2minusx-alle-Vergleich-Pfeile.ggb
y2minusx-alle-Vergleich.ggb
| ||||
| Abschnitt 5.6.5 Seite 412
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|
Abb. 5.45 \(y'=y^2-x\) exakt gelöst.
eine Vielzahl von numerisch bestimmen Lösungen ist in Abb.5.35 und 5.36 dargestellt.
Lösung-y'=y2-x, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
|
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| Abschnitt 5.6.5 Seite 413
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Abb. 5.46 \(y'=y^2-x\) exakt
gelöst, aber numerisch ungenau. Wenn man statt der Airy-Funktionen die
ursprünglichen Besselfunktionen verwendet, gerät selbst Mathematica hier
offenbar in numerische Schwierigkeiten, wie man am rechten Bildrand deutlich
sieht. Auch ist diese "Lösungskurve" bei \(x=0\) plötzlich unstetig.
Tatsächlich wurden hier die Realteile der scheinbar komplexen Lösungen
gezeichnet, was aber am Ergebnis nichts ändern dürfte, da die Lösungen ja
eigentlich reell sind.
Lösung-y'=y2-x, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
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| Abschnitt 5.6.6.2 Seite 415
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Bei allen ist nur des Bild anzusehen.
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Abb. 5.47 Mehrschrittverfahren
veranschaulicht. a) explizites Mehrschrittverfahren,
der rote Punkt ergibt sich aus Formel 5.1,
b) implizites Mehrschrittverfahren, \(p_{n+1}\) wird mit
unbekanntem \(y_1\) aufgestellt,
c) leapfrog-Verfahren. Bei letzterem ist der Integrationsbereich
ein anderer, nämlich von \(x_{-1}\) bis \(x_1\). Das Integral wird durch die
Mittenregel approximiert, weshalb nur \(f(x_0,y_0)\) in die Rechnung eingeht.
DGLnumMehrschritt1.ggb
DGLnumMehrschritt2.ggb
DGLnumleapfrog3.ggb
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| Abschnitt 5.6.6.4 Seite 417
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Abb. 5.48 Das Eulerverfahren ist
instabil. Die DGL \(y' = -\lambda y\)
zu den Anfangswerten \(y(0) =1\) hat die exakte Lösung \(y(x) = {\rm e}^{-\lambda x}\).
Sie wird mit dem Eulerverfahren approximiert. Im Bild ist \(\lambda = 5\).
In a), b), c) sind die Schrittweiten
\(h=0.45,\ 0.4,\ 0.35\). Bei \(h>0.4\) wird das Verfahren instabil!
DGLnumEulerinstabil.ggb
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zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen
05 Numerik START und TIPPS
 Liste der Zusätze |
Erstellt: Dez.2020, Update |
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 Prof. Dr. Dörte Haftendorn
| Prof. Dr. Dieter Riebesehl
| Dipl.-Math. Dipl.-Ing. Hubert Dammer
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