Mathematik sehen und verstehen,Website zum Buch

Höhere Mathematik sehen und verstehen
ISBN 978 662 69291 2 Auflage 2   Book         Springer Spektrum
ISBN 978 662 69292 9 Auflage 2 eBook
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de
https://masuv.web.leuphana.de      (Sicherer Zugang)

Dörte Haftendorn

Dieter Riebesehl

Hubert Dammer

Kapitel 2 Lineare Algebra

2.1 Algebra und Grundlagen
2.2 Analytische Geometrie

2.3 Matrizen+Determinanten, Grundlagen
2.4 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen+Determinanten

2.5 Lineare Abbildungen
2.6 Orthogonalität

2.7 Quadriken
2.7.6 Regelflächen

Anregungen

2.1
Elementare LinAlg

2.2
Unterräume

2.3
Basiswechsel

2.4
Parabel Approximation

2.5 HAT Hyperbel

2.6 HAT Parabel

Anregungsthemen und Lösungen

ALLE BILDER (außer den Icons) erscheinen beim Anklicken in neuem Tab in dreifacher Größe.

2.1 Algebra und Grundlagen der linearen Algebra.

Abschnitt
2.1.1
Seite 135
1. Auflage:
2.1.1.1
Seite 131

Abb. 2.1 Algebraische Strukturen und ihr Aufbau aus Halbgruppen und Gruppen, Halbringen, Ringen und Körpern. Lesehilfe oben im Text.
In Violett ist schon der Weg zum Vektorraum aufgenommen. Lesehilfe: Vektoren bilden eine kommutative Gruppe $(V,+)$, und die skalare Multiplikation koppelt sie mit einem Körper $(K,+,\cdot)$. Diese Struktur heißt (Vektorraum $V,+,\cdot)$ über einem Körper $(K,+,\cdot)$.

2.1.2 Vektorräume.

Abschnitt
2.1.3.1
Seite 137
1. Auflage:
Seite 133

Anmerkung: Für das Buch haben wir die Vektoren mit Pfeil und als Formeln geschrieben. GeoGebra selbst tut das nicht. Dafür haben Sie in dieser Datei aber Gelegenheit die beiden Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ zu verändern, wobei sich diese Beschriftungen mit bewegen. Das führt Ihnen eindrucksvoll die Vektorraumaxiome vor Augen.

Abb. 2.2 Gruppenaxiome für $(V,+)$. a) Man darf $\vec v$ in passender Lage wählen. Hängt man $\vec v$ hinter $ \vec u$, erhält man $\vec u + \vec v$. b) Das Parallelogramm zeigt, dass die Addition kommutativ ist. c) Die Differenz $\vec u-\vec v$ erhält man bei gemeinsamem Start von $\vec u$ und $\vec v$ als Vektor von der Spitze von $\vec v$ zur Spitze von $\vec u.$ Gestrichelt ist auch die Definition der Differenz gezeigt. d) Die Addition ist assoziativ, es ist egal, ob die Klammer vorn oder hinten ist, man braucht sie daher nicht zu schreiben. Dieses Bild kann man auch räumlich sehen, wenn sich z.B. $\vec w$ aus der Ebene von $\vec u$ und $\vec v$ erhebt. Alle Gruppenaxiome sind in $\mathbb R^2$ und $\mathbb R^3$ erfüllt.

vr-axiome.ggb

Abschnitt
2.1.3.1
Seite 138
1. Auflage:
Seite 134

Abb. 2.3 Axiome für die skalare Multiplikation für $(V,+)$. a) Man kann mit jedem reellen Faktor $\lambda$ strecken, hier ist $\lambda=3$. Ein negatives $ \lambda$ bewirkt eine Umkehr in die Gegenrichtung. b) Das erste Distributivgesetz ist sehr naheliegend, man kann die Vielfachen von $\vec v$ beliebig aufteilen. c) Das zweite Distributivgesetz ist eine vektorielle Version des zweiten Strahlensatzes.

vr-skalar.ggb

Abschnitt
2.1.3.3
Seite 140
1. Auflage:
Seite 136

Abb. 2.4 Legende Vektorpfeile und $n$-Tupel. a) Die Addition der Komponenten passt zur Summe der Vektorpfeile. b) Die Streckung der Komponenten passt zur Streckung des Vektorpfeils (Strahlensatz).

vecpfeile-tupel.ggb

Abschnitt
2.1.6.1
Seite 147
1. Auflage:
Seite 143

Abb. 2.5 Cosinussatz und seine Wirkung. a) zeigt ein Dreieck, für das die rote Seite $c$ mit dem Cosinussatz berechnet werden kann. b) zeigt das Dreieck in der vektoriellen Auffassung, in der der rote Vektor als Differenz $\vec{u}-\vec{v}$ zu deuten ist. d) bezieht sich auf den Fall, dass der von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ eingeschlossene Winkel, also $\angle(\vec{u}, \vec{v})$, den man standardmäßig in mathematisch positivem Sinn misst, überstumpf wird. c) begründet, warum dies keine Wirkung auf das Skalarprodukt hat.

cosinussatz-geo.ggb

Abschnitt
2.1.6.1
Seite 148
1. Auflage:
Seite 144

Abb. 2.6 Die Projektion von $\vec{p}$ auf $\vec{v}$
ist $\vec{p}_{\vec{v}}=\frac{\langle \vec{p},\vec{v}\,\rangle} {\langle \vec{v},\vec{v}\,\rangle} \,\vec{v}$
Beweis: Elementargeometrisch gilt $||\vec p_{\vec v}||=||\vec p||\cos\alpha$
\[ \vec p_{\vec v}=||\vec p_{\vec v}||\frac{\vec v}{||\vec v||} =\frac{||\vec p_{\vec v}||\,||\vec v||}{||\vec v||^2}\vec v =\frac{||\vec p||\,||\vec v||\,\cos\alpha}{||\vec v||^2}\vec v =\frac{\langle \vec p,\vec v\,\rangle}{\langle \vec v,\vec v\,\rangle} \vec v \] Bildet man für das letzte Gleichheitszeichen dieser Gleichungskette auf bedien Seiten das Skalarprodunkt mit $ \vec{v}$, so erhält man $ \frac{||\vec p||\,||\vec v||\,\cos\alpha}{||\vec v||^2}\langle \vec v, \vec v \rangle = \langle \vec p,\vec v\,\rangle$ und dann wegen $ \langle \vec v, \vec v \rangle=||\vec v||^2)$ schließlich \[\langle \vec p,\vec v\,\rangle=||\vec p||\,||\vec v||\,\cos\alpha.\]

projektion-pv.ggb

Zusatz

Erstaunlicherweise benutzt die Formel aus Satz 2.2 für das Skalarprodukt nur Addition und Multiplikation, die andere aber den Cosinus, eine transzendente Funktion, und in der Längenbestimmung eine Quadratwurzel. Wie kann man das erklären? Der erste Beweis im Buch Seite 146 nutzt den Cosinussatz im Dreieck, der ja nicht gerade direkt einsichtig ist.
Liegen die beiden Vektoren in spezieller Lage, nämlich $\vec a = (a_1,0)$ auf der x-Achse wie im nebenstehenden Bild, dann kann man die Gleichheit der beiden Formeln sofort einsehen: \[\langle\vec a,\vec b\rangle = a_1b_1 + 0\cdot b_2=a_1b_1= ||\vec a||\cdot||\vec b||\cdot\frac{b_1}{||\vec b||} = ||\vec a||\cdot||\vec b||\cos\varphi\] mit dem eingeschlossenen Winkel $\varphi$. Hier wurde nur die Definition des Cosinus als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck benutzt, und die Gleichheit der beiden Formeln ist nicht mehr geheimnisvoll.

Dies funktioniert auch in höheren Dimensionen, wenn die beiden Vektoren in der xy-Ebene so liegen. Zwei Vektoren können immer durch eine (höherdimensionale) Drehung in diese Lage gebracht werden. Eine solche Drehung erhält das Skalarprodukt sowie Vektorlängen und Winkel. Das kann man leicht nachrechnen, denn die Drehung wird durch eine orthonormale Matrix $A$ vermittelt, also mit $A^\top A=E$, und dann ist \[\langle\vec a,\vec b\rangle = \vec a^\top\cdot\vec b = \vec a^\top\cdot E\cdot\vec b = \vec a^\top\cdot A^\top A\cdot\vec b = \vec a^\top A^\top\cdot A\,\vec b = \langle A\,\vec a,A\,\vec b\rangle.\] Deshalb gilt die Gleichheit der beiden Formeln auch allgemein.

