Färbbarkeit u. Alexanderpolynome von Knoten

www.mathematik-verstehen.de  Haftendorn 25.Feb.2014

p-Etikettierbarkeit, Bspl. Knoten 5.2

Knoten 5.2

Färbbarkeitsbedingungen direkt

Wahl zulässiger p

Hier kann man mehrere p ausprobieren. Sinnvoll ist aber die Teiler der Determinate der reduzierten Fäbbarkeitsmatrix (nächster Absatz) zu wählen

lo52=Solve[{2x-y-z==0,-x+2 z-u==0,-z+2 y-v==0,
-x+2 u-v==0,-y+2 v-u==0} /.v->0,
                                                                {x,y,z,u,v},Modulus->7]

Mod[{x,y,z,u,v},7]/.(lo52/.{C[1]->0, C[2]->1})

Mod[{x,y,z,u,v},7]/.(lo52/.{C[1]->0, C[2]->4})

{{x->6 C[1]+2 C[2],y->2 C[1]+6 C[2],
                                        z->3 C[1]+5 C[2],u->C[2],v->C[1]}}

Dies bedeutet: u und v  beliebig aus Z(7) wählen, x,y,z  berechnen.

Mod[{x,y,z,u,v},7]/.(lo52/.{C[1]->0, C[2]->4})

Mod[{x,y,z,u,v},7]/.(lo52/.{C[1]->0, C[2]->1})

Wie erkennt man, dass der Knoten nicht p-Etikettierbar ist?

Solve[{
  2x-y-z==0,
-x+2 z-u==0,
-z+2 y-v==0,
-x+2 u-v==0,
-y+2 v-u==0
},{x,y,z,u,v},Modulus->3]

Also haben alle Bögen dieselbe Farbe.

Andere Lösungsmethode (umständlicher)

Modulorechnen

Reduce[Mod[2x+1,5]==Mod[x,7]&&0≤x<5,x]

p=7; Reduce[{Mod[2x-y-z,p]==Mod[0,p],
Mod[-x+2 z-u,p]==Mod[0,p],
Mod[-z+2 y-v,p]==Mod[0,p],
Mod[-x+2 u-v,p]==Mod[0,p],
Mod[-y+2 v-u,p]==Mod[0,p]
},{x,y,z,u,v},Integers];
p=.

Probe

{Mod[2x-y-z,p]==Mod[0,p],
Mod[-x+2 z-u,p]==Mod[0,p],
Mod[-z+2 y-v,p]==Mod[0,p],
Mod[-x+2 u-v,p]==Mod[0,p],
Mod[-y+2 v-u,p]==Mod[0,p]
}/.{x->0,y->1,z->6,u->5,v->3}

Färbbarkeitsmatrix von 5.2

fm=(({{2, -1, -1, 0, 0}, {-1, 0, 2, -1, 0}, {0, 2, -1, 0, -1}, {-1, 0, 0, 2, -1}, {0, -1, 0, -1, 2}}));Det[fm]

fmred=(({{2, -1, -1, 0}, {-1, 0, 2, -1}, {0, 2, -1, 0}, {-1, 0, 0, 2}})); Det[fmred]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikattierbarkeit infrage.
Hier ist die einzige Möglichkeit p=7.

Sechser-Knoten  6.1

Färbbarkeitsmatrix von 6.1

fm6=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0}, {-1, 0, 2, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 2, -1, 0}, {0, 0, 0, -1, 2, -1}, {0, -1, 0, 0, -1, 2}, {0, 2, -1, 0, 0, -1}}));Det[fm6]

fmred6=(({{2, -1, -1, 0, 0}, {-1, 0, 2, -1, 0}, {-1, 0, 0, 2, -1}, {0, 0, 0, -1, 2}, {0, -1, 0, 0, -1}})); Det[fmred6]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeit infrage.
Hier ist die einzige Möglichkeit p=3

Also Knoten 6.1 ist dreifärbbar.

