Höhere Mathematik sehen und verstehenSpringer Spektrum ISBN 978-3-662-62576-7ISBN 978-3-662-62577-4 e-book www.mathematik-sehen-und-verstehen.de https://masuv.web.leuphana.de |
Dörte Haftendorn Dieter Riebesehl Hubert Dammer |
1.3 Folgen und 1.4 Reihen in 01 Analysis 2D |
1.3 Folgen 1.3.1 Explizit gegebene Folgen |
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Abschnitt 1.3.1 Seite 12 |
Abb. 1.7 Folgen und Grenzwert. a) und b) beziehen sich auf dieselbe Folge, Bild c) auf
eine andere. Ein \(\varepsilon\) kann am Schieberregler frei gewählt werden und es wird dadurch ein
\(\varepsilon\)-Streifen um \(y = G\) gelegt, wobei G der vermutete Grenzwert ist. Die beiden Funktionsgraphen
zeigen tragende Funktionen einer oberen und einer unteren Teilfolge (Formeln siehe Text). Nun
wird, entsprechend der Definition des Grenzwertes für Folgen, angezeigt, ab welchem \(n_0\) die
Folgenglieder \(a_n\) in dem \(\varepsilon\)-Streifen liegen. Bildteil c) zeigt, dass man so den Grenzwertbegriff verstehen kann, aber keine Gewissheit erlangt. Die hier gezeigte Folge (siehe Text) hat gar keinen Grenzwert, sondern nur zwei Häufungswerte. Ein hinreichend kleiner \(\varepsilon\)-Streifen wird gar nicht mehr betreten. a) und b) folgen-grenzwert.ggb c) folgen-grenzwert-c.ggb   gemeinsam im GeoGebra-Book |
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Zusatz Abb. 1.7Z1 |
Konzept der Cauchy-Folgen:
Eine Cauchfolge \((a_n)\) liegt vor, wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) eine Zahl \(n_c\in\mathbb N\) gibt, so dass für alle \(m,\ n >n_c \) stets \(|a_m-a_n|<\varepsilon\) gilt. |
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folgen-cauchy-grenzwert.ggb
Das Besondere an dem Konvergenzbegriff von Cauchy ist, dass bei seiner Formulierung der Grenzwert \(G\) gar nicht vorkommt. Stattdessen wird der Ordinaten-Abstand zweier beliebiger Folgenglieder betrachtet. In dem Bildern 1.7Z1 und 1.7Z2 ist o.B.d.A. \(m < n\) realisiert und \(a_m\) ist durch eine rote Raute und \(a_n\) durch einen lila Kreis gezeigt. Die Ordinate von \(a_n\) ist auch an der Stelle \(m\) eingetragen, dadurch gibt die kleine rote Strecke dort das \(|a_m-a_n|\) aus der Definition an. Wie auch bei der Definition zu Abb. 1.7 wird zuerst \(\varepsilon\) gewählt, dann dazu und ein \(n_c\). Rechts davon muss also die Abstandsbedingung erfüllt sein. Ein \(\varepsilon\)-Streifen ist hier gelblich von \(a_m\) aus nach oben gezeichnet und ein grünlicher \(\varepsilon\)-Streifen nach unten. Dieser \(2 \varepsilon\) breite Streifen ist ab \(n_c\) eingetragen, er verändert seine Höhenlage mit \(a_m\). Die blaue bzw. die gelbe Funktion sind kleinste obere Schranke bzw. größte untere Schranke. Wenn sie beide in denselben Streifen eintreten, ist \(n_c\) groß genug gewählt. Ob dann aber wirklich Konvergenz vorliegt, ist nicht sicher, denn es muss ja für jedes \(\varepsilon\) so ein \(n_c\) zu finden sein. |
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Zusatz
Abb. 1.7Z2 |
folgen-cauchy-kein-grenzwert.ggb
Genau das geht in Abb. 1.7.Z2 schief. Dort ist das erste Bild noch so wie das zweite von Abb. 1.7.Z1, beide Schranken liegen in demselben \(\varepsilon\)-Streifen. Die violetten Striche deuten schon an, was sich in dem rechten Bild auch zeigt, dass die beiden Schranken nicht dieselbe Asymptote haben. Für hinreichend kleine \(\varepsilon\) gibt es gar keine \(n_c\), von denen an der Abstand beliebiger zweier der Folgenglieder beliebig klein wird. |
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Die Betrachtung solcher Bilder kann dem Verständnis dienen, aber grundsätzlich keine Entscheidung zur Konvergenzfrage liefern.
