Höhere Mathematik sehen und verstehen

Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7
ISBN 978-3-662-62577-4 e-book
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer
Kapitel 02 Lineare Algebra

2.1 Algebra und Grundlagen der linearen Algebra.
Abschnitt
2.1.1.1
Seite 131
Abb. 2.1 Algebraische Strukturen und ihr Aufbau aus Halbgruppen und Gruppen, Halbringen, Ringen und Körpern. Lesehilfe oben im Text.
In Violett ist schon der Weg zum Vektorraum aufgenommen. Lesehilfe: Vektoren bilden eine kommutative Gruppe \((V,+)\), und die skalare Multiplikation koppelt sie mit einem Körper \((K,+,\cdot)\). Diese Struktur heißt (Vektorraum \(V,+,\cdot)\) über einem Körper \((K,+,\cdot)\).    
ALLE BILDER (außer den Icons) erscheinen beim Anklicken in neuem Tab
in dreifacher Göße.
Abschnitt
2.1.3.1
Seite 133

Anmerkung: Für das Buch haben wir die Verktoren mit Pfeil und als Formeln geschrieben. GeoGebra selbst tut das nicht. Dafür haben Sie in dieser Datei aber Gelegenheit die beiden Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) zu verändern, wobei sich diese Beschriftungen mit bewegen. Das führt Ihnen eindrucksvoll die Vektorraumaxiome vor Augen.
Abb. 2.2 Gruppenaxiome für \((V,+)\). a) Man darf \(\vec v\) in passender Lage wählen. Hängt man \(\vec v\) hinter \( \vec u\), erhält man \(\vec u + \vec v\). b) Das Parallelogramm zeigt, dass die Addition kommutativ ist. c) Die Differenz \(\vec u-\vec v\) erhält man bei gemeinsamem Start von \(\vec u\) und \(\vec v\) als Vektor von der Spitze von \(\vec v\) zur Spitze von \(\vec u.\) Gestrichelt ist auch die Definition der Differenz gezeigt. d) Die Addition ist assoziativ, es ist egal, ob die Klammer vorn oder hinten ist, man braucht sie daher nicht zu schreiben. Dieses Bild kann man auch räumlich sehen, wenn sich z.B. \(\vec w\) aus der Ebene von \(\vec u\) und \(\vec v\) erhebt. Alle Gruppenaxiome sind in \(\mathbb R^2\) und \(\mathbb R^3\) erfüllt.
vr-axiome.ggb
Abschnitt
2.1.3.1
Seite 134
Abb. 2.3 Axiome für die skalare Multiplikation für \((V,+)\). a) Man kann mit jedem reellen Faktor \(\lambda\) strecken, hier ist \(\lambda=3\). Ein negatives \( \lambda\) bewirkt eine Umkehr in die Gegenrichtung. b) Das erste Distributivgesetz ist sehr naheliegend, man kann die Vielfachen von \(\vec v\) beliebig aufteilen. c) Das zweite Distributivgesetz ist eine vektorielle Version des zweiten Strahlensatzes.
vr-skalar.ggb
Abschnitt
2.1.3.3
Seite 136
Abb. 2.4 Legende Vektorpfeile und \(n\)-Tupel. a) Die Addition der Komponenten passt zur Summe der Vektorpfeile. b) Die Streckung der Komponenten passt zur Streckung des Vektorpfeils (Strahlensatz).
vecpfeile-tupel.ggb
Abschnitt
2.1.6.1
Seite 143
Abb. 2.5 Cosinussatz und seine Wirkung. a) zeigt ein Dreieck, für das die rote Seite \(c\) mit dem Cosinussatz berechnet werden kann. b) zeigt das Dreieck in der vektoriellen Auffassung, in der der rote Vektor als Differenz \(\vec{u}-\vec{v}\) zu deuten ist. d) bezieht sich auf den Fall, dass der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) eingeschlossene Winkel, also \(\angle(\vec{u}, \vec{v})\), den man standardmäßig in mathematisch positivem Sinn misst, überstumpf wird. c) begründet, warum dies keine Wirkung auf das Skalarprodukt hat.
cosinussatz-geo.ggb
Abschnitt
2.1.6.1
Seite 144
Abb. 2.6 Die Projektion von \(\vec{p}\) auf \(\vec{v}\) ist \(\vec{p}_{\vec{v}}=\frac{\langle \vec{p},\vec{v}\,\rangle} {\langle \vec{v},\vec{v}\,\rangle} \,\vec{v}\)
Beweis: Geometrisch gilt \(||\vec p_{\vec v}||=||\vec p||\cos\alpha\)
\[ \vec p_{\vec v}=||\vec p_{\vec v}||\frac{\vec v}{||\vec v||} =\frac{||\vec p_{\vec v}||\,||\vec v||}{||\vec v||^2}\vec v =\frac{||\vec p||\,||\vec v||\,\cos\alpha}{||\vec v||^2}\vec v =\frac{\langle \vec p,\vec v\,\rangle}{\langle \vec v,\vec v\,\rangle} \vec v \]

Abschnitt
2.1.6.2
Seite 144
Abb. 2.7 Motivation des Skalarproduktes in Funktionenräumen. a) Vektoren aus den Wertetabellen, \(f\) grün in y-Richtung, \(g\) blau in z-Richtung, b) Rechtecke für die Produkte an den \(x\)-Stellen, c) gewichtete Produkte als Quadervolumina, d) das Integral als Grenzwert ist ein sinnvolles Skalarprodukt von \(f\) und \(g\).
fkt-skalar, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen
Abschnitt
2.1.7.2
Seite 148
Abb. 2.8 Schwerpunkt im Dreieck.