2.1.6.2 Hinführung zum Skalarprodukt im Funktionenraum

Abschnitt
2.1.6.2
Seite 148
1. Auflage:
Seite 144

Abb. 2.7 Motivation des Skalarproduktes in Funktionenräumen. a) Vektoren aus den Wertetabellen, $f$ grün in y-Richtung, $g$ blau in z-Richtung, b) Rechtecke für die Produkte an den $x$-Stellen, c) gewichtete Produkte als Quadervolumina, d) das Integral als Grenzwert ist ein sinnvolles Skalarprodukt von $f$ und $g$.
fkt-skalar, Mathematica Quelltext
Dies zum Lesen und Verstehen

2.1.7 Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension

Abschnitt
2.1.7.2
Seite 152
1. Auflage:
Seite 148

Abb. 2.8 Schwerpunkt im Dreieck.
Ein Dreieck wird aufgespannt von zwei linear unabhängigen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Ziel ist es zunächst, mit ihnen auf zwei verschiedenen Wegen ohne Verwendung von $\overrightarrow{BD}$ von $C$ zum Punkt $S$ zu gelangen.
Weg 1: $\overrightarrow{CS}= t(\overrightarrow{CE})=t \cdot(\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}))$ $=\frac{t}{2}\cdot(\vec{a}+ \vec{b})$
Weg 2: $\overrightarrow{CS}=\vec a+r\overrightarrow{AF}= \vec a+r(\frac{1}{2}\vec b-\vec a)$ mit $t,r\in\mathbb R$. Zusammen und sortiert und $(\cdot 2)$ entsteht die Gleichung $(2-2r-t)\cdot\vec{a}=(t-r)\cdot\vec{b}$.
Da $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig sind, folgt das Gleichungssystem $2-2r-t=0$ und $t-r=0$.

schwerpunktsatz.ggb

Dies ist eine typische "Teilverhältnisaufgabe". Solche sind um Gymasium etabliert, denn sie nutzen die Begriffe Basis und lineare Unabhängigkeit in überzeugender Weise zur Lösung aus.

2.2 Analytische Geometrie

Abschnitt
2.2.1
Seite 153
1. Auflage:
Seite 149

Abb. 2.9 Ortsvektoren (schwarz) versus Vektoren.
$\vec{u}$ (rot), $\vec{v}$ (blau). Für das Parallelogramm aus den Punkten $A,\,B,\,C$ und $D$ gilt $ \vec{u}{:=}\vec{b}{-}\vec{a}{=}\vec{c}{-}\vec{d}$ und $\vec{v}{:=}\vec{c}{-}\vec{b}{=} \vec{d}{-}\vec{a}$. Die Ortsvektoren bilden den Punktraum $\mathbb R^m$. Durch die komponentenweise Differenz von Punkten entstehen als Pfeilklassen die Vektoren des Vektorraumes $\mathbb R^m$. Mit Ortsvektoren rechnet man wie mit allen Vektoren. Im Kontext kann man eigentlich immer Ortsvektoren und verschiebliche Vektoren auseinanderhalten.

parallelogramm.ggb

Abschnitt
2.2.1.1
Seite 153
1. Auflage:
Seite 149

Abb. 2.10 Affine Unterräume, die Punkt $A$ enthalten, entstehen als Nebenklassen $U+\vec a$ aus Unter(vektor)räumen $U$, die ja den Ursprung enthalten. $\vec a \in U$ ist erlaubt.

parallelogramm.ggb

nebenklasse.ggb

Abschnitt
2.2.2.1
Seite 156
1. Auflage:
2.2.2
Seite 152

Abb. 2.11 Ebenengleichung mit Normalenvektor: Die Ebene ist definiert durch den Aufpunkt $A$ und $\vec n$. Ortsvektoren sind $\vec{a}$ (blau) und für einen Punkt $P$ auf der Ebene $\vec{p}$ (orange). Damit ist in der Ebene der Differenzvektor $\vec{p}-\vec{a}$ (rot) definiert. Vektor $\vec{n}$ (grün) ist senkrecht dazu. Ersichtlich sind die Projektionen auf $\vec n$ gleich: $\vec p_{\vec n}=\vec a_{\vec n}$, s.\,u. Nach Gleichung (pr) gilt $\vec{a}\cdot \vec{n}=\vec{p}\cdot \vec{n} \Longleftrightarrow \vec{n}\cdot\bigl( \vec{p}-\vec{a}\bigr)=0 $.

hesse-ebene.ggb

Abschnitt
2.2.3
Seite 158
1. Auflage:
Seite 154

Abb. 2.12 Die Hesse'sche Normalform der Geradengleichung: Die Gerade ist definiert durch den Aufpunkt $A$ und $\vec n$ als Lot von $A$ auf die Normalenrichtung, die kleine (grüne) Zacke deutet den rechten Winkel an. Für einen beliebigen Punkt $P$ mit Ortsvektor $\vec{p}$ (orange) auf der Geraden gilt durch diesen Aufbau $\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec a)=0$. Wie in Abb. 2.11 sind die Projektionen aller $\vec p$ aus der Geraden und die Projektion von $\vec a$ auf die Normalenrichtung stets gleich.

hesse-gerade.ggb

Abschnitt
2.2.4
Seite 159
1. Auflage:
Seite 155

Abb. 2.13 Ebene in Hesse'scher Normalform. Sie ist gezeigt in drei Stellungen. Sie können die Ebene drehen. Der Aufpunkt $A$ mit Ortsvektor $\vec{a}$ (blau) und Punkt $P$ auf der Ebene mit Ortsvektor $\vec{p}$ (orange) definieren $\vec{p}-\vec{a}$ (rot), darauf steht $\vec{n}$ (grün) senkrecht. Das mit feinen Punkten gezeigte Dreieck auf der Ebene bestätigt wieder die Übereinstimmung der Projektionen aller Ebenenpunkte auf den Normalenvektor.

hesse-ebene.ggb

Abschnitt
2.2.4
Seite 160
1. Auflage:
2.2.4.1
Seite 156

Abb. 2.14 Ebene in Parameterdarstellung. Die Ebene, der Ortsvektor $\vec{a}$ und der 1. Richtungsvektor $\vec{v}$ mit Spitze in $S$ sind in allen Bildern dieselben. Die Spitze $Q$ des 2. Richtungsvektors $\vec{w}$ wird in 24 Schritten längs einer Ellipse auf der Ebene gedreht. In c) und e) wird keine Ebene angezeigt, weil $\vec{w}$ und $\vec{v}$ parallel sind und die Ebene gar nicht definiert ist. Als Repräsentant beliebiger Ebenenpunkte ist stets $\vec{p}=\vec{a}+0.3 \,\vec{v}+2\,\vec{w}$ eingetragen.

hesse-ebene-param.ggb

2.2.5 Geometrische Köper

Abschnitt
2.2.5
Seite 161
1. Auflage:
Seite 157

Abb. 2.15 Kirchturmspitze als Pyramide. a) Es geht um den grünen Winkel $\alpha$ und den violetten Winkel $\delta$.
b) zeigt den Grundriss und eine Konstruktion, die das aufrechte Dreieck $DE'E$ in die Grundebene umklappt. Dort kann man den gesuchten Winkel $\alpha$, unter dem Namen $\beta$, messen.

kirchturmspitze.ggb

Abschnitt
2.2.5
Seite 163
1. Auflage:
Seite 159

Abb. 2.16 3D- und 4D-Würfel. a) oben: 3D-Würfel mit Raumdiagonale, a) unten: definierende Punkte, gelb 3D, mit grün 4D, b) 4D-Würfel: mit allen Ecken und Kanten, nach 3D projiziert wie im Text beschrieben, das 3D-Bild ist dann in GeoGebra realisiert. Es ist zum freien Drehen und auch anders Projizieren eingerichtet. Eine weitere Version ist Abb. 2.17, c) zeigt Diagonalen, die für die Berechnung (siehe unten) der Winkel eingeführt sind.

wuerfel3d-solo.ggb

wuerfel4d.ggb

wuerfel4d-experi.ggb

Abschnitt
2.2.5
Seite 164
1. Auflage:
Seite 160

Abb. 2.17 Hyperwürfel in anderer Projektion. Die $3{{\times}}4$--Projektionsmatrix hat in jeder Spalte das 3D-Bild eines der vier Einheitsvektoren. Nur für das Bild von $\vec{e}_4{=}(0,0,0,1)^{\rm T}$ konnte nicht so etwas Einfaches gewählt werden. Es ist mit variablen Zahlen $\vec{e}_4\,'{=}(a,b,c)^{\rm T}$ gesetzt. Es ist also $P=\left(\begin{matrix}1&0&0&a\\ 0&1&0&b\\ 0&0&1&c \end{matrix}\right)$; im Bild ist $ a=1.6,\ b=0.2,\ c=1.1$. Der 4D-Würfel heißt auch Tesserakt, siehe Wikipedia.