Darum gehen wir hier noch auf die Definition der tragenden Funktion ein.
Es ist \( f(x)=(2+(\frac{4}{x}+a)\sin(\frac{2x+1}{2}\pi x)\ \text{mit} \ a_n=f(n)\) und den Schranken \(g(x)=2+a +\frac{4}{x}\) (blau) bzw. \(h(x)=2-a -\frac{4}{x}\)(ocker) und den Asymptoten \(y=2+a \mbox{ bzw. }y=1-a\) (violett). Dabei lässt \(a\) sich mit einem Schieberegler einstellen. In Abb. 1.7Z1 ist \(a=0\), daher liegt Konvergenz gegen \(G=2\) vor. Sonst ist \(|a_m-a_n|>2a\) für \(n+m\) ungerade. Daher liegt in Abb. 1.7Z2 mit \(a=0.5\) gesichert keine Konvergenz vor. Beim Aufbau des Zahlensystems werden die rellen Zahlen charakterisiert als die Menge der Grenzwerte aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen. So gewinnt man die neu hinzukommenden Zahlen, ohne sie vorher schon zu kennen. Siehe im Buch Seite 5. |
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Zusatz | Aufgabe Hier gelöst mit Ti-Nspire. Erklärungsseite für die Behandlung von Folgen mit CAS-TR Folgen explizit, u.A. |
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1.3.2 Rekursiv definierte Folgen |
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Abschnitt 1.3.2 Seite 14 |
Abb. 1.8 Rekursion und Iteration.
a) und b) Treppendarstellung für exponentielle Abnahme, Erklärung im Text zusammen mit der Überleitung zur Zeitdarstellung. c) und d) entsprechend für begrenztes Wachstum. folgenrekursiv-zerfall.ggb folgenrekursiv-begrenzt.ggb |
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Zusatz | Der Turm von Hanoi
eignet sich sehr als Einstieg in das rekursive Denken. turmVonHanoi.ggb Turm von Hanoi rekursiv und explizit+Erläuterung |
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Abschnitt | Alle Wachstumsarten systematisch:
Lineares Wachstum Lineares Wachstum rekursiv und explizit Exponentielles Wachstum Exponentielles Wachstum rekursiv und explizit |
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1.3.3 Folgen von 2D-Punkten und Bildern |
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Abschnitt 1.3.3.1 Seite 16 |
Abb. 1.9 Der Wald am See.
a) wird durch fraktalen Regen (s.o.) gebildet. Die Gleichungen in c) enthalten die vollständige Information zum Wald am See, lediglich Himmel und Wasser sind mit Farbfüllung hinzugefügt. Im Text wird auf b) näher eingegangen. Wald mit seinen Maßen Wald am See, Mathematica Quelltext Dies zum Lesen und Verstehen |
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Abschnitt 1.3.3.1 Seite 16 |
Abb. 1.10 Der Wald am See entsteht mit dem Hutchinson-Operator. Das rote Trapez links
wird mit f und g abgebildet. Die entstandenen beiden Trapeze werden ebenso abgebildet, es
sind dann vier Trapeze. In diese ist rechts der fraktale Wald aus Abb. 1.9 eingetragen. Weiteres
steht im Text.