Ein Dreieck wird aufgespannt von zwei linear unabhängigen Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Ziel ist es zunächst, mit ihnen auf zwei verschiedenen Wegen ohne Verwendung von \(\overrightarrow{BD}\) von \(C\) zum Punkt \(S\) zu gelangen.
Weg 1: \(\overrightarrow{CS}= t(\overrightarrow{CE})=t \cdot(\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}))\) \(=\frac{t}{2}\cdot(\vec{a}+ \vec{b})\)
Weg 2: \(\overrightarrow{CS}=\vec a+r\overrightarrow{AF}= \vec a+r(\frac{1}{2}\vec b-\vec a)\) mit \(t,r\in\mathbb R\). Zusammen und sortiert und \((\cdot 2)\) entsteht die Gleichung \((2-2r-t)\cdot\vec{a}=(t-r)\cdot\vec{b}\).
Da \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) linear unabhängig sind, folgt das Gleichungssystem \(2-2r-t=0\) und \(t-r=0\).
schwerpunktsatz.ggb

2.2 Analytische Geometrie
Abschnitt
2.2.1
Seite 149
Abb. 2.9 Ortsvektoren (schwarz) versus Vektoren.
\(\vec{u}\) (rot), \(\vec{v}\) (blau). Für das Parallelogramm aus den Punkten \(A,\,B,\,C\) und \(D\) gilt \( \vec{u}{:=}\vec{b}{-}\vec{a}{=}\vec{c}{-}\vec{d}\) und \(\vec{v}{:=}\vec{c}{-}\vec{b}{=} \vec{d}{-}\vec{a}\). Die Ortsvektoren bilden den Punktraum \(\mathbb R^m\). Durch die komponentenweise Differenz von Punkten entstehen als Pfeilklassen die Vektoren des Vektorraumes \(\mathbb R^m\). Mit Ortsvektoren rechnet man wie mit allen Vektoren. Im Kontext kann man eigentlich immer Ortsvektoren und verschiebliche Vektoren auseinanderhalten.
parallelogramm.ggb
Abschnitt
2.2.1.1
Seite 149
Abb. 2.10 Affine Unterräume, die Punkt \(A\) enthalten, entstehen als Nebenklassen \(U+\vec a\) aus Unter(vektor)räumen \(U\), die ja den Ursprung enthalten. \(\vec a \in U\) ist erlaubt.
parallelogramm.ggb
nebenklasse.ggb
Abschnitt
2.2.2
Seite 152
Abb. 2.11 Ebenengleichung mit Normalenvektor: Die Ebene ist definiert durch den Aufpunkt \(A\) und \(\vec n\). Ortsvektoren sind \(\vec{a}\) (blau) und für einen Punkt \(P\) auf der Ebene \(\vec{p}\) (orange). Damit ist in der Ebene der Differenzvektor \(\vec{p}-\vec{a}\) (rot) definiert. Vektor \(\vec{n}\) (grün) ist senkrecht dazu. Ersichtlich sind die Projektionen auf \(\vec n\) gleich: \(\vec p_{\vec n}=\vec a_{\vec n}\), s.\,u. Nach Gleichung (pr) gilt \(\vec{a}\cdot \vec{n}=\vec{p}\cdot \vec{n} \Longleftrightarrow \vec{n}\cdot\bigl( \vec{p}-\vec{a}\bigr)=0 \).
hesse-ebene.ggb
Abschnitt
2.2.3
Seite 154
Abb. 2.12 Die Hesse'sche Normalform der Geradengleichung: Die Gerade ist definiert durch den Aufpunkt \(A\) und \(\vec n\) als Lot von \(A\) auf die Normalenrichtung, die kleine (grüne) Zacke deutet den rechten Winkel an. Für einen beliebigen Punkt \(P\) mit Ortsvektor \(\vec{p}\) (orange) auf der Geraden gilt durch diesen Aufbau \(\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec a)=0\). Wie in Abb. 2.11 sind die Projektionen aller \(\vec p\) aus der Geraden und die Projektion von \(\vec a\) auf die Normalenrichtung stets gleich.
hesse-gerade.ggb
Abschnitt
2.2.4
Seite 155
Abb. 2.13 Ebene in Hesse'scher Normalform. Sie ist gezeigt in drei Stellungen. Sie können die Ebene drehen. Der Aufpunkt \(A\) mit Ortsvektor \(\vec{a}\) (blau) und Punkt \(P\) auf der Ebene mit Ortsvektor \(\vec{p}\) (orange) definieren \(\vec{p}-\vec{a}\) (rot), darauf steht \(\vec{n}\) (grün) senkrecht. Das mit feinen Punkten gezeigte Dreieck auf der Ebene bestätigt wieder die Übereinstimmung der Projektionen aller Ebenenpunkte auf den Normalenvektor.
