Höhere Mathematik sehen und verstehen

Springer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7
ISBN 978-3-662-62577-4 e-book
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de
Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer
Kapitel 02 Lineare Algebra

XXXXXX Muster zum Kopieren XXXXX, Auf Anker achten entsp. Menu
Abschnitt
2.1.1.1
Seite 131
Abb. 2.1 Algebraische Strukturen und ihr Aufbau aus Halbgruppen und Gruppen, Halbringen, Ringen und Körpern. Lesehilfe oben im Text.
In Violett ist schon der Weg zum Vektorraum aufgenommen. Lesehilfe: Vektoren bilden eine kommutative Gruppe \((V,+)\), und die skalare Multiplikation koppelt sie mit einem Körper \((K,+,\cdot)\). Diese Struktur heißt (Vektorraum \(V,+,\cdot)\) über einem Körper \((K,+,\cdot)\).


Abschnitt
2.1.3.1
Seite 133
Abb. 2.2 Gruppenaxiome für \((V,+)\). a) Man darf \(\vec v\) in passender Lage wählen. Hängt man \(\vec v\) hinter \( \vec u\), erhält man \(\vec u + \vec v\). b) Das Parallelogramm zeigt, dass die Addition kommutativ ist. c) Die Differenz \(\vec u-\vec v\) erhält man bei gemeinsamem Start von \(\vec u\) und \(\vec v\) als Vektor von der Spitze von \(\vec v\) zur Spitze von \(\vec u.\) Gestrichelt ist auch die Definition der Differenz gezeigt. d) Die Addition ist assoziativ, es ist egal, ob die Klammer vorn oder hinten ist, man braucht sie daher nicht zu schreiben. Dieses Bild kann man auch räumlich sehen, wenn sich z.B. \(\vec w\) aus der Ebene von \(\vec u\) und \(\vec v\) erhebt. Alle Gruppenaxiome sind in \(\mathbb R^2\) und \(\mathbb R^3\) erfüllt.


XXX vr-axiome.ggb
Abschnitt
2.1.3.1
Seite 134
Abb. 2.3 Axiome für die skalare Multiplikation für \((V,+)\). a) Man kann mit jedem reellen Faktor \(\lambda\) strecken, hier ist \(\lambda=3\). Ein negatives \( \lambda\) bewirkt eine Umkehr in die Gegenrichtung. b) Das erste Distributivgesetz ist sehr naheliegend, man kann die Vielfachen von \(\vec v\) beliebig aufteilen. c) Das zweite Distributivgesetz ist eine vektorielle Version des zweiten Strahlensatzes.


vr-skalar.ggb
Abschnitt
2.1.3.3
Seite 136
Abb. 2.4 Legende Vektorpfeile und \(n\)-Tupel. a) Die Addition der Komponenten passt zur Summe der Vektorpfeile. b) Die Streckung der Komponenten passt zur Streckung des Vektorpfeils (Strahlensatz).


vecpfeile-tupel.ggb
Abschnitt
2.1.6.1
Seite 143
Abb. 2.5 Cosinussatz und seine Wirkung. a) zeigt ein Dreieck, für das die rote Seite \(c\) mit dem Cosinussatz berechnet werden kann. b) zeigt das Dreieck in der vektoriellen Auffassung, in der der rote Vektor als Differenz \(\vec{u}-\vec{v}\) zu deuten ist. d) bezieht sich auf den Fall, dass der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) eingeschlossene Winkel, also \(\angle(\vec{u}, \vec{v})\), den man standardmäßig in mathematisch positivem Sinn misst, überstumpf wird. c) begründet, warum dies keine Wirkung auf das Skalarprodukt hat.


cosinussatz.ggb
Abschnitt
2.1.6.1
Seite 144
Abb. 2.6 Die Projektion von \(\vec{p}\) auf \(\vec{v}\) ist \(\vec{p}_{\vec{v}}=\frac{\langle \vec{p},\vec{v}\,\rangle} {\langle \vec{v},\vec{v}\,\rangle} \,\vec{v}\)
Beweis: Geometrisch gilt \(||\vec p_{\vec v}||=||\vec p||\cos\alpha\)
\[ \vec p_{\vec v}=||\vec p_{\vec v}||\frac{\vec v}{||\vec v||} =\frac{||\vec p_{\vec v}||\,||\vec v||}{||\vec v||^2}\vec v =\frac{||\vec p||\,||\vec v||\,\cos\alpha}{||\vec v||^2}\vec v =\frac{\langle \vec p,\vec v\,\rangle}{\langle \vec v,\vec v\,\rangle} \vec v \]


XXX projektion-pv.ggb
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2.XXX
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KKK Abb. 2.7 Legende FETT BEACHTEN


Geogebra.ggb
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KKK Abb. 2.XYX Legende FETT BEACHTEN


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KKK Abb. 2.8 Legende FETT BEACHTEN


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KKK Abb. 2.9 Legende FETT BEACHTEN


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KKK Abb. 2.10 Legende FETT BEACHTEN


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2.XXX
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KKK Abb. 2.11 Legende FETT BEACHTEN


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KKK Abb. 2.XYX Legende FETT BEACHTEN


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MUSTER ÜBERSCHRIFT MUSTER
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KKK Abb. 2.XYX Legende FETT BEACHTEN


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Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 02 Lineare Algebra   START und TIPPS Erstellt: Dez.2020, Update Dez.2020
 Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Prof. Dr. Dieter Riebesehl  Hubert Dammer, dipl.math, dipl.ing