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Abschnitt. 1.3.3.2 Seite 18 |
Abb. 1.11 Mandelbrot-Menge zu \(z_{n+1} = z_n^2+c\)
a) Apfelmännchen, eine vermutlich beschränkte Folge ist eingezeichnet. b) Die mit GeoGebra ge- rechnete und dargestellte Folge ist mit Sicherheit divergent. mandel-apfel.ggb |
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1.4 Reihen 1.4.1 Geometrische Reihe |
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Abschnitt 1.4.1 Seite 19 |
Abb. 1.12 Geometrische Reihen mit
a) und b):\(q=\frac{1}{2},\ a=4\), c): \(q=\frac{1}{4},\ a=6\) Beweise für die geometrische Reihe |
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1.4.2 Harmonische Reihe |
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Abschnitt. 1.4.2 Seite 21 |
Abb. 1.13 Harmonische Reihe, Veränderung der Teilsummenfolge.
a), b), c) Teilsummen der harmonischen Reihe mit 30, 100 und 1000 Summanden. Es wird deutlich, dass man durch solche Computerberechnungen keine Klarheit über eine mögliche obere Grenze erlangen kann. harmonischeReihe-teilsummen.ggb |
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Abschnitt 1.4.2.1 Seite 21 |
Abb. 1.14 Harmonische Reihe.
a) Die Rechtecke haben die Breite 1 und die Höhe \(\frac{1}{n}\). b) Links von der Stelle \(n\) stehen \((n-1)\) Rechtecke, ihre Flächensumme ist \(s_{n-1}\) und ganz sicher größer als das Integral über die rote Kehrwertfunktion, \(\int_1^{n}\bigl(\frac{1}{x}\bigr)\,d x=\ln n\). Da der natürliche Logarithmus gegen Unendlich strebt, nimmt er die harmonische Reihe mit ins Unendliche. harmonischeReihe.ggb |
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1.4.3 Berühmte Reihen |
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Abschnitt 1.4.3 Seite 22f |
Berühmte Reihen
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Zusatz
Abb. zur Tabelle der Reihen |
Abb. zu den berühmten Reihen,
(1.1) Alternierende harmonische Reihe alternHarmon.ggb (1.2) Leibniz-Reihe leibnizReihe.ggb (1.2) Basler Problem BaslerProblem.gbb (1.4) Taylorreihe Reihe für die Eulersche Zahl eulerscheZahl.ggb |
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1.4.4 Konvergenz und Umordnung von Reihen |
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Abschnitt 1.4.3 Seite 23 |
Abb. 1.15 Konvergenz alternierender Reihen,
gezeigt am Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe (1.1) \(\ln2 = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{1}{n}\). Die gestrichelte rote Linie zeigt
bildlich an, wo sich der Reihenwert
noch aufhalten kann, denn er
muss zwischen den waagerechten
Strahlen und damit im zunehmend
dunkler grün werdenden Bereich
liegen.
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Abschnitt 1.4.4 Seite 25 |
Abb. 1.16 Alternierende harmonische Reihe umgeordnet.
Sie ist nicht absolut konvergent, denn die harmonische Reihe (nur +) divergiert s.o. Abb. 1.14.
Die rote Linie liegt bei \(2ln2\), dem Doppelten des eigentlichen Grenzwertes. Nach dem Riemann'schen Umordnungssatz, kann man jeden Wert, also auch diesen als Grenzwert erreichen. Das geht so: Man nähert sich dieser Linie an, indem jeweils das nächste positive Glied der Reihe genommen wird, wenn man unterhalb der roten Linie ist, bzw. das nächste negative Glied, wenn man oberhalb ist. In der folgenen ggb-Datei können Sie auch einen anderen Grenzwert vorgeben und sich das Umordnen zeigen lassen. ReihenUmordnenInteraktiv.ggb Reihen umordnen, Mathematica Quelltext Dies zum Lesen und Verstehen |
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1.5 Darstellungsvielfalt und Funktionstypen haben eine eigene Leitseite |
Website zum Buch: Höhere Mathematik sehen und verstehen 01 Analysis 2D START und TIPPS Liste der Zusätze |
Erstellt: Dez.2020, Update |
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Prof. Dr. Dörte Haftendorn | Prof. Dr. Dieter Riebesehl | Dipl.-Math., Dipl.-Ing. Hubert Dammer |