Hyperkubus.ggb

Hyperkubus.nb, Mathematica Quelltext

Dies zum Lesen und Verstehen

2.3 Matrizen und Determinanten: Grundverständnis

Abschnitt
2.3.2
Seite 167
1. Auflage:
Seite 163

Abb. 2.18 Tägliche Reisemöglichkeiten von den Städten zu den Häfen und dann zu den Inseln werden gezeigt durch den Übergangsgraphen und die Matrizen: \[L=\begin{array}{c|cccc|} &D & E & F & G\cr \hline A & 1 & 2 & 0 & 3\cr B & 0 & 1 & 3 & 2\cr C & 0 & 0 & 2 & 1\cr \hline \end{array},\; W=\begin{array}{c|cc|} &H & I\cr \hline D & 2 & 1\cr E & 3 & 0\cr F & 1 & 2\cr G & 0 & 2\cr \hline \end{array} \]

gozintoHafen2.ggb

Abschnitt
2.3.2
Seite 168
1. Auflage:
Seite 164

Abb. 2.19 Matrizen-Multiplikation. Obere Reihe: Beim Produkt einer $3{\times} 2$-Matrix $A$ mit einer $2{\times} 5$-Matrix $ B$ ergibt sich eine $3{\times} 5$-Matrix $C$. Hervorgehoben ist: (Zeile 2)$\cdot $(Spalte 4) $=$Element $c_{24}$. Die Strategie ist in der Legende zu Abb. 2.20 fett hervorgehoben.
Untere Reihe: Einen $1{\times} n$-Zeilenvektor kann man mit einem $n {\times}1$-Spaltenvektor multiplizieren, es ergibt sich eine $1{\times} 1$-Matrix. Manchmal wird gesagt, sie sei ein Skalar. Sie wirkt aber von links nur auf Zeilenvektoren, von rechts auf Spaltenvektoren "wie" ein Skalar. Es ist auch "Spalte mal Zeile" möglich, ergibt aber eine $n{\times} n$-Matrix.

matrix-mult.ggb

Abschnitt
2.3.2
Seite 168
1. Auflage:
Seite 164

Abb. 2.20 Matrizen-Multiplikation mit dem Schema von Falk möchten wir hier auch vorstellen. Für Von-Hand-Rechnungen in der Mathematik gibt es meist mehrere Schreibstrategien, jeder bevorzugt eine "persönliche", abhängig von Lernbiografie und kulturellem Umfeld. Bei beiden Schreibarten ist für jede Zeile $i$ folgendes zu tun: Man bilde das Skalarprodukt aus Zeile $\vec{z}_i$ (senkrecht gedacht) mit Spalte $\vec{s}_j$ von $j=1$ bis $j=k$. So erhält man die ganze Zeile $i$ der Produktmatrix.

matrix-mult-falk.ggb

Anregung 2.1
Abschnitt
2.5.1.5
Seite 200

Lösung der Anregungen

	2.1 Aufgaben zur elementaren linearen Algebra

	1. Eine Matrix $A$, die $A\cdot A=A$ erfällt, heißt idempotent, (lat. selbst-mächtig). Die Nullmatrix und die Einheitsmatrix sind Beispiele. Suchen Sie eine idempotente $2{\times} 2$-Matrix, bei der kein Element null ist. 2. Für zwei Vektoren gelte: $\\|\vec{a}\\|=7$ und $\\|\vec{b}\\|=4$. Geben Sie den kleinsten und den größten Wert von $\\|\vec{a}-\vec{b}\\|$ an. In welchem Intervall liegen die Werte des Skalarproduktes $\langle \vec{a},\vec{b} \rangle$? Begründen Sie mit Worten oder Skizzen. 3. \[ A=\left(\begin{smallmatrix}1&1&0\\ 1&0&c\\ 0&1&1 \end{smallmatrix}\right),\quad B=\left(\begin{smallmatrix}1&3&c\\ 1&2&4\\ 1&1&c \end{smallmatrix}\right),\quad C=\left(\begin{smallmatrix}2&1&c\\ 3&3&6\\ c&c&2c \end{smallmatrix}\right) \] Gegeben sind die Matrizen $A,\; B, \; C$. Für welche Werte von $c$ ergeben sich jeweils abhängige Spalten oder Zeilen? Versuchen Sie diese ohne lange Rechnungen durch "Hingucken" zu finden. 4. Die Matrix $A=\left(\begin{smallmatrix}9&c&5\\ c&c&c\\ 3&c&c \end{smallmatrix}\right)$ wird für genau drei Werte von $c$ singulär, d.h. die Zeilen oder Spalten werden linear abhängig. Geben Sie diese Werte an. Warum kann es nicht mehr als drei geben? 5. Die Matrix $A=\left(\begin{smallmatrix} u+3&t &u\\ 3&t+u&3t-u\\ 2t+v& 2v&v \end{smallmatrix}\right)$ sieht nicht symmetrisch aus. Berechnen Sie aber $u, \;t,\;v$ so, dass dann $A=A^\top$ gilt, sie also symmetrisch wird. 6. Die Matrix $A=\left(\begin{smallmatrix}a_1+{\rm i}b_1&a_2+{\rm i}b_2\\ a_3+{\rm i}b_3&a_4+{\rm i}b_4 \end{smallmatrix}\right)$ sei echt komplex, d.h. kein Imaginäteil ist null. Wählen Sie die Elemente so, dass $\det(A) \in \mathbb R$ gilt. Vielleicht können Sie Ihre Lösungsidee etwas verallgemeinern oder (mit CAS) sogar eine allgemeine Lösung finden.

2.4 LGS, Determinanten, Matrizen: Weiterführung

Abschnitt
2.4.1
Seite 175
1. Auflage:
Seite 170

Abb. 2.21 Der Schnitt von drei Ebenen. a) zeigt die Ebenen $E_1$ (blau), $E_2$ (grün), $E_4$ (rot), die Gerade $E_1\cap E_2$ (hellgrün). Visualisierung der Zeilen 1, 2, 5 der Rechnung 2.4.1.1. b) zeigt das Entsprechende für $E_5=E_1+E_3$ (hellblau) und die Zeilen 1, 3, 7. Weiteres und c) im Text.
Für ist vor allem das Bild wichtig.

ebenen-hand-a.ggb

ebenen-hand-b.ggb

ebenen-hand-c.ggb

Abschnitt
2.4.1.2
Seite 176
1. Auflage:
Seite 172

Abb. 2.22 Beim Schnitt von drei Ebenen treten verschiedene Fälle auf. Die blaue und die grüne Ebene sind $E_1$ und $E_2$ aus der obigen Rechnung und der vorigen Abb. 2.21. a) zeigt das Beispiel aus der Rechnung mit dem Schnittpunkt der drei Ebenen. In b) enthält die 3. Ebene auch die Schnittgerade der beiden ersten, so dass diese Gerade die Lösungsmenge des Schnittproblems ist. In c) und d) schneiden sich $E_1$ und $E_3$ in einer getrennt liegenden Parallelen zu der ersten Schnittgeraden. Dadurch ist die Lösungsmenge des Schnittproblems leer.