Färbbarkeitsbedingungen direkt für 6.1

lo=Solve[{2x-y-z==0,-x+2 z-u==0,-x+2 u-v==0,-u+2 v -w==0,
-y-v+2 w==0,-z+2 y-w==0},Modulus->3]

Mod[{x,y,z,u,v,w},3]/.(lo /.{C[1]->1,C[2]->2})

Mod[{x,y,z,u,v,w},3]/.(lo /.{C[1]->0,C[2]->1})

Alexanderpolynom von Knoten 6.1 (Ur-Methode)

am=(({{1, 1, 0, 0, 0, 0}, {1, x, x, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, x, 0, 0}, {0, 0, x, x, 1, 0}, {0, 0, 1, 0, 1, x}, {0, 1, x, 0, 0, x}}));Det[am]

-Expand[Factor[Det[am]]/x^2]

Dieses Alexanderpolynom hat auch der 9.46

Sechser-Knoten  Kretzschmar, 6.3 aus Knotplot

Färbbarkeitsmatrix

fm6=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0}, {-1, 0, 2, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 2, -1, 0}, {0, 2, 0, 0, -1, -1}, {0, -1, 0, -1, 0, 2}, {0, 0, -1, 0, 2, -1}}));Det[fm6]

fmred6=(({{2, -1, -1, 0, 0}, {-1, 0, 2, -1, 0}, {-1, 0, 0, 2, -1}, {0, 2, 0, 0, -1}, {0, -1, 0, -1, 0}})); Det[fmred6]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hier ist die einzige Möglichkeit p=13

Färbbarkeitsbedingungen direkt

Hier kann man mehrere p ausprobieren. Sinnvoll sind aber nur Teiler der Determinate der reduzierten Fäbbarkeitsmatrix.

loKr=Solve[{2x-y-z==0,-x+2 z-u==0,-x+2 u-v==0,-v+2 y-w==0,-y+2 w-u==0,-z+2 v-w==0
},Modulus->13]

Das sind viele Lösungen für p6=13, für 3,5,7.. keine nichttrivialen Lösungen

Mod[{x,y,z,u,v,w},13]/.(loKr/.{C[1]->1, C[2]->2})

Mod[{x,y,z,u,v,w},13]/.(loKr/.{C[1]->12, C[2]->1})

Alexanderpolynom für Kretzschmar-Knoten

am=(({{1, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, x, 0, 0, 0}, {x, 1, 1, 0, x, 0}, {1, 0, 0, x, 0, x}, {1, 0, 0, 1, x, x}, {0, 0, 1, 0, 1, x}}));
Expand[Det[am]/x]

Factor[Det[am]]

Also kann der Kretzmar-Knoten nicht zu 6.1 isomorph sein.
Er hat aber dasselbe Alexanderpolynom  6.3. (Siehe unten)

Hauptmethode für Alexanderpolynom

kret=(({{1-t, t, -1, 0, 0, 0}, {t, 0, 1-t, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 1-t, t, 0}, {0, 1-t, 0, 0, t, -1}, {0, t, 0, -1, 0, 1-t}, {0, 0, -1, 0, 1-t, t}}));

kretred=(({{1-t, t, -1, 0, 0}, {t, 0, 1-t, -1, 0}, {-1, 0, 0, 1-t, t}, {0, 1-t, 0, 0, t}, {0, t, 0, -1, 0}})); 
Expand[Det[kretred]/t]

Er hat aber dasselbe Alexanderpolynom  6.3. (Siehe unten)

Knoten 6.3 aus Livingston

Färbbarkeit direkt für 6.3

lo63=Solve[{2y-x-z==0,2x-z-u==0,-y+2 z-v==0,-x+2 v-w==0,
-y+2 w-u==0,-v+2 u-w==0},Modulus->13]

Der 6.3-Knoten ist 13-etikettierbar.  eine der vielen Lösungen ist;
12,11,10, 1,9,6

Mod[{x,y,z,u,v,w},13]/.(lo63/.{C[1]->12, C[2]->1})

Mod[{x,y,z,u,v,w},13]/.(lo63/.{C[1]->10, C[2]->11})

Also können der Kretzschmar-Knoten und der 6.3-Knoten übereinstimmen.

Das Alexanderpolynom von 6.3 ist laut Liste: (t^4)-3(t^3)+5(t^2)-3t+1
Das ist auch das Alexanderpolynom des Kretzschmar-Knotens.