hesse-ebene.ggb
Abschnitt
2.2.4.1
Seite 156
Abb. 2.14 Ebene in Parameterdarstellung. Die Ebene, der Ortsvektor \(\vec{a}\) und der 1. Richtungsvektor \(\vec{v}\) mit Spitze in \(S\) sind in allen Bildern dieselben. Die Spitze \(Q\) des 2. Richtungsvektors \(\vec{w}\) wird in 24 Schritten längs einer Ellipse auf der Ebene gedreht. In c) und e) wird keine Ebene angezeigt, weil \(\vec{w}\) und \(\vec{v}\) parallel sind und die Ebene gar nicht definiert ist. Als Repräsentant beliebiger Ebenenpunkte ist stets \(\vec{p}=\vec{a}+0.3 \,\vec{v}+2\,\vec{w}\) eingetragen.
hesse-ebene-param.ggb
Abschnitt
2.2.5
Seite 157
Abb. 2.15 Kirchturmspitze als Pyramide. a) Es geht um den grünen Winkel \(\alpha\) und den violetten Winkel \(\delta\).
b) zeigt den Grundriss und eine Konstruktion, die das aufrechte Dreieck \(DE'E\) in die Grundebene umklappt. Dort kann man den gesuchten Winkel \(\alpha\), unter dem Namen \(\beta\), messen.
kirchturmspitze.ggb
Abschnitt
2.2.5
Seite 159
Abb. 2.16 3D- und 4D-Würfel. a) oben: 3D-Würfel mit Raumdiagonale, a) unten: definierende Punkte, gelb 3D, mit grün 4D, b) 4D-Würfel: mit allen Ecken und Kanten, nach 3D projiziert wie im Text beschrieben, das 3D-Bild ist dann in GeoGebra realisiert. Es ist zum freien Drehen und auch anders Projizieren eingerichtet. Eine weitere Version ist Abb. 2.17, c) zeigt Diagonalen, die für die Berechnung (siehe unten) der Winkel eingeführt sind.
wuerfel3d-solo.ggb
wuerfel4d.ggb
wuerfel4d-experi.ggb
Abschnitt
2.2.5
Seite 160
Abb. 2.17 Hyperwürfel in anderer Projektion. Die \(3{{\times}}4\)--Projektionsmatrix hat in jeder Spalte das 3D-Bild eines der vier Einheitsvektoren. Nur für das Bild von \(\vec{e}_4{=}(0,0,0,1)^{\rm T}\) konnte nicht so etwas Einfaches gewählt werden. Es ist mit variablen Zahlen \(\vec{e}_4\,'{=}(a,b,c)^{\rm T}\) gesetzt. Es ist also \(P=\left(\begin{matrix}1&0&0&a\\ 0&1&0&b\\ 0&0&1&c \end{matrix}\right)\); im Bild ist \( a=1.6,\ b=0.2,\ c=1.1\). Der 4D-Würfel heißt auch Tesserakt, siehe Wikipedia.
Hyperkubus.ggb
Hyperkubus.nb, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

2.3 Matrizen und Determinanten: Grundverständnis
Abschnitt
2.3.2
Seite 163
Abb. 2.18 Tägliche Reisemöglichkeiten von den Städten zu den Häfen und dann zu den Inseln werden gezeigt durch den Übergangsgraphen und die Matrizen: \[L=\begin{array}{c|cccc|} &D & E & F & G\cr \hline A & 1 & 2 & 0 & 3\cr B & 0 & 1 & 3 & 2\cr C & 0 & 0 & 2 & 1\cr \hline \end{array},\; W=\begin{array}{c|cc|} &H & I\cr \hline D & 2 & 1\cr E & 3 & 0\cr F & 1 & 2\cr G & 0 & 2\cr \hline \end{array} \]
gozintoHafen2.ggb
Abschnitt
2.3.2
Seite 164
Abb. 2.19 Matrizen-Multiplikation. Obere Reihe: Beim Produkt einer \(3{\times} 2\)-Matrix \(A\) mit einer \(2{\times} 5\)-Matrix \( B\) ergibt sich eine \(3{\times} 5\)-Matrix \(C\). Hervorgehoben ist: (Zeile 2)\(\cdot \)(Spalte 4) \(=\)Element \(c_{24}\). Die Strategie ist in der Legende zu Abb. 2.20 fett hervorgehoben.
Untere Reihe: Einen \(1{\times} n\)-Zeilenvektor kann man mit einem \(n {\times}1\)-Spaltenvektor multiplizieren, es ergibt sich eine \(1{\times} 1\)-Matrix. Manchmal wird gesagt, sie sei ein Skalar. Sie wirkt aber von links nur auf Zeilenvektoren, von rechts auf Spaltenvektoren "wie" ein Skalar. Es ist auch "Spalte mal Zeile" möglich, ergibt aber eine \(n{\times} n\)-Matrix.
matrix-mult.ggb
Abschnitt
2.3.2
Seite 164
Abb. 2.20 Matrizen-Multiplikation mit dem Schema von Falk möchten wir hier auch vorstellen. Für Von-Hand-Rechnungen in der Mathematik gibt es meist mehrere Schreibstrategien, jeder bevorzugt eine "persönliche", abhängig von Lernbiografie und kulturellem Umfeld. Bei beiden Schreibarten ist für jede Zeile \(i\) folgendes zu tun: Man bilde das Skalarprodukt aus Zeile \(\vec{z}_i\) (senkrecht gedacht) mit Spalte \(\vec{s}_j\) von \(j=1\) bis \(j=k\). So erhält man die ganze Zeile \(i\) der Produktmatrix.
matrix-mult-falk.ggb

2.4 LGS, Determinanten, Matrizen: Weiterführung
Abschnitt
2.4.1
Seite 170
Abb. 2.21 Der Schnitt von drei Ebenen. a) zeigt die Ebenen \(E_1\) (blau), \(E_2\) (grün), \(E_4\) (rot), die Gerade \(E_1\cap E_2\) (hellgrün). Visualisierung der Zeilen 1, 2, 5 der Rechnung 2.4.1.1. b) zeigt das Entsprechende für \(E_5=E_1+E_3\) (hellblau) und die Zeilen 1, 3, 7. Weiteres und c) im Text.
