IFS-Fraktale

Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen, Haftendorn, Riebesehl, Dammer, 
(auch in Mathematik sehen und verstehen, Haftendorn) Springer, Feb. 2021,  (Feb. 2019)  
Datei wald-am-See.nb zu Abschnitt 1.3.3.1 Seite 16, Abb. 1.9 und 1.10

Wald am See

Es soll jedesmal eine beliebige Abb. ausgewählt werden

wald=NestList[({{0.6#[[1]]+2,0.6 #[[2]]},{-#[[2]],0.6#[[1]]}}[[RandomInteger[1]+1]]&),
{0,0},100000];waldbild=Graphics[{RGBColor[0,0.6,0,0.7],PointSize[0.004],Point[wald]},  Axes->True]

Folge der Bilder

Quit

h=2; q=0.6; A=(({{q, 0}, {0, q}}));G=(({{0, -1}, {q, 0}}));

{h,q,A,G}

Versuche , als Bild wieder einen Punkt zu bekommen

f[{x_,y_}]:=A.(({{x}, {y}}))+(({{2}, {0}})); f[x,y]

Flatten[(A.(({{x}, {y}}))+(({{2}, {0}})))[[1]],(A.(({{x}, {y}}))+(({{2}, {0}})))[[2]]]

g[{x_,y_}]:=G.(({{x}, {y}})); g[x,y]

jetzt von Hand

f[x_,y_]:={2+0.6` x,0.6` y};f[x,y]

g[x_,y_]:={-y,0.6` x};g[x,y]

a=h*(1/(1-q))

tr={{a,0},{0,q a},{-q a,0},{0,-q^2 a}}

erste Abbildung

trf=Map[f,tr,1]//Evaluate
trg=Map[g,tr,1]//Evaluate

tr

null=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Opacity[0.9],Polygon[tr]},Axes->True,AxesStyle->Directive[Black,12]]

eins=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Opacity[1], PointSize[0.03],
Point[tr], RGBColor[1,0.5,0],Opacity[0.7],Polygon[trf],
RGBColor[0,0,1],Opacity[0.7],Polygon[trg]},Axes->True,
AxesStyle->Directive[Black,12]]

zweite Abbildung

trff=Map[f,Map[f,tr]]
trgf=Map[f,Map[g,tr]]
trfg=Map[g,Map[f,tr]]
trgg=Map[g,Map[g,tr]]

zwei=Graphics[{ RGBColor[1,0,0],Opacity[1], PointSize[0.03],
Point[tr],
RGBColor[1,0.5,0],Opacity[0.7],Polygon[trff],
RGBColor[0,0,1],Opacity[0.7],Polygon[trgg],
 RGBColor[1,0.5,0],Opacity[0.3],Polygon[trfg],
RGBColor[0,0,1],Opacity[0.3],Polygon[trgf]}
,Axes->True,AxesStyle->Directive[Black,12]]

Show[{zwei,waldbild}]

Für Dimensionsgedanken

Variante mit gleichem Stauchfaktor

waldd1=NestList[({{0.6#[[1]]+2,0.6 #[[2]]},{-0.6#[[2]],0.6#[[1]]}}[[RandomInteger[1]+1]]&),
{0,0},100000];waldbild=Graphics[{RGBColor[0,0.6,0,0.7],PointSize[0.004],Point[wald]},  Axes->True]

Dimension  z Bausteine k  zentrischer Streckfaktor

Zwei gleiche Bausteine, jeder wird mit zentr. Steckfaktor (5/3) vergrößert.

d= ((Log[2])/(Log[(5/3)]))

%//N

Dimension  beide nur Achsenstreckung

waldd2=NestList[({{0.6#[[1]]+2,1#[[2]]},{-#[[2]],0.6#[[1]]}}[[RandomInteger[1]+1]]&),
{0,0},100000];waldbild=Graphics[{RGBColor[0.6,0.6,0,0.7],PointSize[0.004],Point[wald]},  Axes->True]

Beide haben eine  Achsenstreckung von (5/3),  aber es  sind nicht, wie 
bei der Definition gefordert,  z=2 GLEICHE Bausteine.
Darum lässt sich die fraktale Dimension so einfach nicht bestimmen.