Knoten 6.2

Färbbarkeitsmatrix

fm6=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0}, {-1, 2, 0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 2, -1, 0}, {0, 0, 2, -1, 0, -1}, {0, -1, 0, 0, 2, -1}, {0, 0, -1, 0, -1, 2}}));Det[fm6]

fmred6=(({{2, -1, -1, 0, 0}, {-1, 2, 0, -1, 0}, {-1, 0, 0, 2, -1}, {0, 0, 2, -1, 0}, {0, -1, 0, 0, 2}})); Det[fmred6]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hier ist die einzige Möglichkeit p=11

Direkte Lösung

lo62=Solve[{2x-y-z==0,2y-x-u==0,-x+2 u-v==0,-u+2 z-w==0,
-y+2 v-w==0,-v+2 w-z==0}, Modulus->11]

Der 6.2-Knoten ist 11-etikettierbar.  Eine der vielen Lösungen ist;
0,1,10, 2,4,7

Mod[{x,y,z,u,v,w},11]/.(lo62/.{C[1]->10, C[2]->1})

Fazit

Der Knoten 6.2 hat mit dem Knoten 6.3 und dem Kretzmar-Knoten dasselbe Alexanderpolynom. Aber 6.2 ist genau 11-etikettierbar und 6.3 ist genau 13 etikettierbar. 
Der Kretzschmar-Knoten ist auch genau 13-etikettierbar. Damit kann der Kretzschmar-Knoten nicht 6.2 sein. Als Primknoten muss er mit einem der drei 6er Primknoten übereinstimmen. 6.1 kommt nicht infrage, denn 6.1 
hat ein anderes Alexanderpolynom und ist 3-färbbar.
Daher muss der Kretzschmar-Knoten isomorph zum 6.3-Knoten sein.

Weitere Knoten

7.4

Färbbarkeitsmatrix von 7.4

fm74=(({{kr, x, y, z, u, v, w, r}, {1, 2, -1, -1, 0, 0, 0, 0}, {2, -1, 2, 0, -1, 0, 0, 0}, {3, -1, 0, 2, 0, -1, 0, 0}, {4, 0, -1, 0, 0, 2, -1, 0}, {5, 0, 0, 0, 2, -1, 0, -1}, {6, 0, 0, -1, 0, 0, 2, -1}, {7, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 2}}));

fmred74=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0}, {-1, 2, 0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 2, 0, -1, 0}, {0, -1, 0, 0, 2, -1}, {0, 0, 0, 2, -1, 0}, {0, 0, -1, 0, 0, 2}})); Det[fmred74]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hier sind die Möglichkeiten p=3  und p=5

7.5

Färbbarkeitsmatrix von 7.4

fm75=(({{kr, x, y, z, u, v, w, r}, {1, 2, -1, -1, 0, 0, 0, 0}, {2, -1, 2, 0, -1, 0, 0, 0}, {3, 0, 0, -1, 2, -1, 0, 0}, {4, -1, 0, 2, 0, 0, 0, -1}, {5, 0, 0, 0, -1, 2, -1, 0}, {6, 0, -1, 0, 0, 0, 2, -1}, {7, 0, 0, 0, 0, -1, -1, 2}}));

fmred75=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0}, {-1, 2, 0, -1, 0, 0}, {0, 0, -1, 2, -1, 0}, {-1, 0, 2, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, -1, 2, -1}, {0, -1, 0, 0, 0, 2}})); Det[fmred75]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hier sind die Möglichkeiten p=17

8.16

Fräbbarkeitsmatrix von 8.16

fmred816=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0, 0}, {-1, 0, 2, 0, 0, 0, -1}, {-1, 0, 0, 2, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, -1, -1, 0, 0}, {0, 0, 0, -1, 0, -1, 2}, {0, 0, 0, 0, -1, 0, -1}, {0, -1, 0, 0, 2, -1, 0}})); Det[fmred816]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hiersind die Möglichkeiten p=5  und p=7

Färbbarkeitsbedingungen direkt

lo816m5=Solve[{-y+2 x-z==0,-x+2 z-r==0,-x+2 u-s==0,-u+2 y-v==0,
-u+2 r-w==0,-v+2 s-r==0,-y+2 v-w==0,-z+2 w-s==0},Modulus->5]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},5]/.(lo816m5/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

lo816m7=Solve[{-y+2 x-z==0,-x+2 z-r==0,-x+2 u-s==0,-u+2 y-v==0,
-u+2 r-w==0,-v+2 s-r==0,-y+2 v-w==0,-z+2 w-s==0},Modulus->7]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},7]/.(lo816m7/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