Für ist vor allem das Bild wichtig. ebenen-hand-a.ggb
ebenen-hand-b.ggb
ebenen-hand-c.ggb
Abschnitt
2.4.1.2
Seite 172
Abb. 2.22 Beim Schnitt von drei Ebenen treten verschiedene Fälle auf. Die blaue und die grüne Ebene sind \(E_1\) und \(E_2\) aus der obigen Rechnung und der vorigen Abb. 2.21. a) zeigt das Beispiel aus der Rechnung mit dem Schnittpunkt der drei Ebenen. In b) enthält die 3. Ebene auch die Schnittgerade der beiden ersten, so dass diese Gerade die Lösungsmenge des Schnittproblems ist. In c) und d) schneiden sich \(E_1\) und \(E_3\) in einer getrennt liegenden Parallelen zu der ersten Schnittgeraden. Dadurch ist die Lösungsmenge des Schnittproblems leer.
Gleichungssystem im R3-a.ggb
Gleichungssystem im R3-b.ggb
Gleichungssystem im R3-c.ggb
Gleichungssystem im R3-d.ggb
Abschnitt
2.4.2
Seite 173
Abb. 2.23 Schnitt von zwei Geraden. \[ \begin{array}{rrcrcrcrl} 1:&\mbox{Gerade } g_1&\quad& x&+&2y&=& 6&\mbox{blaue Gerade}\\ 2:&\mbox{Gerade } g_2&\quad& -x&+&3y&=&-1&\mbox{grüne Gerade}\\ \hline 3:&g_1+g_2=g_3 &\quad& 0x&+&5y&=& 5&\mbox{waagerechte,}\\ 4:&g_3' &\quad& && y&=& 1&\mbox{rote Gerade}\\ \hline 8:&Z 4\rightarrow Z 1&\quad& x&+&2&=& 6&\\ 9:& &\quad& & &x&=& 4&\mbox{also } S=(4,\,1) \end{array} \]
geradenschnitt.ggb
Abschnitt
2.4.2
Seite 173
Abb. 2.24 Schnitt von zwei Geraden. \[ \begin{array}{rrcrcr} g_1*:& \frac{1}{2}x&+&y&=& 4\\ g_2:& -x&+&6y&=&0\\ \hline g_3:& -4x&+&0y&=&-24\\ g_3':& x& & &=& 6\\ \hline Z 1& 3&+& y&=& 4\\ & & & y&=& 1 \end{array} \]
geradenschnitt-dreh-neu.ggb
Abschnitt
2.4.3
Seite 175
Abb. 2.25 Schematische erweiterte Matrizen zeigen die im Satz genannten Fälle. Grüne Felder dürfen nicht die Null enthalten, graue können beliebig gefüllt sein. 1) leere Lösungsmenge: 1a) und 1b) zeigen andere Verteilungen der Nullen, auch hier ist die Lösungsmenge leer, dabei zeigt 1b) eine Matrix mit Rang 3 und der Rang der erweiterten Matrix ist 4. 2) bedeutet unendlich viele Lösungen, Lösungsraum ist eine Gerade, bei 3) ist ein Punkt eindeutige Lösung.
Dieses Bild existiert nur als Powerpoint-Datei: GaussRangBilder.pptx
Abschnitt
2.4.4
Seite 177
Abb. 2.26 Schnittproblem für zwei Geraden. Im homogenen LGS können nur zwei Fälle (zwei Bilder links) vorkommen: entweder die Geraden schneiden sich im Ursprung oder sie fallen als Ursprungsgeraden aufeinander. Im inhomogenen System kann es einen Schnittpunkt \(P_0\) geben, dessen Ortsvektor beide Gleichungen erfüllt, die in \(A\vec{p}=\vec{b}\) zusammengefasst sind. Die Geraden können aufeinander fallen, d.h. jeder Geradenpunkt \(P_0\) erfüllt beide Gleichungen, oder die Geraden liegen parallel und getrennt, kein Punkt erfüllt beide Gleichungen. Außer in diesem Fall kann man sich vorstellen, die Lösungsmenge \(\mathbb L_A\) würde aus dem Ursprung heraus an einen geeigneten Punkt \(P_0\) verschoben.