Gleichungssystem im R3-a.ggb

Gleichungssystem im R3-b.ggb

Gleichungssystem im R3-c.ggb

Gleichungssystem im R3-d.ggb

Abschnitt
2.4.2
Seite 178
1. Auflage:
Seite 173

Abb. 2.23 Schnitt von zwei Geraden. \[ \begin{array}{rrcrcrcrl} 1:&\mbox{Gerade } g_1&\quad& x&+&2y&=& 6&\mbox{blaue Gerade}\\ 2:&\mbox{Gerade } g_2&\quad& -x&+&3y&=&-1&\mbox{grüne Gerade}\\ \hline 3:&g_1+g_2=g_3 &\quad& 0x&+&5y&=& 5&\mbox{waagerechte,}\\ 4:&g_3' &\quad& && y&=& 1&\mbox{rote Gerade}\\ \hline 8:&Z 4\rightarrow Z 1&\quad& x&+&2&=& 6&\\ 9:& &\quad& & &x&=& 4&\mbox{also } S=(4,\,1) \end{array} \]

geradenschnitt.ggb

Abschnitt
2.4.3
Seite 178
1. Auflage:
2.4.2
Seite 173

Abb. 2.24 Schnitt von zwei Geraden. \[ \begin{array}{rrcrcr} g_1*:& \frac{1}{2}x&+&y&=& 4\\ g_2:& -x&+&6y&=&0\\ \hline g_3:& -4x&+&0y&=&-24\\ g_3':& x& & &=& 6\\ \hline Z 1& 3&+& y&=& 4\\ & & & y&=& 1 \end{array} \]

geradenschnitt-dreh-neu.ggb

Abschnitt
2.4.3
Seite 179
1. Auflage:
Seite 175

Abb. 2.25 Schematische erweiterte Matrizen zeigen die im Satz genannten Fälle. Grüne Felder dürfen nicht die Null enthalten, graue können beliebig gefüllt sein. 1) leere Lösungsmenge: 1a) und 1b) zeigen andere Verteilungen der Nullen, auch hier ist die Lösungsmenge leer, dabei zeigt 1b) eine Matrix mit Rang 3 und der Rang der erweiterten Matrix ist 4. 2) bedeutet unendlich viele Lösungen, Lösungsraum ist eine Gerade, bei 3) ist ein Punkt eindeutige Lösung.
Dieses Bild existiert nur als Powerpoint-Datei: GaussRangBilder.pptx

Abschnitt
2.4.4
Seite 182
1. Auflage:
Seite 177

Abb. 2.26 Schnittproblem für zwei Geraden. Im homogenen LGS können nur zwei Fälle (zwei Bilder links) vorkommen: entweder die Geraden schneiden sich im Ursprung oder sie fallen als Ursprungsgeraden aufeinander. Im inhomogenen System kann es einen Schnittpunkt $P_0$ geben, dessen Ortsvektor beide Gleichungen erfüllt, die in $A\vec{p}=\vec{b}$ zusammengefasst sind. Die Geraden können aufeinander fallen, d.h. jeder Geradenpunkt $P_0$ erfüllt beide Gleichungen, oder die Geraden liegen parallel und getrennt, kein Punkt erfüllt beide Gleichungen. Außer in diesem Fall kann man sich vorstellen, die Lösungsmenge $\mathbb L_A$ würde aus dem Ursprung heraus an einen geeigneten Punkt $P_0$ verschoben.

Abschnitt
2.4.5
Seite 183
1. Auflage:
Seite 178

Abb. 2.27 Determinante einer Matrix $A$ nach einer Spalte entwickeln, beschrieben im Text. Die grüne $j$-Spalte ist fest gewählt. Die rote Zeile nimmt jede Lage $i={1, \dots, n}$ genau einmal an. Die Adjunkte oder auch adjungierte Matrix $A_{ij}$ zu $a_{ij}$ entsteht dabei durch Streichung der Zeile $i$ und der Spalte $j$ von $A$. Es ist hier durch Farben gezeigt, wie die $A_{ij}$ entstehen.

det-entwickeln.ggb

Abschnitt
2.4.5
Seite 184
1. Auflage:
Seite 180

Abb. 2.28 Tausch der Spalten $j$ und $j'=j+1$: Sowohl vor dem Tausch als auch nachher entwickeln wir nach der grünen Spalte mit dem (ursprünglichen) Namen $j$. Dabei bleiben alle Adjunkten genau wie vorher, die Faktoren ebenso, aber deren Vorzeichen ändern sich alle.

Abschnitt
2.4.6
Seite 185
1. Auflage:
Seite 180

Abb. 2.29 Die Cramer'sche Regel gibt für reguläre $n{\times} n$-Matrizen die Komponenten des Lösungspunktes explizit an. Für $x_j$ ist die $j$-te Spalte von $A$ durch die rechte Seite $\vec b$ zu ersetzen und von der so entstandenen Matrix ist die Determinante zu bilden.

cramerscheRegel-nurBild.ggb

Zusatz

Dieser Zusatz ist für alle, die sich immer noch wundern, dass die Rechtsinverse $A^{-1}$ einer Matrix $A$ auch ihre Linksinverse ist. Es erstaunt ja, dass die Zeilen der Inversen zu den Spalten von $A$ genauso gut "passen", wie die Spalten der Inversen zu den Zeilen von $A$, insbesondere ist nicht unmittelbar einsichtig, wieso aus Ersterem automatisch Zweiteres folgen soll. "Passen" meint hier: Skalarprodukte fast immer 0, d.h. orthogonal, bis auf je eine Ausnahme mit Skalarprodukt 1.

Wir geben hier dafür eine Erklärung, die den Laplace'schen Entwicklungssatz 2.12 nutzt: \[ \text{det}A = \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\text{det}(A_{ij}) = \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\text{det}(A_{ij}). \] Hierin ist die erste Summe die Entwicklung der Determinante nach der Spalte $j$ von $A$, die zweite Summe die Entwicklung der Determinante nach der Zeile $i$ von $A$. Wir setzen zur Abkürzung $\hat c_{ij} = (-1)^{i+j}\text{det}(A_{ij})$. Wie man durch Vergleich mit Satz 2.14 sieht, ist $\hat c_{ji} = \text{det}(A)c_{ij}$, wobei die $c_{ij}$ gerade die Elemente der Inversen $A^{-1}$ sind. (Die Reihenfolge der Indizes bei $\hat c_{ji}$ ist richtig!) Aber das wollen wir jetzt unabhängig von Satz 2.14 einsehen. Wir schreiben die obige Gleichung noch einmal neu auf: \[ \text{det}A = \sum_{i=1}^n a_{ij}\hat c_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij}\hat c_{ij}. \] Wir ändern einmal je einen Index ab ($i\ne k\ne j$): \[ \sum_{i=1}^n a_{ik}\hat c_{ij} = 0, \qquad\qquad \sum_{j=1}^n a_{kj}\hat c_{ij} = 0. \] Warum ist das so? Die erste Gleichung: Wir entwickeln nun eine Matrix nach der Spalte $j$, die wie $A$ aussieht, aber in Spalte $j$ statt des dort ansässigen Spaltenvektors die $k$-te Spalte von $A$ stehen hat, also eine Matrix mit zwei identischen Spalten. Deren Determinante ist natürlich 0. Für die zweite Gleichung argumentiert man ganz analog: Die $i$-te Zeile von $A$ ist durch die $k$-te Zeile ersetzt worden, also wieder Determinante 0. Es stehen also senkrecht aufeinander folgende Vektoren: \[ \text{Spaltenvektoren (erstere aus $A$):}\qquad(a_{ik})_{i=1\dots n} =: \vec a_k\ \bot\ \vec c_j := (\hat c_{ij})_{i=1\dots n}, \] \[ \text{Zeilenvektoren (erstere aus $A$):}\qquad(a_{kj})_{j=1\dots n} =: \vec a^k\ \bot\ \vec c^j := (\hat c_{ij})_{j=1\dots n}. \] Setzt man alles zusammen, so ist klar, dass die Matrix $(\hat c_{ji})$ (man achte auf die Transposition!) bis auf den Faktor $\frac{1}{\text{det}A}$ die Inverse von $A$, sowohl von links (siehe oben "Spaltenvektoren") als auch von rechts (siehe oben "Zeilenvektoren") sein muss, dennn sie verhält sich automatisch wie verlangt. Der Grund liegt letztlich darin, dass der Entwicklungssatz für Zeilen und Spalten gleichermaßen funktioniert und beide Male die selben Zahlen $(\hat c_{ij})$ benutzt.

