Trapezsumme

Die Trapeze in Grafik und Grafik2 sind
ungefähr gleich: die schmaleren x-Breiten
werden durch die gestreckte Höhe genau 
ausgeglichen.

Die Transformation x = f(u) kann durch
Verschieben der blauen Punkte als 
Urbilder von 1, 1.5, ..., 3.5, 4 frei gewählt
werden. Als Transformationsfunktion
x = f(u) wird das Interpolationspolynom
genommen. 

Die Anzahl der Trapeze variabel zu halten
wäre zu aufwändig gewesen.

Streckfaktor f'(u)

transformierte Funktion 
ohne Streckfaktor

h(u)

\ \;x=f(u)

{\rm d}x=f'(u)\ {\rm d}u

★=\int_{u(a)}^{u(b)}h(u)\cdot f'(u)\ {\rm d}u

\int_{a}^{b}g(x)\ {\rm d}x\ =★

{\rm integrand}(u)=h(u)\cdot f'(u)

g(x) = 2 - x^(2) / 8
n = 6
A = Point(xAxis)
B = Point(xAxis)
C = Point(xAxis)
D = Point(xAxis)
E = Point(xAxis)
F = Point(xAxis)
G = Point(xAxis)
f = Polynomial({(x(A), 1), (x(B), 1.5), (x(C), 2), (x(D), 2.5), (x(E), 3), (x(F), 3.5), (x(G), 4)})
f'(x) = f'(x)
integrand(x) = If[x > 1, (g(f(x)) * f'(x))]
l5: {x(A), x(B), x(C), x(D), x(E), x(F), x(G)}
a = TrapezoidalSum(g(x), 1, 4, n)
l3 = Sequence(integrand(Element[l5, i]), i, 1, n + 1)
Integralwert = Integral(g, 1, 4)
Trapeze = Sequence(Polygon[(Element[l5, i], 0), (Element[l5, i + 1], 0), (Element[l5, i + 1], Element[l3, i + 1]), (Element[l5, i], Element[l3, i]), (Element[l5, i], 0)], i, 1, n)
b = Sum(Trapeze)
Text1: "Trapezsumme = " + b + ""
e = Integral(integrand, x(A), x(G))
h(x) = g(f(x))
l2: {(x(A), 1), (x(B), 1.5), (x(C), 2), (x(D), 2.5), (x(E), 3), (x(F), 3.5), (x(G), 4)}
δ: 1 / 2
l1 = Sequence(1 + (δ * i), i, 0, n)
Text2: "{\rm Originalintegrand}\ g(x)=" + (LaTeX[g]) + ""
Text4: "Integralwert = " + e + ""
H = (0.5, 2.5)
I = (1.5213139401082996, 2.5049832580778837)
J = (0.49517109248175795, 2.9970799932688976)