Abschnitt
2.4.5
Seite 178
Abb. 2.27 Determinante einer Matrix \(A\) nach einer Spalte entwickeln, beschrieben im Text. Die grüne \(j\)-Spalte ist fest gewählt. Die rote Zeile nimmt jede Lage \(i={1, \dots, n}\) genau einmal an. Die Adjunkte oder auch adjungierte Matrix \(A_{ij}\) zu \(a_{ij}\) entsteht dabei durch Streichung der Zeile \(i\) und der Spalte \(j\) von \(A\). Es ist hier durch Farben gezeigt, wie die \(A_{ij}\) entstehen.
det-entwickeln.ggb
Abschnitt
2.4.5
Seite 180
Abb. 2.28 Tausch der Spalten \(j\) und \(j'=j+1\): Sowohl vor dem Tausch als auch nachher entwickeln wir nach der grünen Spalte mit dem (ursprünglichen) Namen \(j\). Dabei bleiben alle Adjunkten genau wie vorher, die Faktoren ebenso, aber deren Vorzeichen ändern sich alle.
Abschnitt
2.4.6
Seite 180
Abb. 2.29 Die Cramer'sche Regel gibt für reguläre \(n{\times} n\)-Matrizen die Komponenten des Lösungspunktes explizit an. Für \(x_j\) ist die \(j\)-te Spalte von \(A\) durch die rechte Seite \(\vec b\) zu ersetzen und von der so entstandenen Matrix ist die Determinante zu bilden.
cramerscheRegel-nurBild.ggb
Abschnitt
2.4.7
Seite 182
Abb. 2.30 Die Determinante liefert orientierte Flächen. Es ist hier \(\vec{a}=\overrightarrow{OA}\) und \(\vec{b}=\overrightarrow{OB}\).
a) Der Winkel zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist mathematisch positiv orientiert. Darum ist die Determinante \(|\vec{a}\, \vec{b}|\) (grün) ebenfalls positiv. In der verwendeten GeoGebra-Datei können Sie an \(A\) und \(B\) beliebig ziehen, die hervorgehobene Parallelogrammfläche ändert ihre Farbe, wenn Sie, wie in b), eine Stellung erzeugen, in der die Determinante negativ (rot) wird. Hier ist tatsächlich der Winkel \(\angle(AOB)\) mathematisch negativ. Die Formel in c) bringt es auf den Punkt: Das Vertauschen zweier Vektoren ändert das Vorzeichen der Determinante.
determinante-orientiert.ggb
Abschnitt
2.4.7
Seite 182
Abb. 2.31 Die Determinante berechnet Fläche und Volumen. a) Die Determinante \(\det(\vec{a},\vec{b})=\left|\begin{smallmatrix}a_x&b_x\\a_y&b_y\\\end{smallmatrix}\right|\) berechnet den Flächeninhalt des von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms.
b) Das von drei linear unabhängigen Vektoren \(\vec{a},\,\vec{b}, \,\vec{c}\) aufgespannte (i.A. schiefe) Prisma nennt man einen Spat oder ein Parallel-Epiped. Sein Volumen wird von der Determinante \(\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\) berechnet. c) zeigt denselben Spat. Dieser Spat hat nur zwei Rechtecke als Seiten, die anderen sind "echte" Parallelogramme. Dennoch meint man, einen Quader zu sehen.
det-flaeche.ggb
spat.ggb
Abschnitt
2.4.7.1
Seite 183
Abb. 2.32 Siebeneck mit Pyramide und Prisma. a) In der xy-Ebene ist ein Siebeneck definiert und ein beliebiger Punkt \(Z\). Näheres steht im Text. b) Mit einer variablen Höhe (violett) ist \(S\) über \(Z\) platziert. Zum Zeichnen der Pyramide in GeoGebra ist das Siebeneck und \(S\) zu wählen, der von GeoGebra angegebene Wert des Volumens ist \(\frac{1}{3}\mbox{Grundfläche}\cdot\mbox{Höhe}\), wie es sich gehört. c) Auch für das Prisma ist das Volumen natürlich formelgemäß ausgerechnet.
siebeneck-pyramide.ggb
Abschnitt
2.4.8
Seite 184
Abb. 2.33 Kreuzprodukt und Spatprodukt. a) Die Norm des Kreuzproduktes ist die Fläche des von \(\vec{a}\) und \( \vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms. b) Das Kreuzprodukt \(\vec{a} {\times}\vec{b}\) steht auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) senkrecht und hat die in a) berechnete Fläche als Länge. Es ist so orientiert, dass \(\vec{a},\,\vec{b}, \,\vec{a}{\times}\vec{b}\) ein Rechtssystem ist. c) Bildet ein dritter Vektor \(\vec{c}\) mit dem genannten Parallelogramm einen Spat, dann ergibt sich durch Projektion von \(\vec{c}\) auf das Kreuzprodukt die Höhe und mit ihr nach Satz 2.16 2.) das Volumen \(V=\langle\vec{a}{\times}\vec{b},\vec{c}\,\rangle\). Das so gebildete Skalarprodukt heißt auch Spatprodukt.
cross-pur.ggb
cross-spat.ggb

2.5 Lineare Abbildungen und Matrizen
Abschnitt
2.5.1
Seite 188
Abb. 2.34 Lineare Abbildungen des \(\mathbb R^2\) auf sich. Alle lassen den Ursprung fest. a) und b) Drehungen um den Ursprung, c) Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, d) Zentrische Streckung vom Ursprung aus, e) Scherung mit einer Ursprungsgeraden als Scherachse, hier der x-Achse, f) Scherung mit nachfolgender Achsenstreckung. Die Matrizen sind unten genannt.