Man könnte jetzt noch argumentieren, dass vielleicht noch etwas "Wunderbares" in Satz 2.12 steckt, dessen Beweis im Buch ja ausgelassen ist. Wir können Sie beruhigen, der Beweis benutzt nur ganz glasklare Eigenschaften der Determinante wie die Tatsache, dass sie linear in allen Spaltenvektoren und allen Zeilenvektoren ist und bei Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten das Vorzeichen wechselt und ist nicht geheimnisvoll.

Abschnitt
2.4.7
Seite 187
1. Auflage:
Seite 182

Abb. 2.30 Die Determinante liefert orientierte Flächen. Es ist hier $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ und $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$.
a) Der Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist mathematisch positiv orientiert. Darum ist die Determinante $|\vec{a}\, \vec{b}|$ (grün) ebenfalls positiv. In der verwendeten GeoGebra-Datei können Sie an $A$ und $B$ beliebig ziehen, die hervorgehobene Parallelogrammfläche ändert ihre Farbe, wenn Sie, wie in b), eine Stellung erzeugen, in der die Determinante negativ (rot) wird. Hier ist tatsächlich der Winkel $\angle(AOB)$ mathematisch negativ. Die Formel in c) bringt es auf den Punkt: Das Vertauschen zweier Vektoren ändert das Vorzeichen der Determinante.

determinante-orientiert.ggb

Abschnitt
2.4.7
Seite 187
1. Auflage:
Seite 182

Abb. 2.31 Die Determinante berechnet Fläche und Volumen. a) Die Determinante $\det(\vec{a},\vec{b})=\left|\begin{smallmatrix}a_x&b_x\\a_y&b_y\\\end{smallmatrix}\right|$ berechnet den Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms.
b) Das von drei linear unabhängigen Vektoren $\vec{a},\,\vec{b}, \,\vec{c}$ aufgespannte (i.A. schiefe) Prisma nennt man einen Spat oder ein Parallel-Epiped. Sein Volumen wird von der Determinante $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ berechnet. c) zeigt denselben Spat. Dieser Spat hat nur zwei Rechtecke als Seiten, die anderen sind "echte" Parallelogramme. Dennoch meint man, einen Quader zu sehen.

det-flaeche.ggb

spat.ggb

Abschnitt
2.4.8
Seite 188
1. Auflage:
2.4.7.1
Seite 183

Abb. 2.32 Siebeneck mit Pyramide und Prisma. a) In der xy-Ebene ist ein Siebeneck definiert und ein beliebiger Punkt $Z$. Näheres steht im Text. b) Mit einer variablen Höhe (violett) ist $S$ über $Z$ platziert. Zum Zeichnen der Pyramide in GeoGebra ist das Siebeneck und $S$ zu wählen, der von GeoGebra angegebene Wert des Volumens ist $\frac{1}{3}\mbox{Grundfläche}\cdot\mbox{Höhe}$, wie es sich gehört. c) Auch für das Prisma ist das Volumen natürlich formelgemäß ausgerechnet.

siebeneck-pyramide.ggb

Abschnitt
2.4.8
Seite 189
1. Auflage:
Seite 184

Abb. 2.33 Kreuzprodukt und Spatprodukt. a) Die Norm des Kreuzproduktes ist die Fläche des von $\vec{a}$ und $ \vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms. b) Das Kreuzprodukt $\vec{a} {\times}\vec{b}$ steht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht und hat die in a) berechnete Fläche als Länge. Es ist so orientiert, dass $\vec{a},\,\vec{b}, \,\vec{a}{\times}\vec{b}$ ein Rechtssystem ist. c) Bildet ein dritter Vektor $\vec{c}$ mit dem genannten Parallelogramm einen Spat, dann ergibt sich durch Projektion von $\vec{c}$ auf das Kreuzprodukt die Höhe und mit ihr nach Satz 2.16 2.) das Volumen $V=\langle\vec{a}{\times}\vec{b},\vec{c}\,\rangle$. Das so gebildete Skalarprodukt heißt auch Spatprodukt.

cross-pur.ggb

cross-spat.ggb

2.4.9 Intermezzo: Division von Vektoren?

Abschnitt
2.4.9
Seite 191

Abb. 2.34 Zur "Division" von Vektoren.
a) Denselben Wert des Skalarproduktes $\vec a\cdot\vec x$ bekommt man, wenn man $\vec a\cdot\vec y$ bildet mit irgendeinem der blauen Vektoren als $\vec y$.
b) Denselben Wert des Kreuzproduktes $\vec a\times\vec x$ bekommt man, wenn man $\vec a\times\vec y$ bildet mit irgendeinem der blauen Vektoren als $\vec y$.

Abschnitt
2.4.9
Seite 192

Abb. 2.35 "Division" von Vektoren dreidimensional.
a) zeigt dieselbe Situation wie Abb. 2.34 a), aber diesmal dreidimensional. Alle Vektoren, die wie die als Beispiele gezeigten blauen in der grünen Ebene enden, ergeben dasselbe Skalarprodukt $\vec a\cdot\vec b$.
b) Für das Kreuzprodukt ändert sich die Menge der Vektoren $\vec b$, die denselben Wert von $\vec a\times\vec b$ ergeben, nicht. Das Kreuzprodukt kann aber nun als roter Vektor, der auf der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten grauen Ebene senkrecht steht, dargestellt werden.

2.5 Lineare Abbildungen und Matrizen

Abschnitt
2.5.1
Seite 195
1. Auflage:
2.5.1
Abb. 2.34
Seite 188

Abb. 2.36 Lineare Abbildungen des $\mathbb R^2$ auf sich. Alle lassen den Ursprung fest. a) und b) Drehungen um den Ursprung, c) Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, d) Zentrische Streckung vom Ursprung aus, e) Scherung mit einer Ursprungsgeraden als Scherachse, hier der x-Achse, f) Scherung mit nachfolgender Achsenstreckung. Die Matrizen sind unten genannt.

lineareabb-2.34ab.ggb

2.5.1.5 Vier Unterräume zu einer Matrix

Abschnitt
2.5.1.5
Seite 199

Abb. 2.37 Die direkten Summen zu einer Matrix.
Für die Matrix $A = \bigl(\begin{smallmatrix} 3&2&4 \\ -1.5&-1&-2\end{smallmatrix}\bigr)$ sind hier die vier Unterräume schematisch dargestellt. Jeder Unterraum ist durch ein Rechteck repräsentiert, innerhalb dessen die Vektoren des Unterraums als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt sind. Kerne von Abbildungen sind rot unterlegt, Bildräume grün. Die beiden Abbildungen $A$ und $A^{\top}$ wirken im Wesentlichen nur von grünem Raum zu grünem Raum, denn alles in roten Räumen wird auf $\vec0$ abgebildet.

Abschnitt
2.5.1.5
Seite 200

Abb. 2.38 Die vier Unterräume zu einer Matrix.
Für dieselbe Matrix wie in Abb. 2.37 sind hier die vier Unterräume im $\mathbb R^3$ zu sehen. Alles, was zu $A$ gehört, ist grün, was zu $A^{\top}$ gehört, ist rot oder rosa. Die türkisfarbene Ebene wird unter $A$ auf den Punkt $E$ abgebildet, das gilt insbesondere für den exemplarischen Punkt $D$. Die lila Gerade mit Punkt $H$ wird unter $A^{\top}$ auf $B$ abgebildet. Weitere Erläuterungen stehen im Text.

Anregung 2.2
Abschnitt
2.5.1.5
Seite 200

Lösung der Anregungen

	Anregung 2.2 (Vier Unterräume im Fall einer $2\times3$-Matrix)

	Führen Sie diese Rechnung zu dieser Abb. 2.38 durch. Das Ergebnis ist ja offensichtlich nicht symmetrisch in den Komponenten von $A$. Ist das in Ordnung so und wenn ja, warum? Hinweis Die geometrische Situation ist auch nicht symmetrisch in den Koordinaten!