8.18

Fräbbarkeitsmatrix von 8.18

fm818=(({{kr, x, y, z, u, v, w, r, s}, {1, 2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0}, {2, 0, 2, 0, -1, 0, 0, -1, 0}, {3, -1, 0, 0, 2, -1, 0, 0, 0}, {4, 0, 0, 2, -1, 0, 0, 0, -1}, {5, 0, -1, 0, 0, 2, -1, 0, 0}, {6, 0, 0, -1, 0, 0, 2, -1, 0}, {7, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 2}, {8, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 2, -1}}));

fmred818=(({{2, -1, -1, 0, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, -1, 0, 0, -1}, {-1, 0, 0, 2, -1, 0, 0}, {0, 0, 2, -1, 0, 0, 0}, {0, -1, 0, 0, 2, -1, 0}, {0, 0, -1, 0, 0, 2, -1}, {-1, 0, 0, 0, 0, -1, 0}})); Det[fmred818]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hier sind die Möglichkeiten p=3  und p=5

Färbbarkeitsbedingungen direkt nicht angepasst

lo816m5=Solve[{-y+2 x-z==0,-x+2 z-r==0,-x+2 u-s==0,-u+2 y-v==0,
-u+2 r-w==0,-v+2 s-r==0,-y+2 v-w==0,-z+2 w-s==0},Modulus->5]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},5]/.(lo816m5/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

lo816m7=Solve[{-y+2 x-z==0,-x+2 z-r==0,-x+2 u-s==0,-u+2 y-v==0,
-u+2 r-w==0,-v+2 s-r==0,-y+2 v-w==0,-z+2 w-s==0},Modulus->7]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},7]/.(lo816m7/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

Neuner-Knoten  9.46

Färbbarkeitsmatrix von 9.46

fm946=(({{kr, x, y, z, u, v, w, r, s, t}, {1, -1, 2, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {2, 2, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0}, {3, 0, -1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, -1}, {4, 2, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0}, {5, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, -1, 0}, {6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 2, -1}, {7, 0, 0, 0, -1, 2, -1, 0, 0, 0}, {8, 0, 0, 2, -1, 0, 0, 0, -1, 0}, {9, 0, 0, -1, 2, -1, 0, 0, 0, 0}})); Det[fm946]

fmred946=(({{-1, 2, -1, 0, 0, 0, 0, 0}, {2, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0}, {0, -1, 2, 0, 0, 0, 0, 0}, {2, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0}, {-1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, -1}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 2}, {0, 0, 0, -1, 2, -1, 0, 0}, {0, 0, 2, -1, 0, 0, 0, -1}})); Det[fmred946]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeirt infrage.
Hier ist die Möglichkeiten  p=3.

Färbbarkeitsbedingungen direkt (nicht angepasst)

lo946m5=Solve[{-y+2 x-z==0,-x+2 z-r==0,-x+2 u-s==0,-u+2 y-v==0,
-u+2 r-w==0,-v+2 s-r==0,-y+2 v-w==0,-z+2 w-s==0},Modulus->5]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},5]/.(lo816m5/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

lo816m7=Solve[{-y+2 x-z==0,-x+2 z-r==0,-x+2 u-s==0,-u+2 y-v==0,
-u+2 r-w==0,-v+2 s-r==0,-y+2 v-w==0,-z+2 w-s==0},Modulus->7]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},7]/.(lo816m7/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

Alexanderpolynom von 9.46

am=(({{1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {1, x, 0, 0, 0, 0, x, 0, 0}, {0, x, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, 1, x, 0, x, 0, 0, 0}, {0, x, 0, 1, 0, x, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0, x, 1, 0}, {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, x}, {0, 0, 0, x, 1, 0, 0, 0, x}}));Det[am]

Expand[Factor[Det[am]]/(x^3)]