lineareabb-2.34ab.ggb
Abschnitt
2.5.1.5
Seite 191
Abb. 2.35 Axonometrische und isometrische Darstellung und Schattenwurf. In allen drei Bildern handelt es sich um denselben Körper, einen Würfel mit aufgesetzter Dreieckspyramide. a) zeigt (fast) die standardmäßige Kavalierperspektive (siehe auch im Text), b) demonstriert die isometrische Darstellung, bei der die Bilder der Achsen im \(120^{\circ}\)-Winkel stehen und in gleichem Maße verkürzt werden. c) zeigt den Schatten dieses Körpers in parallelem Licht, z.B. Sonnenlicht. Die Rechnung finden Sie im Text.
lineareAbbKavalierIso.ggb
lineareabb-schatten.ggb
Abschnitt
2.5.2
Seite 192
Abb. 2.36 Matrizen zu den Abbildungen \[A_{a)}= \left( \begin{array}{cc} \frac{5}{9} & \frac{7}{9} \\ -\frac{2}{9} & \frac{8}{9} \\ \end{array} \right),\qquad A_{b)}=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ \end{array} \right)\]
linAbb-Bilder1.ggb
linAbb-Bilder2.ggb
Abschnitt
2.5.3
Seite 193
Abb. 2.37 Abbildungen mit zwei verschieden Eigenwerten und in Rot gezeichneten Eigenvektoren. a) "beliebiger" Fall, b) Geraden-Spiegelung, c) Scherung mit Achsen-Streckung.
linAbb-Bilder3.ggb
linAbb-Bilder4.ggb
linAbb-Bilder5.ggb
Abschnitt
2.5.3.2
Seite 195
Abb. 2.38 a) Singuläre Matrix mit eindimensionalem Bildraum und Kern. Der Bildraum wird von dem Eigenvektor \(\vec v_1=(2,2)^{\m T}\) zum Eigenwert \(\frac{3}{2}\) aufgespannt. Der andere Eigenwert ist 0 mit dem Eigenvektor \(\vec v_2=(-1,2)^{\rm T}\), dieser spannt einen eindimensionalen Kern auf (siehe Text).
b) Zentrische Streckung mit Streckfaktor \(k=\lambda_1=\lambda _2=\frac{3}{2}\), jeder Ortsvektor ist Eigenvektor und wird auf das \(\frac{3}{2}\)-fache gedehnt, c) Scherung, die x-Achse ist Scherachse, Scherwinkel ist der mit dem Lot gebildete blaue Winkel, jeder Punkt wandert dementsprechend parallel zur Scherachse.
linAbb-Bilder6.ggb

2.6 Orthogonalität
Abschnitt
2.6.1.1
Seite 197
Abb. 2.39 Orthogonale Kraftzerlegung im \(\mathbb R^2\). Rechte Winkel sind in a) und b) durch eine ockerfarbene Zacke gekennzeichnet. Texte und Rechnungen folgen. a) Kräfte bei einem Schienenwagen, b) Kräfte bei einem Wagen auf einer schiefen Ebene, c) orthogonale Projektion auf einen Unterraum mit orthogonaler Basis.
schiene.ggb
schiefeEbene.ggb
Abschnitt
2.6.2
Seite 200
Abb. 2.40 Orthogonalprojektion auf den von \(\vec v\) und \(\vec w\) aufgespannten Unterraum U. Rechte Winkel sind durch farbige Zacken gekennzeichnet. Rechts stehen die Formeln in Klarschrift.
1.) Wir projizieren \(\vec{p}\) orthogonal auf \(\vec{v}\) und erhalten \(\vec{p}_{\vec{v}}\), also haben wir auf \(U_{\vec v}={\rm span}(\vec{v})\) projiziert, den von \(\vec{v}\) aufgespannten Unterraum.
2.) Nun wird \(\vec{p}\) auf \(U={\rm span}(\vec{v},\vec{w})\) orthogonal projiziert. Das Ergebnis ist der orangefarbene Vektor \(\vec{p}_U\), der damit auch in der blauen Ebene \(U\) liegt, siehe Text.
3.) Es ist der "Ebenen-Projektions-Irrtum" dargestellt: Der rote Vektor \(\vec p\) und die von seiner Spitze ausgehenden schwarzen "Projektionslinien" liegen nicht in der blauen Ebene. In ihr aber ist die (grüne) Summe aus den Projektionen \(\vec{p}_{\vec{v}}\) und \(\vec{p}_{\vec{w}}\) i.A. nicht \(\vec{p}_U\).
orthogonalproj-Buch.ggb
Abschnitt
2.6.2.1
Seite 201
Abb. 2.41 Orthogonalisierung im \(\mathbb R^3\), Konstellation wie in Abb. 2.40. Rechnungen sind in Beispiel 2.6. Mit \(M=\{\vec v_1,\,\vec v_2,\,\dots,\,\vec v_m\}\) setzen wir \(\vec{v}:=\vec v_1\), \(\vec w:=\vec v_2\), \(\vec{p}:=\vec{v}_3\). Für \(U_3={\rm span}(\vec v,\,\vec w,\,\vec p)\) suchen wir eine ONB mit \(U_3={\rm span}(\vec b_1,\,\vec b_2,\,\vec b_3)\). Schritt 1: \(\vec b_1:=\vec v_1=\vec v\), Schritt 2: \(\vec b_2:=\vec w-\vec{w}_{\vec v}\), es ist \(\vec b_1\,\bot\,\vec b_2\). Schritt 3: Mit \(U_2:={\rm span}(\vec b_1,\,\vec b_2)\) wird wie in Beispiel 2.5 der Vektor \(\vec p_{U_2}\) bestimmt und \(\vec b_3:=\vec p-\vec p_{U_2}\) gesetzt. Es ist \(\vec b_3\,\bot\,\vec b_1\) und \(\vec b_3\,\bot\,\vec b_2\).