2.5.1.6 Basiswechsel

Abschnitt
2.5.1.6
Seite 201

Abb. 2.39 Basiswechsel im $\mathbb R^2$.
In a) ist der Vektor $\vec a$ zusammen mit der Standardbasis $\vec e_1$ und $\vec e_2$ gezeigt, man liest am Koordinatengitter ab, dass $\vec a = 3\vec e_1 + 5\vec e_2$ ist.
In b) ist die neue Basis $\vec v_1$ und $\vec v_2$ zu sehen. Sie definiert ein schräges Koordinatengitter aus rot gestrichelten Geraden. Die Parallelen zu $\vec v_1$ und $\vec v_2$ durch den Endpunkt $C$ von $\vec a$ definieren die Schnittpunkte $E$ und $D$ mit den Geraden durch die neuen Basisvektoren. An ihnen liest man ab, dass $\vec a = 2\vec v_1 + 2\vec v_2$ ist.

Abschnitt
2.5.1.6
Seite 203

Abb. 2.40 Basiswechsel bei Orthonormalbasen.
In diesem Bild sind alle Vektoren, d.h. alle 2-Tupel von reellen Zahlen, so eingetragen, als bezögen sie sich auf die Standardbasis. Die Rotation $T^{-1}$ führt Vektoren ohne Strich in solche mit Strich über, $T$ bewirkt das Gegenteil. Es gilt $A'\vec a\,' = \vec b'$ und $A\vec a = \vec b$. Nun kann man auf zwei Wegen von $\vec a$ zu $\vec b$ kommen, und daraus folgt $A = TA'T^{-1}$.

Anregung 2.3
Abschnitt
2.5.1.6
Seite 203

Lösung der Anregungen

	Anregung 2.3 (Allgemeiner Basiswechsel)

	Wie sieht ein Basiswechsel für eine allgemeine lineare Abbildung $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ aus, wenn im $\mathbb R^m$ ebenfalls ein Basiswechsel vorgenommen wird? Stellen Sie sich vor, dass dort die neuen Basisvektoren die Spalten einer Matrix $S$ bilden. Hinweis Weil wir das Ergebnis später brauchen werden, wird hier statt eines Hinweises die Antwort gegeben: Es ist $A' = S^{-1}AT$.

2.5.1.7 Axonometrische Darstellung

Abschnitt 2.5.1.7 Seite 204
1. Auflage
2.5.1.5
Abb. 2.35
Seite 191

Abb. 2.41 Axonometrische und isometrische Darstellung und Schattenwurf. In allen drei Bildern handelt es sich um denselben Körper, einen Würfel mit aufgesetzter Dreieckspyramide. a) zeigt (fast) die standardmäßige Kavalierperspektive (siehe auch im Text), b) demonstriert die isometrische Darstellung, bei der die Bilder der Achsen im $120^{\circ}$-Winkel stehen und in gleichem Maße verkürzt werden. c) zeigt den Schatten dieses Körpers in parallelem Licht, z.B. Sonnenlicht. Die Rechnung finden Sie im Text.

lineareAbbKavalierIso.ggb

lineareabb-schatten.ggb

2.5.2 Lineare Abbildungen in der Ebene verformen Gitter

SAbschnitt
2.5.2 Seite 205
1. Auflage:
Abb. 2.36
Seite 192

Abb. 2.42 Matrizen zu den Abbildungen \[A_{a)}= \left( \begin{array}{cc} \frac{5}{9} & \frac{7}{9} \\ -\frac{2}{9} & \frac{8}{9} \\ \end{array} \right),\qquad A_{b)}=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ \end{array} \right)\]

linAbb-Bilder1.ggb

linAbb-Bilder2.ggb

Abschnitt
2.5.3
Seite 207
1. Auflage:
2.5.3.1
Abb. 2.34
Seite 193

Abb. 2.43 Abbildungen mit zwei verschieden Eigenwerten und in Rot gezeichneten Eigenvektoren. a) "beliebiger" Fall, b) Geraden-Spiegelung, c) Scherung mit Achsen-Streckung.

linAbb-Bilder3.ggb

linAbb-Bilder4.ggb

linAbb-Bilder5.ggb

Abschnitt
2.5.3.2
Abb. 2.44
Seite 209
1. Auflage:
Abb. 2.38
Seite 195

Abb. 2.44 a) Singuläre Matrix mit eindimensionalem Bildraum und Kern. Der Bildraum wird von dem Eigenvektor $\vec v_1=(2,2)^{\m T}$ zum Eigenwert $\frac{3}{2}$ aufgespannt. Der andere Eigenwert ist 0 mit dem Eigenvektor $\vec v_2=(-1,2)^{\rm T}$, dieser spannt einen eindimensionalen Kern auf (siehe Text).
b) Zentrische Streckung mit Streckfaktor $k=\lambda_1=\lambda _2=\frac{3}{2}$, jeder Ortsvektor ist Eigenvektor und wird auf das $\frac{3}{2}$-fache gedehnt, c) Scherung, die x-Achse ist Scherachse, Scherwinkel ist der mit dem Lot gebildete blaue Winkel, jeder Punkt wandert dementsprechend parallel zur Scherachse.

linAbb-Bilder6.ggb

2.6 Orthogonalität

2.6.1.1 Orthogonalprojektionen auf eine orthogonale Basis

Abschnitt
2.6.1.1
Abb.2.45
Seite 210
1. Auflage:
Abb. 2.39
Seite 197

Abb. 2.45 Orthogonale Kraftzerlegung im $\mathbb R^2$. Rechte Winkel sind in a) und b) durch eine ockerfarbene Zacke gekennzeichnet. Texte und Rechnungen folgen. a) Kräfte bei einem Schienenwagen, b) Kräfte bei einem Wagen auf einer schiefen Ebene, c) orthogonale Projektion auf einen Unterraum mit orthogonaler Basis.

schiene.ggb

schiefeEbene.ggb

Abschnitt
2.6.1.3
Seite 213
1. Auflage:
Abb. 2.40
Seite 200

Abb. 2.46 Orthogonalprojektion auf den von $\vec v$ und $\vec w$ aufgespannten Unterraum U. Rechte Winkel sind durch farbige Zacken gekennzeichnet. Rechts stehen die Formeln in Klarschrift.
1.) Wir projizieren $\vec{p}$ orthogonal auf $\vec{v}$ und erhalten $\vec{p}_{\vec{v}}$, also haben wir auf $U_{\vec v}={\rm span}(\vec{v})$ projiziert, den von $\vec{v}$ aufgespannten Unterraum.
2.) Nun wird $\vec{p}$ auf $U={\rm span}(\vec{v},\vec{w})$ orthogonal projiziert. Das Ergebnis ist der orangefarbene Vektor $\vec{p}_U$, der damit auch in der blauen Ebene $U$ liegt, siehe Text.
3.) Es ist der "Ebenen-Projektions-Irrtum" dargestellt: Der rote Vektor $\vec p$ und die von seiner Spitze ausgehenden schwarzen "Projektionslinien" liegen nicht in der blauen Ebene. In ihr aber ist die (grüne) Summe aus den Projektionen $\vec{p}_{\vec{v}}$ und $\vec{p}_{\vec{w}}$ i.A. nicht $\vec{p}_U$.

orthogonalproj-Buch.ggb

2.6.1.4 Anwendung der Projektion auf die lineare Regression

Abschnitt
2.6.1.4
Seite 215

Abb.2.47 Beispiel für eine lineare Regression.
a) zeigt die drei Punkte, die Regressionsgerade und zusätzlich Quadrate, die jeweils $(\hat y_i - y_i)^2$ als Fläche haben. Ihre Flächensumme ist genau für die Regressionsgerade minimal.
b) zeigt die beteiligten Vektoren $\vec x$ (grün), $\vec y$ (blau), $\vec 1$ (schwarz) und die Projektion $\vec{\hat y}$ (rot). Die zwei Parallelen durch $\vec{\hat y}$ zu $\vec x$ und $\vec 1$ bilden zusammen mit diesen ein Viereck (orange), an welchem man die Werte von $a$ und $b$ als Längenanteil 0.69 bzw. 0.77 ablesen kann.

