Reihen Umordnen

Riemann’scher Umordnungssatz: Nur in absolut-konvergenten Reihen darf man umordnen. 
Anderenfalls kann  in der umgeordneten Reihe jeder Wert Grenzwert sein.

Reihe für ln2 umordnen zur Summe 2ln2:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<2Log[2],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r;

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten;

dlr=Most[lr]-Rest[lr];

dlr//Union

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe (1/2)ln2:

Dies ist die einzige Umordnung, für die ich einen Beweis kenne.

k=1000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<(1/2)Log[2],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n>0]//Flatten

dlr=Most[lr]-Rest[lr]//Union

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe (3/2)ln2:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<(3/2)Log[2],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten;

dlr=Most[lr]-Rest[lr]

dlr//Union

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe 3ln2:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<3Log[2],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten;

dlr=Most[lr]-Rest[lr];

dlr//Union

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe ln3:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<1Log[3],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten

dlr=Most[lr]-Rest[lr]

dlr//Union

llr=Position[dlr,-4]

dlr=Most[llr]-Rest[llr]//Union

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe ln5:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<1Log[5],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten;

dlr=Most[lr]-Rest[lr]

dlr//Union

llr=Position[dlr,-8]//Flatten

ddlr=Most[llr]-Rest[llr]//Union

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe ln6:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<1Log[6],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten;

dlr=Most[lr]-Rest[lr]

dlr//Union

llr=Position[dlr,-10]//Flatten

ddlr=Most[llr]-Rest[llr]//Flatten

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Reihe für ln2 umordnen zur Summe ln7:

k=50000;

g=Table[(1/(2n)),{n,k}];

u=Table[(1/(2n-1)),{n,k}];

s=0;i=j=1;r={};

While[i<k∧j<k,
If[s<1Log[7],s+=u[[i]];AppendTo[r,((u[[i]])^(-1))];i++,
s-=g[[j]];AppendTo[r,-((g[[j]])^(-1))];j++]
]

r

lr=Position[r,n_/;n<0]//Flatten;

dlr=Most[lr]-Rest[lr]

dlr//Union

llr=Position[dlr,-14]//Flatten

ddlr=Most[llr]-Rest[llr]//Flatten

ListPlot[Accumulate[1/r]//N,Joined->True,PlotRange->All,AxesOrigin->{0,0}]

Beweis für alle Umordnungen:

Alle Umordnungen lassen sich durch lokale Vertauschungen, d.h. wenige Permutationen kurzer endlicher Teilfolgen, auf den Fall zurückführen, dass a positive Summanden von b negativen Summanden gefolgt werden, unendlich oft wiederholt. 
Einfache Abschätzungen mit (∑_(n=1)^N)(1/n)≃ln N +γ ergeben dann für den Summenwert
ln(2(Sqrt[(a/b)])). Das deckt alle Fälle oben ab.

Die Umordnungen, die sich durch das greedy-Verfahren, wie oben programmiert, ergeben, sehen wie folgt aus (kann man aus obigem mit Sorgfalt herauslesen):

0 = (1+ 4- )^∞, 
(1/2)ln(2) = (1+ 2- )^∞, 
(3/2)ln(2) = (2+ 1- )^∞, 
2 ln(2) = 3+ 1- (4+ 1- )^∞, 
ln(3) = 2+ 1- ((2+ 1-)^3+ 1-)^∞, 
3 ln2 = 9+ 1- (16+ 1- )^∞ 
ln5  = 4+ 1- ((6+ 1- )^3 7+ 1- )^∞,
ln6  = 6+ 1- 8+ 1- (9+ 1- )^∞,
ln7  = 7+ 1- (12+ 1- )^2 13+ 1- (12+ 1- )^4 13+ 1- ((12+ 1- )^3 13+ 1- )^∞.
Die Notation gibt an, wieviele positive (+) und wieviele negative 
(-) Glieder aufeinanderfolgen, Klammern mit Exponenten sind Gruppen, 
die sich wiederholen.
Aus den abschließenden Klammern (((...))^∞) kann man die Werte von a und b entnehmen und die Korrekheit obiger Formel nachprüfen.