orthogonalisierung.ggb

2.7 Quadriken und Hauptachsentransformation
Abschnitt
2.7
Seite 203
Abb. 2.42 Kegelschnitte als Schnittkurven eines Doppelkegels. a) Flache Schnitte ergeben Ellipsen, darunter sind auch Kreise. b) Ist die Schnittebene genau parallel zu einer Mantellinie, so entstehen Parabeln. c) Trifft die Schnittebene beide Kegelteile, ergeben sich Hyperbeln.
alle-Doppelkegel.ggb
Abschnitt
2.7.1.1
Seite 204
Abb. 2.43 Kegelschnitte aus fünf Punkten. Es sind hier die Punkte \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) auf die ablesbaren (ganzzahligen) Kästchenkreuzungen gesetzt. Dann ist nur noch Punkt \(C\) bewegt worden. a) Ellipse, b) Hyperbel, c) Geradenkreuz, da \(C\) exakt auf der Geraden \(AD\) liegt, d) ist scheinbar eine Parabel und c) ist wirklich eine Parabel. Das wird im Text erläutert.
quadriken-2d-alle.ggb
Zusatz Parabel durch 4 Punkte.nb, Mathematica Quelltext   Dies zum Lesen und Verstehen
ZusatzSchiefe allgemeine Doppelkegel
Hier ist die Idee verfolgt, eine Parabel bzw. eine Hyperbel an einem Punkt zu spiegeln.
Dies lässt sich in GeoGebra interaktiv realisieren. Die okerfarbenen Mantellinien definieren dann einen allgemeinen Kegel, der dann auch eine Regelfläche ist.
parabolischerDoppelkegel.ggb
hyperbolischerDoppelkegel.ggb
Abschnitt
2.7.3.1
Seite 210
Diese Abbildung bezieht sich auf die ausführliche Rechnung von Hand im Buch.
Abb. 2.44 Hauptachsentransformation für eine Ellipse. a) Gegeben ist das leere, grüne Oval, Mittelpunkt und Hauptachsen können erst zum Schluss eingetragen werden. b) Eine Drehung richtet die Ellipsenachsen parallel zu den Koordinatenachsen aus. c) Eine Verschiebung rückt den Mittelpunkt in den Ursprung.
hat-elli-hyp.ggb
Bei dieser und den beiden folgenden GeoGebra-Dateien lassen sich die Schritte einzeln anklicken.
Abschnitt
2.7.3.2
Seite 212
Abb. 2.45 Hauptachsentransformation für eine Hyperbel. Das Beispiel ist genau parallel zum Vorgehen in Abb. 2.44 entwickelt. Nur haben hier die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen.
hat-elli-hyp.ggb
Abschnitt
2.7.3.2
Seite 213
Abb. 2.46 Hauptachsentransformation für eine Parabel. Auch dieses Beispiel ist genau parallel zum Vorgehen in Abb. 2.44 und Abb. 2.45 entwickelt. Nur ist hier ein Eigenwert null.
hat-par.ggb
Abschnitt
2.7.3.3
Seite 214
Abb. 2.47 Ellipse aus 5 Punkten, HAT im Blackbox-Whitebox-Prinzip. Es wird ausgenutzt, dass GeoGebra auch von mit beliebigen Quadrikgleichungen gegeben Kegelschnitten Brennpunkte und Scheitel angeben kann. Damit wird die Ellipse wird passend gedreht und verschoben, so dass ihre Gleichung als Mittelpunktsgleichung einer Ellipse erkennbar wird.
kegelschnitt-ha-trafo-elli.ggb
Das Entsprechende ist auch mit einer Hyperbel gemacht.
kegelschnitt-ha-trafo-hyp.ggb

Abschnitt
2.7.3.3
Seite 214
Abb. 2.48 Hauptachsentransformation. Start: grünes Ellipsoid, Ziel: rotes Ellipsoid in Ursprungslage.
HAT-ellipsoid-gut.ggb
HAT-ellipsoid-gut+ev.ggb
Abschnitt
2.7.4.1
Seite 216

Abb. 2.49 Hauptachsentransformation für ein Ellipsoid. a) Gegeben ist ein Ellipsoid über seine implizite Gleichung. Gibt man diese in GeoGebra ein, so erscheint das grüne Ellipsoid als ungegliedertes "Ei". Die Richtungen der Hauptachsen muss man erst herausfinden, b) danach kann man das grüne Ellipsoid um den Ursprung so drehen, dass die Hauptachsen zu den Koordinatenachsen parallel sind, und das blaue Ellipsoid kann mit der transformierten impliziten Gleichung gezeichnet werden. c) Nun ergibt sich der Mittelpunkt \(M\) und man kann ihn in den Ursprung schieben, wodurch das rote Ellipsoid in Hauptachsenlage entsteht. Durch Rückwärtsdrehen von \(M\) erhält man nun endlich \(M_{ur}\), den ursprünglichen Mittelpunkt. Die Rechnungen folgen im Text, Sie finden sie auch hier zusammen mit der GeoGebra-Datei und Hinweisen für Lehrende zur Konstruktion von Aufgaben mit vorgegebenen "glatten" Ergebnissen.