Anregung 2.4

Abschnitt
2.6.1.4
Seite 216

Lösung der Anregungen

	2.4 Approximation durch eine Parabel

	Mit der gleichen Vorgehensweise kann man auch eine approximierende Parabel $y = ax^2 + bx +c$ zu einer Folge von Punkten finden. Führen Sie das aus. Hinweis: Projizieren Sie $\vec y$ auf ${\rm span}(\vec 1,\vec x,\vec{x^2})$, wobei $\vec{x^2} = (x_1^2,x_2^2,\dots,x_n^2)^\top$ ist

2.6.2 Orthogonalisierung mit dem Gram-Verfahren

Abschnitt
2.6.2.1
Abb. 2.48
Seite 216
1. Auflage:
Abb. 2.41
Seite 201

Abb. 2.48 Orthogonalisierung im $\mathbb R^3$, Gram-Verfahren
Konstellation wie in Abb. 2.46. Rechnungen sind in Beispiel 2.6. Mit $M=\{\vec v_1,\,\vec v_2,\,\dots,\,\vec v_m\}$ setzen wir $\vec{v}:=\vec v_1$, $\vec w:=\vec v_2$, $\vec{p}:=\vec{v}_3$. Für $U_3={\rm span}(\vec v,\,\vec w,\,\vec p)$ suchen wir eine ONB mit $U_3={\rm span}(\vec b_1,\,\vec b_2,\,\vec b_3)$. Schritt 1: $\vec b_1:=\vec v_1=\vec v$, Schritt 2: $\vec b_2:=\vec w-\vec{w}_{\vec v}$, es ist $\vec b_1\,\bot\,\vec b_2$. Schritt 3: Mit $U_2:={\rm span}(\vec b_1,\,\vec b_2)$ wird wie in Beispiel 2.5 der Vektor $\vec p_{U_2}$ bestimmt und $\vec b_3:=\vec p-\vec p_{U_2}$ gesetzt. Es ist $\vec b_3\,\bot\,\vec b_1$ und $\vec b_3\,\bot\,\vec b_2$.

orthogonalisierung.ggb

2.7 Quadriken und Hauptachsentransformation

Abschnitt
2.7
Abb. 2.50
Seite 220
1. Auflage:
2.7.1
Abb. 2.43
Seite 204

Abb. 2.50 Kegelschnitte aus fünf Punkten. Es sind hier die Punkte $A,\,B,\,C,\,D,\,E$ auf die ablesbaren (ganzzahligen) Kästchenkreuzungen gesetzt. Dann ist nur noch Punkt $C$ bewegt worden. a) Ellipse, b) Hyperbel, c) Geradenkreuz, da $C$ exakt auf der Geraden $AD$ liegt, d) ist scheinbar eine Parabel und c) ist wirklich eine Parabel. Das wird im Text erläutert.

quadriken-2d-alle.ggb

Zusatz

Parabel durch 4 Punkte.nb, Mathematica Quelltext

Dies zum Lesen und Verstehen

Zusatz

Schiefe allgemeine Doppelkegel
Hier ist die Idee verfolgt, eine Parabel bzw. eine Hyperbel an einem Punkt zu spiegeln.
Dies lässt sich in GeoGebra interaktiv realisieren. Die okerfarbenen Mantellinien definieren dann einen allgemeinen Kegel, der dann auch eine Regelfläche ist.
parabolischerDoppelkegel.ggb

hyperbolischerDoppelkegel.ggb

2.7.3 Singulärwertzerlegung

Dieser Abschnitt ist neu in Auflage 2, darin gibt es kein Bild,

2.7.4 Hauptachsentransformation für Kegelschnitte

Abschnitt
2.7.4.1
Abb. 2.51
Seite 232
1. Auflage:
2.7.3.1
Abb. 2.44
Seite 210

Diese Abbildung bezieht sich auf die ausführliche Rechnung von Hand im Buch.
Abb. 2.51 Hauptachsentransformation für eine Ellipse. a) Gegeben ist das leere, grüne Oval, Mittelpunkt und Hauptachsen können erst zum Schluss eingetragen werden. b) Eine Drehung richtet die Ellipsenachsen parallel zu den Koordinatenachsen aus. c) Eine Verschiebung rückt den Mittelpunkt in den Ursprung.

hat-elli-hyp.ggb

Bei dieser und den beiden folgenden GeoGebra-Dateien lassen sich die Schritte einzeln anklicken.

Anregung 2.5
Abschnitt
2.7.4.2
Abb. 2.52
Seite 233
1. Auflage:
2.7.3.2
Abb. 2.45
Seite 212

Lösung der Anregungen

	Anregung 2.5 Hauptachsentransformation einer Hyperbel

	Abb. 2.52 HAT für eine Hyperbel. Das Beispiel ist genau parallel zum Vorgehen in Abb. 2.51 entwickelt. Nur haben hier die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen. Für die Hyperbel in Abb. 2.52 a) gilt die Gleichung: $x^2+4x y-2 y^2-18 x-12 y+69=0$. Übertragen Sie die für die Ellipse auf den Seiten 233 f dargestellten Schritte. Prüfen Sie am besten ihre Zwischenschritte selbst in GeoGebra, indem Sie die jeweils erhaltenen Gleichungen eingeben. hat-elli-hyp.ggb Ziel ist eine Quadrikgleichung in Hauptlage, in Abb. 2.52 c) ist es die rote Hyperbel mit der Gleichung $2 x^2-3 y^2=-12 \Leftrightarrow -\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$, bei anderer Drehrichtung sind x und y vertauscht. Hinweis Auf der Lösungsseite können Sie mit Ihrer Lösung vergleichen. Heutzutage können Sie sich auch direkt von GeoGebra unterstützen lassen, indem Sie nach Abschnitt 2.7.4.3 vorgehen.

Anregung 2.6
Abschnitt
2.7.4.2
Abb. 2.53
Seite 233
1. Auflage:
2.7.3.2
Abb. 2.46
Seite 213

Lösung
der
Anregungen

	Anregung 2.6 Hauptachsentransformation einer Parabel

	Abb. 2.53 HAT für eine Parabel. Das Beispiel ist ebenfalls parallel zum Vorgehen in Abb. 2.51 entwickelt. Die Gleichung der grünen Parabel ist $4x^2 + 4x y+ y^2-58 x-24 y+194=0$. Nehmen Sie bitte bewusst wahr, dass gedrehte Parabeln sowohl einen $x^2$-Term als auch einen $y^2$-Term in ihrer Gleichung haben. Dadurch, dass auch ein gemischter $x y$-Term vorhanden ist, kann man nur auf "schief"-liegende 2D-Quadrik schließen. Die Parabel entlarvt sich dadurch, dass ein Eigenwert null ist. Übertragen Sie die für die Ellipse auf den Seiten 233 f dargestellten Schritte. Prüfen Sie am besten ihre Zwischenschritte selbst in GeoGebra, indem Sie die jeweils erhaltenen Gleichungen eingeben. hat-par.ggb Ziel ist zunächst die Scheitelgleichung der Parabel in der vertrauten Form(blau) und dann die Verschiebung in Ursprungslage. Hinweis Auf der Lösungsseite können Sie mit Ihrer Lösung vergleichen. Heutzutage können sich auch direkt von GeoGebra unterstützen lassen, indem Sie nach Abschnitt 2.7.4.3 vorgehen.

2.7.4.3 HAT Hauptachsentransformation 2D, interaktiv

Abschnitt
2.7.4.3
Abb. 2.54
Seite 235
1. Auflage:
2.7.3.3
Abb. 2.47
Seite 214

Abb. 2.54 Ellipse aus 5 Punkten, HAT im Blackbox-Whitebox-Prinzip. Es wird ausgenutzt, dass GeoGebra auch von mit beliebigen Quadrikgleichungen gegeben Kegelschnitten Brennpunkte und Scheitel angeben kann. Damit wird die Ellipse wird passend gedreht und verschoben, so dass ihre Gleichung als Mittelpunktsgleichung einer Ellipse erkennbar wird.

kegelschnitt-ha-trafo-elli.ggb

Das Entsprechende ist auch mit einer Hyperbel gemacht.

kegelschnitt-ha-trafo-hyp.ggb

2.7.5 Eine Anwendung aus der Physik

Abschnitt
2.7.5
Abb. 2.55
Seite 237

Abb. 2.55 Vier Massenpunkte.
Die vier Massenpunkte in rosa haben die Massen $m_1$, $m_2$, $m_3$ und $m_4$. Damit ihre räumliche Lage besser einzuschätzen ist, haben sie einen gestrichelten "Stiel", auf dem sie stehen oder an dem sie hängen. An jedem Massenpunkt sind der Geschwindigkeitsvektor $\vec v_i$ (grün) und der Drehimpulsvektor $\vec l_i$ (rot) angeheftet, die aus dem schwarzen Drehvektor $\vec\omega$ resultieren. Der Gesamtdrehimpuls $\vec L$ ist in blau zu sehen. Die Länge aller Vektoren außer $\vec\omega$ ist auf $\frac{1}{4}$ gekürzt, $\vec\omega$ ist auf das Dreifache verlängert worden.