Dieses ist auch das Alexanderpolynom von 6.1. Bei Untersuchung der Farbbarkeit kann sich
klären, dass 9.46 nicht isomorh zu 6.1. (Klar, dass das wahr ist, denn sie stehen ja in den Primknotenlisten.)
Also kann der Kretzschmar-Knoten weder zu 9,46 noch zu 6.1 isomorph sein.
Er hat aber dasselbe Alexanderpolynom  6.3. . Er ist ja auch 6.3 nach der Liste von Knotplot (Siehe unten)

8.18- Knoten  p-Etikettierbarkeit

Färbbarkeitsmatrix

fm818=(({{2, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0}, {-1, 0, 0, 0, -1, 2, 0, 0}, {0, 0, -1, 2, 0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 2, 0, 0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1, 2, 0, 0, -1}, {0, 2, -1, 0, 0, 0, 0, -1}, {0, -1, 0, 0, -1, 0, 2, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, 2}}));Det[fm818]

fmred818=(({{2, -1, 0, -1, 0, 0, 0}, {-1, 0, 0, 0, -1, 2, 0}, {0, 0, -1, 2, 0, -1, 0}, {-1, 0, 2, 0, 0, 0, -1}, {0, 0, 0, -1, 2, 0, 0}, {0, 2, -1, 0, 0, 0, 0}, {0, -1, 0, 0, -1, 0, 2}})); Det[fmred818]

Nur die Primteiler dieser Determinante kommen für die p-Etikettierbarkeit infrage.
Hier sind die Möglichkeiten p=3  und p=5

Färbbarkeitsbedingungen direkt, mit Untersuchung p, pq,...

lo818m3=Solve[{2x-y-u==0,-y+2 x-u==0,-x+2 w-v==0,-z+2 u-w==0,-x+2 z-r==0,-u+2 v-s==0,-z+2 y-s==0,-y+2 r-v==0,-w+2 s-r==0},Modulus->3]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},3]/.(lo818m3/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},3]/.(lo818m3/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->2})

lo818m5=Solve[{2x-y-u==0,-y+2 x-u==0,-x+2 w-v==0,-z+2 u-w==0,-x+2 z-r==0,-u+2 v-s==0,-z+2 y-s==0,-y+2 r-v==0,-w+2 s-r==0},Modulus->5]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},5]/.(lo818m5/.{C[1]->1, C[2]->2})

Falsche Wahl von p

Solve[{2x-y-u==0,-y+2 x-u==0,-x+2 w-v==0,-z+2 u-w==0,-x+2 z-r==0,-u+2 v-s==0,-z+2 y-s==0,-y+2 r-v==0,-w+2 s-r==0},Modulus->7]

Alles wird einfarbig.

Ein Faktor fasch in p

lo818m21=Solve[{2x-y-u==0,-y+2 x-u==0,-x+2 w-v==0,-z+2 u-w==0,
-x+2 z-r==0,-u+2 v-s==0,-z+2 y-s==0,-y+2 r-v==0,-w+2 s-r==0},Modulus->21]

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},21]/.(lo818m21/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

Das ist nur eine versteckte Dreifarbigkeit.

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},3]/.(lo818m21/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

Mod[{x,y,z,u,v,w,r,s},3]/.(lo818m3/.{C[1]->1, C[2]->2,C[3]->3})

Alexanderpolynom 8.18,  Ur-Methode

Bei Unterkreuzung links markieren , Epple Seite 5f

am8r18=(({{1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, x, 0, 1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 1, x, 0, 0}, {x, 1, 0, 0, 0, 1, 0, x}, {0, 1, x, 0, x, 0, 1, 0}, {x, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, x, 0, 0, x, 1}, {0, 0, 1, x, 0, 0, 1, 0}}));-Det[am8r18]

Dies ist das richtige Alexanderpolynom von 8.18

Alexanderpolynom 8.18, falsche Methoden

Bei Überkreuzung rechts markieren

am818=(({{1, x, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0}, {0, x, 0, 0, 1, x, 0, 0}, {x, 1, 0, 0, 0, x, 0, 1}, {0, x, 1, 0, x, 0, 1, 0}, {x, 0, 0, 1, 0, 0, 0, x}, {0, x, 0, 1, 0, 0, x, 1}, {0, 0, 1, x, 0, 0, x, 0}}));Det[am818]

Expand[Factor[Det[am818]]/x]