Rückwärts-Konstruktion guter Beispiele für Kegelschnitte
Rückwärts-Konstruktion guter Beispiele für Quadriken
HAT-ellipsoid-gut.ggb
ZusatzAnmerkung zu den Abb. 2.50, 2.51 und 2.52 auf den Seiten 219 und 220. Wir haben uns entschlossen, Ihnen hier nicht die Bilder aus dem Buch zu präsentieren, sondern solche, für die wir auch die vollständige Quelle in Mathematica angeben können.
Leider lassen sich in GeoGebra die 3D-Darstellungen nicht so einfach begrenzen. (Das gilt in der 2020 verfügbaren Version.) Implizite Gleichungen konnten in eine Wenn-Stuktur nicht eingegeben werden. Auf eine Parameterdarstellung wollten wir nicht wechseln, sondern die Gleichungen von Seite 218 verwenden.
Quadriken in Hauptlage, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen Für das Ellipsoid ist der Mathematica-Code vollständig, für alle anderen hier abgebildeten Quadriken in Hauptlage ist nur die Gleichung, die auch in der -Datei angegeben ist, einzusetzen. Wir haben die Gleichungen von Seite 2.18 so abgepasst, dass alle Quadriken genau auf den umfassenden Kasten mit den Kantenlängen a,b und c mit a=4, b=3, c=2 bezogen sind.
Abschnitt
2.7.5
Seite 219
Abb. 2.50 3D-Quadriken mit drei Quadrattermen. a) Ellipsoid, b) einschaliges Hyperboloid, c) zweischaliges Hyperboloid.
Quadrik2.50a.ggb
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)    \(\frac{2x^2}{a^2}+\frac{2y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)    \(\frac{2x^2}{a^2}-\frac{2y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
Abschnitt
2.7.5
Seite 219
Abb. 2.51 Weitere Quadriken. a) elliptisches Paraboloid, b) hyperbolisches Paraboloid, c) elliptischer Kegel.
\(\frac{2x^2}{a^2}+\frac{2y^2}{b^2}-\frac{z}{c}=1\)    \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c^2}=0\)    \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)
Abschnitt
2.7.5
Seite 220
Abb. 2.53 Quadrik, Parabelrinne und ihre Schnitte a) mit der xy-Ebene, b) mit der yz-Ebene, c) mit der xz-Ebene.
\(\frac{2x^2}{a^2}+\frac{3y}{b^2}-\frac{2z}{c^2}=0\)
Die Gleichung wird bei \(a=4, b=3, c=2\) erfüllt von (4,-3,2), der vorderen, oberen Ecke, aber auch von den beiden Scheiteln \( (\pm b,\pm c) \).
Abschnitt
2.7.5
Seite 220
Abb. 2.53 Zylinder-Quadriken. a) elliptischer Zylinder, b) hyperbolischer Zylinder, c) parabolischer Zylinder.
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)    \(\frac{4x^2}{a^2}-\frac{3y^2}{b^2}=1\)    \(\frac{2x^2}{a^2}+\frac{3y}{b^2}=1\)   

2.76 Regelflächen
Abschnitt
2.7.6
Seite 221

          
Abb. 2.54 Regelflächen. a) Schiefer Kegel, b) Hyperboloid, c) Konoid, d) Hyperbolisches Paraboloid, HP-Fläche. Entstehung: Sie werden alle durch Bewegung von Geraden - hier Strecken oder Strahlen - erzeugt, die jeweils einen Punkt auf beiden Leitkurven haben. Der Parameterbereich für \(s\) ist bei allen Bildern in vier Teile mit der Farbfolge rot, gelb, grün, blau eingeteilt. Im Einzelnen werden die Raumflächen im Text erläutert.
Die Mantellinien dieser Regelflächen entstehen in GeoGebra als Spur einer einzigen Mantellinie. Diese wird durch den Parameter t, den man mit den Pfeiltasten bewegt, gezeichnet. Die verschiedenen Farben sind dadurch entstanden, dass die Mantellinie nach jedem Viertel der Wegstrecke umgefärbt wurde. Dadurch konnten wir im Buch die Bewegung sichtbar machen.
  a) regel-kegel.ggb     b ) regel-hyp.ggb     c) regel-konoid.ggb     d) regel-hp.ggb
Abschnitt
2.7.6
Seite 221
Abb. 2.55 Allgemeine Regelflächen. a) mit zwei Leitkurven, einer Parabel und einer Sinuskurve. b) und c) Hyperbolisches Paraboloid, Grund der Namensgebung: b) die Hyperbeln sind die Schnitte mit Ebenen \(z=k\), c) die Parabeln sind die Schnitte mit den Ebenen \(x=k\) oder \(y=k\).
regel-zwei-kurven.ggb
regel-hp-flaeche-hyp.ggb
regel-hp-flaeche-par.ggb
Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 02 Lineare Algebra   START und TIPPS     Liste der Zusätze Erstellt: Dez.2020, Update 29. Juli 2021
 Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Prof. Dr. Dieter Riebesehl  Dipl.-Math. Dipl.-Ing. Hubert Dammer