Traegheitstensor4Eigenvektoren.ggb

Abschnitt
2.7.5
Abb. 2.56
Seite 238

Abb.2.56 Drehachsen als Eigenvektoren von $J$.
Die Massenpunkte aus Abb. 2.55 sind hier ohne Geschwindigkeits- und Drehimpulsvektoren gezeigt. Dafür sind eine umhüllende Pyramide und die drei Eigenvektoren von $J$ als Drehachsen $\vec\omega_1$, $\vec\omega_2$ und $\vec\omega_3$ zu sehen, alle um den gleichen Faktor verlängert.

Traegheitstensor4punkte.ggb

Berechnung der Eigenvektoren, auch für 3 Punkte, Mathematica Quelltext

Dies zum Lesen und Verstehen

2.7.6 Hauptachsentransformation für 3D-Quadriken

Abschnitt
2.7.6
Abb. 2.57
Seite 239
1. Auflage:
2.7.3.3
Abb. 2.48
Seite 214

Abb. 2.57 Hauptachsentransformation. Start: grünes Ellipsoid, Ziel: rotes Ellipsoid in Ursprungslage.

HAT-ellipsoid-gut.ggb

HAT-ellipsoid-gut+ev.ggb

Abschnitt
2.7.6
Abb. 2.58
Seite 240
1. Auflage:
2.7.4.1
Abb. 2.49
Seite 216

Abb. 2.58 Hauptachsentransformation für ein Ellipsoid. a) Gegeben ist ein Ellipsoid über seine implizite Gleichung. Gibt man diese in GeoGebra ein, so erscheint das grüne Ellipsoid als ungegliedertes "Ei". Die Richtungen der Hauptachsen muss man erst herausfinden, b) danach kann man das grüne Ellipsoid um den Ursprung so drehen, dass die Hauptachsen zu den Koordinatenachsen parallel sind, und das blaue Ellipsoid kann mit der transformierten impliziten Gleichung gezeichnet werden. c) Nun ergibt sich der Mittelpunkt $M$ und man kann ihn in den Ursprung schieben, wodurch das rote Ellipsoid in Hauptachsenlage entsteht. Durch Rückwärtsdrehen von $M$ erhält man nun endlich $M_{ur}$, den ursprünglichen Mittelpunkt. Die Rechnungen folgen im Text, Sie finden sie auch hier zusammen mit der GeoGebra-Datei und Hinweisen für Lehrende zur Konstruktion von Aufgaben mit vorgegebenen "glatten" Ergebnissen.

Rückwärts-Konstruktion guter Beispiele für Kegelschnitte

Rückwärts-Konstruktion guter Beispiele für Quadriken

HAT-ellipsoid-gut.ggb

Zusatz

Anmerkung zu den Abb. 2.59, 2.60, 2.61 und 2.62 auf den Seiten 243 und 244. Wir haben uns entschlossen, Ihnen hier nicht die Bilder aus dem Buch zu präsentieren, sondern solche, für die wir auch die vollständige Quelle in Mathematica angeben können.
Leider lassen sich in GeoGebra die 3D-Darstellungen nicht so einfach begrenzen. (Das gilt in der 2020 verfügbaren Version.) Implizite Gleichungen konnten in eine Wenn-Stuktur nicht eingegeben werden. Auf eine Parameterdarstellung wollten wir nicht wechseln, sondern die Gleichungen von Seite 218 verwenden.

Quadriken in Hauptlage, Mathematica Quelltext

Dies zum Lesen und Verstehen

Für das Ellipsoid ist der Mathematica-Code vollständig, für alle anderen hier abgebildeten Quadriken in Hauptlage ist nur die Gleichung, die auch in der

-Datei angegeben ist, einzusetzen. Wir haben die Gleichungen von Seite 242 so abgepasst, dass alle Quadriken genau auf den umfassenden Kasten mit den Kantenlängen a,b und c mit a=4, b=3, c=2 bezogen sind.

Abschnitt
2.7.7
Abb. 2.59
Seite 243
1. Auflage:
2.7.5
Abb. 2.50
Seite 219

Abb. 2.59 3D-Quadriken mit drei Quadrattermen. a) Ellipsoid, b) einschaliges Hyperboloid, c) zweischaliges Hyperboloid.

Quadrik2.50a.ggb

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ $\frac{2x^2}{a^2}+\frac{2y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ $\frac{2x^2}{a^2}-\frac{2y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

Abschnitt
2.7.7
Abb. 2.60
Seite 243
1. Auflage:
2.7.5
Abb. 2.51
Seite 219

Abb. 2.60 Weitere Quadriken. a) elliptisches Paraboloid, b) hyperbolisches Paraboloid, c) elliptischer Kegel.
$\frac{2x^2}{a^2}+\frac{2y^2}{b^2}-\frac{z}{c}=1$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c^2}=0$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Abschnitt
2.7.7
Abb. 2.61
Seite 244
1. Auflage:
2.7.5
Abb. 2.52
Seite 220

Abb. 2.61 Quadrik, Parabelrinne und ihre Schnitte a) mit der xy-Ebene, b) mit der yz-Ebene, c) mit der xz-Ebene.
$\frac{2x^2}{a^2}+\frac{3y}{b^2}-\frac{2z}{c^2}=0$
Die Gleichung wird bei $a=4, b=3, c=2$ erfüllt von (4,-3,2), der vorderen, oberen Ecke, aber auch von den beiden Scheiteln $ (\pm b,\pm c) $.

Abschnitt
2.7.7
Abb. 2.62
Seite 220
1. Auflage:
2.7.5
Abb. 2.53
Seite 220

Abb. 2.62 Zylinder-Quadriken. a) elliptischer Zylinder, b) hyperbolischer Zylinder, c) parabolischer Zylinder.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\frac{4x^2}{a^2}-\frac{3y^2}{b^2}=1$ $\frac{2x^2}{a^2}+\frac{3y}{b^2}=1$

2.7.8 Regelflächen

Abschnitt
2.7.8
Abb. 2.63
Seite 245
1. Auflage:
2.7.6
Abb. 2.54
Seite 221

Abb. 2.63 Regelflächen. a) Schiefer Kegel, b) Hyperboloid, c) Konoid, d) Hyperbolisches Paraboloid, HP-Fläche. Entstehung: Sie werden alle durch Bewegung von Geraden - hier Strecken oder Strahlen - erzeugt, die jeweils einen Punkt auf beiden Leitkurven haben. Der Parameterbereich für $s$ ist bei allen Bildern in vier Teile mit der Farbfolge rot, gelb, grün, blau eingeteilt. Im Einzelnen werden die Raumflächen im Text erläutert.

Die Mantellinien dieser Regelflächen entstehen in GeoGebra als Spur einer einzigen Mantellinie. Diese wird durch den Parameter t, den man mit den Pfeiltasten bewegt, gezeichnet. Die verschiedenen Farben sind dadurch entstanden, dass die Mantellinie nach jedem Viertel der Wegstrecke umgefärbt wurde. Dadurch konnten wir im Buch die Bewegung sichtbar machen.

b )

Abschnitt
2.7.8
Abb. 2.64
Seite 346
1. Auflage:
2.7.6
Abb. 2.55
Seite 221

Abb. 2.64 Allgemeine Regelflächen. a) mit zwei Leitkurven, einer Parabel und einer Sinuskurve. b) und c) Hyperbolisches Paraboloid, Grund der Namensgebung: b) die Hyperbeln sind die Schnitte mit Ebenen $z=k$, c) die Parabeln sind die Schnitte mit den Ebenen $x=k$ oder $y=k$.

a)

regel-zwei-kurven.ggb

regel-hp-flaeche-hyp.ggb

regel-hp-flaeche-par.ggb

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