Dieses ist kein Alexanderpolynom  bis 9.49

Alexanderpolynom 8.18, zweite falsche Methode

Bei Überkreuzung dahinter markieren

am8p18=(({{x, 0, 0, 0, 0, x, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, x, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 1, x, 0, 0}, {x, 1, 0, 0, 0, 1, 0, x}, {0, 1, x, 0, x, 0, 1, 0}, {1, 0, 0, x, 0, 0, 0, x}, {0, 1, 0, x, 0, 0, x, 1}, {0, 0, x, 1, 0, 0, x, 0}}));Det[am8p18]

Expand[Factor[Det[am8p18]]/x]

Dieses ist kein Alexanderpolynom  bis 9.49

Alexanderpolynom 8.18, Polynom- Methode

,Livingston

aliv8p18=(({{1-t, t, 0, -1, 0, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, 0, -1, 1-t, 0, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, t, 0, 0}, {t, 0, 1-t, 0, 0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1, 1-t, 0, 0, t}, {0, 1-t, -1, 0, 0, 0, 0, t}, {0, t, 0, 0, -1, 0, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, t, -1, 1-t}}));Det[aliv8p18]

aliv8p18red=(({{1-t, t, 0, -1, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, 0, -1, 1-t, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, t, 0}, {t, 0, 1-t, 0, 0, 0, -1}, {0, 0, 0, -1, 1-t, 0, 0}, {0, 1-t, -1, 0, 0, 0, 0}, {0, t, 0, 0, -1, 0, 1-t}})); Expand[Det[aliv8p18red]/t]

Dies ist das richtige Alexanderpolynom von 8.18

Andere Zeilen und Spalten gestrichen

aliv8p18red1=(({{0, 0, 0, -1, 1-t, 0, 0}, {0, -1, 1-t, 0, t, 0, 0}, {0, 1-t, 0, 0, 0, -1, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, 0, t}, {1-t, -1, 0, 0, 0, 0, t}, {t, 0, 0, -1, 0, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, t, -1, 1-t}}));Expand[Det[aliv8p18red1]/t]

red2=(({{1-t, 0, -1, 0, 0, 0, 0}, {0, -1, 1-t, 0, t, 0, 0}, {t, 1-t, 0, 0, 0, -1, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, 0, t}, {0, -1, 0, 0, 0, 0, t}, {0, 0, 0, -1, 0, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, t, -1, 1-t}}));Det[red2]

red3=(({{1-t, t, -1, 0, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, -1, 1-t, 0, 0}, {t, 0, 0, 0, 0, -1, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, 0, t}, {0, 1-t, 0, 0, 0, 0, t}, {0, t, 0, -1, 0, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, t, -1, 1-t}}));Det[red3]

Richtig!!!!

red4=(({{1-t, t, 0, 0, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, -1, 1-t, 0, 0}, {0, 0, -1, 0, t, 0, 0}, {0, 0, 0, 1-t, 0, 0, t}, {0, 1-t, -1, 0, 0, 0, t}, {0, t, 0, -1, 0, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, t, -1, 1-t}}));Det[red4]

auch richtig

red5=(({{1-t, t, 0, -1, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, 0, 1-t, 0, 0}, {0, 0, -1, 1-t, t, 0, 0}, {t, 0, 1-t, 0, 0, -1, 0}, {0, 1-t, -1, 0, 0, 0, t}, {0, t, 0, 0, 0, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, t, -1, 1-t}}));Det[red5]

red6=(({{1-t, t, 0, -1, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, 0, -1, 0, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, 0, 0}, {t, 0, 1-t, 0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1, 1-t, 0, t}, {0, t, 0, 0, -1, 1-t, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, -1, 1-t}}));Det[red6]

red7=(({{1-t, t, 0, -1, 0, 0, 0}, {t, 0, 0, 0, -1, 1-t, 0}, {0, 0, -1, 1-t, 0, t, 0}, {t, 0, 1-t, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, -1, 1-t, 0, t}, {0, 1-t, -1, 0, 0, 0, t}, {0, 0, 0, 0, 0, t, 1-t}}));Det[red7]

Beweis p-Eikettierbar Reidemeister 3

Solve[{
2z-x-v==0, 2z-y-w==0, 2v-u-w==0,2x-y-t==0,2z-u-t==0,2z-x-v==0}]